数学-人教A版-选修2-2-学案9：2.3 数学归纳法.docx-第二章 推理与证明-学案.docx

2.3 数学归纳法 学习目标 1．了解数学归纳法的原理．(难点、易混点) 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点) 基础·初探 教材整理　数学归纳法 1．数学归纳法的定义 一般地，证明一个与 有关的命题，可按下列步骤进行
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 2．数学归纳法的框图表示
预习自测 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　　) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　　) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　　) 合作探究 类型1 用数学归纳法证明等式 例1　(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝eq \f((n＋3)(n＋4),2)(n∈N*)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是(　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 (2)用数学归纳法证明 (n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)． 名师指导 数学归纳法证题的三个关键点 1．验证是基础 找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. 2．递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项． 3．利用假设是核心 在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 跟踪训练 1．(1)下面四个判断中，正确的是(　　) A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋k C．式子1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n＋1)(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3) D．设f(n)＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,3n＋1)(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋eq \f(1,3k＋2)＋eq \f(1,3k＋3)＋eq \f(1,3k＋4) (2)用数学归纳法证明：1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n)＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,2n). 类型2 用数学归纳法证明不等式 例2　(1)用数学归纳法证明不等式eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,n＋n)>eq \f(13,24)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是__________． (2)证明：不等式1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(n))<2eq \r(n)(n∈N*)． 跟踪训练 2．试用数学归纳法证明例2(1)中的不等式． 探究点 用数学归纳法解决“归纳—猜想—证明”问题 探究　解决“归纳—猜想—证明”问题的基本思路是什么？ 例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝eq \f(Sn,n(2n－1))且a1＝eq \f(1,3). (1)求a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并证明． 名师指导 1．“归纳—猜想—证明”的一般环节
2．“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和． (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． (3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题． 跟踪训练 3．已知函数y＝f(n)(n∈N*)，设f(1)＝2，且任意的n1，n2∈N*，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)． (1)求f(2)，f(3)，f(4)的值； (2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明． 课堂检测 1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq \f(1－an＋2,1－a)(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为(　　) A．1 B．1＋a＋a2 C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3 3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________． 4．以下是用数学归纳法证明“n∈N*时，2n＞n2”的过程，证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即2k＞k2. 那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 即当n＝k＋1时不等式也成立． 根据(1)和(2)，可知对任何n∈N*不等式都成立．其中错误的步骤为________(填序号)． 5．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝eq \f(n2(n－1)(n＋1),4). 参考答案 基础·初探 教材整理　数学归纳法 1．正整数n 第一个值n0(n0∈N*) n=k+1 预习自测 【答案】(1)×　(2)×　(3)√ 合作探究 类型1 用数学归纳法证明等式 例1　(1)【答案】D 【解析】当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D. (2)证明：①当n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2.等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1) 那么当n＝k＋1时， [(k＋1)＋1]·[(k＋1)＋2]·…·[(k＋1)＋(k＋1)]＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)＝2×2k×1×3×…×(2k－1)(2k＋1)＝2k＋1×1×3×…×(2k－1)×[2(k＋1)－1] 即当n＝k＋1时，等式也成立． 根据①和②，可知等式对任何n∈N*都成立． 跟踪训练 1．【答案】C 【解析】(1)A中，n＝1时，式子＝1＋k； B中，n＝1时，式子＝1； C中，n＝1时，式子＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)； D中，f(k＋1)＝f(k)＋eq \f(1,3k＋2)＋eq \f(1,3k＋3)＋eq \f(1,3k＋4)－eq \f(1,k＋1). 故正确的是C. (2)证明：①当n＝1时，左边＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，右边＝eq \f(1,2)，等式成立； ②假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时等式成立，即： 1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2k－1)－eq \f(1,2k)＝eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,2k). 则当n＝k＋1时， 左边＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2k－1)－eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2(k＋1)－1)－eq \f(1,2(k＋1)) ＝eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)－eq \f(1,2(k＋1)) ＝eq \f(1,k＋2)＋eq \f(1,k＋3)＋…＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋1)－\f(1,2(k＋1)))) ＝eq \f(1,(k＋1)＋1)＋eq \f(1,(k＋1)＋2)＋…＋eq \f(1,(k＋1)＋k)＋eq \f(1,2(k＋1))＝右边， 所以当n＝k＋1时等式也成立． 由①②知对一切n∈N*等式都成立. 类型2 用数学归纳法证明不等式 例2　(1)【答案】eq \f(1,(2k＋1)(2k＋2)) 【解析】当n＝k＋1时左边的代数式是eq \f(1,k＋2)＋eq \f(1,k＋3)＋…＋eq \f(1,2k＋1)＋eq \f(1,2k＋2)，增加了两项eq \f(1,2k＋1)与eq \f(1,2k＋2)，但是少了一项eq \f(1,k＋1)，故不等式的左边增加的式子是eq \f(1,2k＋1)＋eq \f(1,2k＋2)－eq \f(1,k＋1)＝eq \f(1,(2k＋1)(2k＋2)). (2)证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． ②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，不等式成立， 即1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(k))<2eq \r(k). 则当n＝k＋1时， 1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(k))＋eq \f(1,\r(k＋1))<2eq \r(k)＋eq \f(1,\r(k＋1))＝eq \f(2\r(k)\r(k＋1)＋1,\r(k＋1)) <eq \f((\r(k))2＋(\r(k＋1))2＋1,\r(k＋1))＝eq \f(2(k＋1),\r(k＋1))＝2eq \r(k＋1). ∴当n＝k＋1时，不等式成立． 由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立． 跟踪训练 2．证明：①当n＝2时，eq \f(1,2＋1)＋eq \f(1,2＋2)＝eq \f(7,12)>eq \f(13,24). ②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时不等式成立， 即eq \f(1,k＋1)＋eq