数学-人教B版-选修2-2-教学设计6：2.3.1 数学归纳法.doc-第二章 推理与证明-教学设计.doc

2.3.1 数学归纳法 【教学目标】 （1）知识与技能： ①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤； ②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题； ③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论. （2）过程与方法： 努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想. （3）情感态度与价值观： 通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力. 【教学重点】 借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数
有关的数学命题； 【教学难点】 数学归纳法中递推关系的应用. 【辅助教学】 多媒体技术辅助课堂教学. 【教学过程】 一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性） （情景一）问题1：大球中有
个小球，如何证明它们都是绿色的？ 问题2: 如果
是一个等差数列，怎样得到
? （情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例. 【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想.归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”. （情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？ 二、搜索生活实例，激发学生兴趣 展示多米诺骨牌的动画，探究多米诺骨牌如何才能全部倒下？ （由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境三的问题.）
三、师生合作，形成概念. 一般地，证明一个与正整数
有关的命题，可以按照以下步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当 EMBED Equation.DSMT4 
取第一个值 EMBED Equation.DSMT4 
时命题成立； （2）（归纳递推）假设 EMBED Equation.DSMT4 
时命题成立，证明当 EMBED Equation.DSMT4 
命题也成立. 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从 EMBED Equation.DSMT4 
开始的所有正整数 EMBED Equation.DSMT4 
都成立. 上述这种证明方法叫做数学归纳法. 四、讲练结合，巩固概念 类型一 用数学归纳法证明等式 例1：用数学归纳法证明： EMBED Equation.DSMT4 
 证明：（1）当 EMBED Equation.DSMT4 
时，左边： EMBED Equation.DSMT4 
，右边： EMBED Equation.DSMT4 
，左边=右边，等式成立. （2）假设当 EMBED Equation.DSMT4 
时等式成立， 即 EMBED Equation.DSMT4 
 则当 EMBED Equation.DSMT4 
时， 左边 EMBED Equation.DSMT4 
  EMBED Equation.DSMT4 
右边 即当 EMBED Equation.DSMT4 
时，等式也成立. 由(1)，(2)得：对 EMBED Equation.DSMT4 
，等式 EMBED Equation.DSMT4 
成立 【方法技巧】证明中的几个注意问题： （1）在第一步中的初始值不一定从 EMBED Equation.DSMT4 
取起, 证明应根据具体情况而定.（找准起点，奠基要稳） （2）在第二步中,证明 EMBED Equation.DSMT4 
命题成立时,必须用到 EMBED Equation.DSMT4 
命题成立这一归纳假设，否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. （用上假设，递推才真） （3）明确变形目标（写明结论，才算完整） 变式训练：用数学归纳法证明： EMBED Equation.DSMT4 
 证明： （1）当 EMBED Equation.DSMT4 
时，左边 EMBED Equation.DSMT4 
，右边 EMBED Equation.DSMT4 
，左边=右边，等式成立； （2）假设当 EMBED Equation.DSMT4 
时，等式成立， 即 EMBED Equation.DSMT4 
， 则当 EMBED Equation.DSMT4 
时  EMBED Equation.DSMT4 
  EMBED Equation.DSMT4 
  EMBED Equation.DSMT4 
  EMBED Equation.DSMT4 
 所以 EMBED Equation.DSMT4 
，公式成立， 由（1）（2）可知，当 EMBED Equation.DSMT4 
时， 公式 EMBED Equation.DSMT4 
成立. 类型二 归纳——猜想——证明 例2：已知数列 EMBED Equation.DSMT4 
  EMBED Equation.DSMT4 
为该数列的前 EMBED Equation.DSMT4 
项和， 计算 EMBED Equation.DSMT4 
，根据计算结果，猜想 EMBED Equation.DSMT4 
的表达式，并用数学归纳法进行证明. 解： EMBED Equation.DSMT4 
，  EMBED Equation.DSMT4 
  EMBED Equation.DSMT4 
，  EMBED Equation.DSMT4 
 根据上述结果，猜想 EMBED Equation.DSMT4 
. 证明：（1）当 EMBED Equation.DSMT4 
时，左边 EMBED Equation.DSMT4 
，右边 EMBED Equation.