数学-人教A版-选修2-2-教学设计7：2.1.1 合情推理.doc-第二章 推理与证明-教学设计.doc

2.1.1 合情推理（一） eq \o(\s\up7(),\s\do5(整体设计)) 教材分析　　　　　 合情推理所蕴含的数学思想贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一节内容出现在高中数学教材中尚属首次．合情推理是新课标教材的亮点之一，本节内容对合情推理的一般方法进行了必要的归纳和总结，同时也对后继知识的学习起到了引领的作用．教材的设计是对“观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明”等数学思维方法的总结与归纳，使已学过的数学知识和思想方法系统化、明晰化．教材紧密地结合了已学过的数学实例和生活实例，避免了空泛地讲数学思想、方法；以变分散为集中，变隐性为显性的方式学习合情推理，是知识、方法、思维和情感的融合与促进，让学生在学知识的同时充分体会数学的发展过程． 第1课时 教学目标　　　　　 1．知识与技能目标 结合生活实例了解推理的含义；掌握归纳推理的结构和特点，能够进行简单的归纳推理；体会归纳推理在数学发现中的作用． 2．过程与方法目标 通过探索、研究、归纳、总结等方式，使归纳推理全方位地呈现在学生面前，让学生了解数学不单是现成结论的体系，结论的发现也是数学的重要内容，从而形成对数学较为完整的认识；培养学生发散思维能力，充分挖掘学生的创新思维能力． 3．情感、态度与价值观 通过学习本节课，培养学生实事求是、力戒浮夸的思维习惯，深化学生对数学意义的理解，激发学生的学习兴趣；认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；通过探究学习培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维方式和锲而不舍的钻研精神． 重点难点　　　　　 重点：掌握归纳推理的特点和推理过程，体会归纳推理在科学发现中的作用． 难点：归纳推理的应用；如何培养学生发现问题、解决问题的能力． eq \o(\s\up7(),\s\do5(教学过程)) eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(引入新课)) 某市为了解本市的高中生数学学习状态，对四所学校做了一个问卷调查，其中有两方面问题的统计数据如下： 某市高中数学学 习状态问卷调查 对数学的印象 数学学习的目的 生动活泼 严肃枯燥 发现问题 解决问题 甲学校 19% 71% 11% 89% 乙学校 7% 75% 23% 77% 丙学校 16% 64% 21% 79% 丁学校 25% 53% 16% 84% 根据这四所学校的情况，你能推测全市高中生对数学的印象吗？ 活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流． 学情预测：学生可能会说出很多不同的答案． 教师提问：你的推测一定正确吗？ 活动结果：有的学生可能会说“正确”；有的学生可能会说“不正确”；有的学生可能会说“不确定”． 教师：推测不一定正确． 设计意图 自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，为课堂结尾“数学是生动活泼的，发现问题是数学学习的一个重要目的”埋下伏笔． eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(探究新知)) 生活中我们经常会遇到这样的情形： 看见柳树发芽，冰雪融化，…… 看见花凋谢了，树叶黄了，…… 看见乌云密布，燕子低飞，…… 引导学生做一些简单的推理： 1．由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电． 2．由三角形内角和为180°，凸四边形内角和为360°，凸五边形内角和为540°，猜想：凸n边形内角和为(n－2)·180°. 提出问题：像上面这样的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？ 活动设计：学生先自由发言，教师逐步引导学生发现推理的结论是通过猜想得到的． 学情预测：学生开始的回答可能不全面、不准确，但在其他同学的不断补充、纠正下，会趋于完善． 活动结果：推理的概念：根据一个或几个已知的事实(或假设)来确定一个新的判断的思维方式就叫推理． 注意：一个完整的推理是由前提和结论两部分构成的． 设计意图 从大量的生活实例出发，让学生充分体会推理的含义和推理的构成，使推理概念的形成更自然、更生动，并训练和培养学生的抽象概括和表达能力． 看下面两个推理： 1．金受热后体积膨胀；银受热后体积膨胀； 铜受热后体积膨胀；铁受热后体积膨胀． 由此猜想：金属受热后体积膨胀． 2.1， 1＋3＝4， 1＋3＋5＝9， 1＋3＋5＋7＝16， 1＋3＋5＋7＋9＝25， …… 由此猜想：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2. 提出问题：这两个推理在思维方式上有什么共同特点？ 活动设计：学生先独立思考，然后分小组讨论． 活动结果：共同特点：部分推出整体，个别推出一般． 归纳推理的概念：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出该类事物的全部对象都具有这种性质的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理． 设计意图 引导学生观察两个推理的前提与结论，根据前提与结论的关系由学生作出进一步分类并尝试命名． 