数学-人教B版-一轮复习-课时作业1：数学归纳法.docx-§13.3 数学归纳法-第十三章 推理与证明、算法、复数-学案.docx

数学归纳法及其应用 一、选择题 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．用数学归纳法证明1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n－1)＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋eq \f(1,2)＜2 B．1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＜2 C．1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＜3 D．1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＜3 2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是(　　) A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立 B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立 C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 D．若f(4) ≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 3．对于不等式eq \r(n2＋n)＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n＝1时，eq \r(12＋1)＜1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即eq \r(k2＋k)＜k＋1，则当n＝k＋1时，eq \r(（k＋1）2＋（k＋1）)＝eq \r(k2＋3k＋2)＜eq \r(（k2＋3k＋2）＋（k＋2）)＝eq \r(（k＋2）2)＝(k＋1)＋1， ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 4．(2013·三亚模拟)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　) A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1 B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1 C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1 D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 5．(2013·九江模拟)用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N*)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为(　　) A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1) B．34·34k＋1＋52·52k C．34k＋1＋52k＋1 D．25(34k＋1＋52k＋1) 6．凸n多边形有f(n)条对角线．则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为(　　) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 二、填空题 7．设Sn＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n)，则Sn＋1－Sn＝________________． 8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \f(1,2)an＋1(n∈N*)，通过计算a1，a2，a3，a4，可猜想an＝________． 9．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)． 三、解答题 10．用数学归纳法证明下面的等式 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1eq \f(n（n＋1）,2). 11．(2013·淮安质检)设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n∈N*)． (1)求a1，a2； (2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明． 12．(2013·烟台模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上． (1)求r的值； (2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)． 证明：对任意的n∈N*，不等式eq \f(b1＋1,b1)·eq \f(b2＋1,b2)·…·eq \f(bn＋1,bn)＞eq \r(n＋1)成立． 解析及答案 一、选择题 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．【解析】　验证当n＝2时的不等式，即1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＜2. 【答案】　B 2．【解析】　选项A、B的答案与题设中不等号方向不同，故A、B错；选项C中，应该是k≥3时，均有f(k)≥k2成立；选项D符合题意． 【答案】　D 3．【解析】　在n＝k＋1时，没用n＝k时的假设，不是数学归纳法． ∴从n＝k到n＝k＋1的推理不正确． 【答案】　D 4．【解析】　由条件知，等式的左边是从20，21，…一直到2n－1都是连续的， ∴当n＝k＋1时，等式1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1. 【答案】　D 5．【解析】　34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34·34k＋1＋52·52k＋1 ＝52(34k＋1＋52k＋1)＋56·34k＋1. 【答案】　A 6．【解析】　f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1. 【答案】　C 二、填空题 7．【解析】　∵Sn＋1＝1＋eq \f(1,2)＋…＋eq \f(1,2n)＋eq \f(1,2n＋1)＋…＋eq \f(1,2n＋2n)， Sn＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n)， ∴Sn＋1－Sn＝eq \f(1,2n＋1)＋eq \f(1,2n＋2)＋…＋eq \f(1,2n＋2n). 【答案】　eq \f(1,2n＋1)＋eq \f(1,2n＋2)＋eq \f(1,2n＋3)＋…＋eq \f(1,2n＋2n) 8．【解析】　∵a1＝1，∴a2＝eq \f(1,2)a1＋1＝eq \f(3,2)， a3＝eq \f(1,2)a2＋1＝eq \f(7,4)，a4＝eq \f(1,2)a3＋1＝eq \f(15,8). 猜想an＝eq \f(2n－1,2n－1). 【答案】　eq \f(2n－1,2n－1) 9．【解析】　f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5， f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝eq \f(1,2)(n＋1)(n－2)． 【答案】　5　eq \f(1,2)(n＋1)(n－2) 三、解答题 10．【证明】　(1)当n＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0·eq \f(1×（1＋1）,2)＝1， ∴原等式成立． (2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2 ＝(－1)k－1eq \f(k（k＋1）,2). 那么，当n＝k＋1时，则有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1eq \f(k（k＋1）,2)＋(－1)k·(k＋1)2 ＝(－1)k·eq \f(k＋1,2)[