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上传于：2024-06-19
章末复习与测试
知识梳理
主题1 合情推理
1.归纳推理的特点及一般步骤
2．类比推理的特点及一般步骤
例1 观察式子：1＋eq \f(1,22)0，b>0，a＋b＝1，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8.试用综合法和分析法分别证明．
跟踪训练
2．(1)已知a，b，c为互不相等的非负数．
求证：a2＋b2＋c2>eq \r(abc)(eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c))．
(2)用分析法证明：2cos(α－β)－eq \f(sin(2α－β),sin α)＝eq \f(sin β,sin α).
主题3 反证法
反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论．反证法的思路：反设→归谬→结论．
例3 设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．
跟踪训练
3．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn.证明：数列{cn}不是等比数列．
主题4 数学归纳法
1.关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
2．关注点二：由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
例4 已知正数数列{an}(n∈N＋)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋eq \f(1,an)，用数学归纳法证明：an＝eq \r(n)－eq \r(n－1).
跟踪训练
4．设数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(n(an＋1),2)(n∈N＋)，a2＝2.
(1)求{an}的前三项a1，a2，a3；
(2)猜想{an}的通项公式，并证明．
主题5 转化与化归思想
转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化．
例5 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a，b，c都为整数，已知f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根．
跟踪训练
5．用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．
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1．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
2．观察下列各式：
Ceq \o\al(0,1)＝40；
Ceq \o\al(0,3)＋Ceq \o\al(1,3)＝41；
Ceq \o\al(0,5)＋Ceq \o\al(1,5)＋Ceq \o\al(2,5)＝42；
Ceq \o\al(0,7)＋Ceq \o\al(1,7)＋Ceq \o\al(2,7)＋Ceq \o\al(3,7)＝43；
……
照此规律，当n∈N＋时，
Ceq \o\al(0,2n－1)＋Ceq \o\al(1,2n－1)＋Ceq \o\al(2,2n－1)＋…＋Ceq \o\al(n－1,2n－1)＝________.
3．一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N＋)，其中xk(k＝1,2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0，,x2⊕x3⊕x6⊕x7＝0，,x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0，))
其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．
4．设a>0，b>0，且a＋b＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b).证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
参考答案
知识梳理
①由部分到整体，由个别到一般
②类比推理
③演绎推理
④由一般到特殊
⑤综合法
⑥执果索因
⑦反证法
⑧数学归纳法
主题1 合情推理
例1 【答案】(1)C (2)sin α＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＋sin(α＋π)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))＝0
【解析】(1)由各式特点，可得1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋…＋eq \f(1,n2)<eq \f(2n－1,n).故选C.
(2)用两点等分单位圆时，关系为sin α＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，
用三点等分单位圆时，关系为sin α＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(4π,3)))＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(4π,3)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))－α＝eq \f(2π,3).
依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为eq \f(2π,4)＋α＝eq \f(π,2)＋α，第三个角为eq \f(π,2)＋α＋eq \f(2π,4)＝π＋α，第四个角为π＋α＋eq \f(2π,4)＝eq \f(3π,2)＋α，即其关系为sin α＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＋sin(α＋π)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))＝0.
跟踪训练
1．【答案】(1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)) (2)[21－n,1]
【解析】(1)y＝sin6x＋cos6x＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2 xcos2 x＋cos4 x)＝sin4x－sin2xcos2 x＋cos4x＝(sin2 x＋cos2 x)2－3sin2xcos2x＝1－eq \f(3,4)sin2(2x)＝1－eq \f(3,8)(1－cos 4x)
＝eq \f(5,8)＋eq \f(3,8)cos 4x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).
(2)由类比可知，y＝sin2nx＋cos2nx的值域是[21－n,1]．
例2 解：法一：(综合法)
∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＝a＋b≥2eq \r(ab)，eq \r(ab)≤eq \f(1,2)，ab≤eq \f(1,4)，∴eq \f(1,ab)≥4.
又eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥4，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8(当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立)．
法二：(分析法)
∵a>0，b>0，a＋b＝1，
要证eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8，
只要证eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＋eq \f(a＋b,ab)≥8，
只要证eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋\f(1,a)))≥8，
即证eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥4.
也就是证eq \f(a＋b,a)＋eq \f(a＋b,b)≥4.
即证eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2，
由基本不等式可知，当a>0，b>0时，eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2成立，所以原不等式成立．
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2．证明：(1)因为a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
又因为a，b，c为互不相等的非负数，
所以上面三个式子中都不能取“＝”，
所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，
因为ab＋bc≥2eq \r(ab2c)，bc＋ac≥2eq \r(abc2)，
ab＋ac≥2eq \r(a2bc)，
又a，b，c为互不相等的非负数，
所以ab＋bc＋ac>eq \r(abc)(eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c))，
所以a2＋b2＋c2>eq \r(abc)(eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c))．
(2)要证原等式成立，只需证：
2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①
因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]
＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－
cos(α－β)sin α
＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α
＝sin β＝右边，
所