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数学-人教A版-一轮复习-课时作业5：直接证明与间接证明.doc-§13.2 直接证明与间接证明-第十三章 推理证明、算法、复数-学案.doc
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该死的温柔
上传于：2024-06-27
第5讲 直接证明与间接证明
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是 ( )
A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab>2b2 D.eq \f(a,b)1，a＝eq \r(m＋1)－eq \r(m)，b＝eq \r(m)－eq \r(m－1)，则以下结论正确的是( )
A．a>b B．aeq \r(m)＋eq \r(m－1)＞0(m＞1)，
∴eq \f(1,\r(m＋1)＋\r(m))40，∴eq \r(6)＋eq \r(7)>2eq \r(2)＋eq \r(5).
答案 eq \r(6)＋eq \r(7)>2eq \r(2)＋eq \r(5)
7．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2成立的条件的序号是________．
解析 要使eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2，只需eq \f(b,a)>0且eq \f(a,b)>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2成立．
答案 ①③④
8．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是________(填上序号)．
答案 ①
三、解答题
9．若a，b，c是不全相等的正数，求证：
lgeq \f(a＋b,2)＋lgeq \f(b＋c,2)＋lgeq \f(c＋a,2)＞lg a＋lg b＋lg c.
证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)＞0，eq \f(b＋c,2)≥eq \r(bc)＞0，eq \f(a＋c,2)≥eq \r(ac)＞0.
又上述三个不等式中等号不能同时成立．
∴eq \f(a＋b,2)·eq \f(b＋c,2)·eq \f(c＋a,2)＞abc成立．
上式两边同时取常用对数，
得lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2)·\f(c＋a,2)))＞lg abc，
∴lgeq \f(a＋b,2)＋lgeq \f(b＋c,2)＋lgeq \f(c＋a,2)＞lg a＋lg b＋lg c.
10．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
(1)证明 假设数列{Sn}是等比数列，则Seq \o\al(2,2)＝S1S3，
即aeq \o\al(2,1)(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{Sn}不是等比数列．
(2)解 当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；
当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，
即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，
得q＝0，这与公比q≠0矛盾．
综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
11．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋eq \f(1,b)，b＋eq \f(1,c)，c＋eq \f(1,a) ( )
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
解析 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
答案 D
12．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，a，b是正实数，A＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq \r(ab))，C＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，则A，B，C的大小关系为 ( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
解析 ∵eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2ab,a＋b)，又f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)在R上是减函数，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))≤f(eq \r(ab))≤feq \b\lc