提出问题：你在生活中遇到过归纳推理吗？(学生自由发言) 活动设计：学生分小组讨论：将学生划分为两大部分，一部分学生讨论生活中运用归纳推理的例子，另一部分学生讨论学习中使用归纳推理的例子． 学情预测：学生会举出大量的归纳推理的实例，也可能举出这样的例子：“地球上有生命，火星具有一些与地球类似的特征，猜想：火星上也有生命．” 设计意图 通过学生所举的例子，教师可以了解学生对归纳推理的理解程度，通过正反实例明确概念的内涵和外延，加深对关键词、重点词的理解，及时更正学生在认识理解中产生的偏差，巩固归纳推理的定义． eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(理解新知)) 教师举例：介绍歌德巴赫猜想． 观察下列等式： 3＋7＝10， 3＋17＝20， 13＋17＝30. 你们能从中发现什么规律？ 学情预测：学生的回答可能很杂，甚至会五花八门． 如果换一种写法呢？ 10＝3＋7， 20＝3＋17， 30＝13＋17. 活动设计：学生先独立思考，然后学生分小组讨论．教师适时介入全班引导：提醒学生注意各等式左边的数是什么数？各等式右边是几个数？均是什么数？这反映了一个什么样的规律？ 活动结果：偶数＝奇质数＋奇质数． 提出问题：这个规律对于其他偶数是否成立？可以先从几个较小的偶数开始，具体验证一下． 活动设计：学生独立思考，独立举例． 教师：全班学生交流研究成果．共同得到，第一个等于两个奇质数之和的偶数是6，即6＝3＋3. 其他结果略． 教师：根据上述过程，哥德巴赫大胆地猜想：“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”．从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功．但我国著名数学家陈景润、王元、潘承洞等均分别取得了很好的结果，做出了巨大的贡献．当然也曾经有人作了些具体的验证工作，例如：6＝3＋3,8＝3＋5,10＝5＋5＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7＝3＋11,16＝5＋11,18＝5＋13，…，1 000＝29＋971,1 002＝139＋863，等等．有人对3.3×108以内且大过6的偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想都成立，但依然没有严格的数学证明．因此，我们仍然不能说：“哥德巴赫猜想”成立，即这个规律对于其他偶数是否成立还不得而知． (教师还可以介绍其他学科中运用归纳推理得到的重要发现) 提出问题：请同学们根据前面所列举的归纳推理的例子，总结归纳推理的作用． 活动设计：全班学生先在老师的带领下共同回顾前面所列举的归纳推理的例子，然后独立思考，小组讨论后汇报结果． 活动结果：归纳推理的作用： 1．发现新事实； 2．提供研究方向． 设计意图 通过学生主动探究规律，感受归纳推理对发现新事实、得出新结论的作用．在学生独立思考时教师不做任何提示，培养学生探究能力和合作精神． 介绍费马猜想：已知221＋1,222＋1,223＋1,224＋1都是质数，运用归纳推理你能得出什么样的结论？ 教师：22n＋1(n∈N)都是质数，这就是著名的费马猜想． 半个世纪后欧拉发现：225＋1＝4 294 967 297＝641×6 700 417. 这说明了什么？ 教师：费马猜想是不成立的． 后来人们又发现226＋1,227＋1,228＋1都是合数，又能得到什么样的结论？ 教师：任何形如22n＋1(n∈N，n≥6)的数都是合数． 设计意图 教师生动讲述欧拉发现第五个费马数的过程，激发学生的好奇心与求知欲，同时，通过“猜想——验证——再猜想”说明科学的进步与发展处在一个螺旋上升的过程，同时说明归纳推理的结论不一定正确，有待进一步证明． 活动结果： 归纳推理的一般步骤： 1．通过观察个别情况发现某些相同性质； 2．从已知的相同性质中推出一个表述明确的一般性命题；(即猜想) 3．检验猜想． eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(运用新知)) 例题 已知数列{an}的首项a1＝1，且有an＋1＝eq \f(an,an＋1)，试归纳出数列的通项公式． 思路分析：数列的通项公式表示的是数列{an}的第n项与序号之间的对应关系．为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项． 解：当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝eq \f(1,1＋1)＝eq \f(1,2)； 当n＝3时，a3＝eq \f(\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq \f(1,3)；当n＝4时，a4＝eq \f(\f(1,3),1＋\f(1,3))＝eq \f(1,4). 观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为an＝eq \f(1,n). 点评：掌握归纳推理的一般步骤，进一步感受归纳推理的作用．我们通过归纳得到了关于数列的通项公式的一个猜想，虽然猜想是否正确还有待严格证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向． 巩固练习 设n是自然数，则eq \f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]的值(　　) A．一定是零 B．不一定是整数 C．一定是偶数 D．是整数但不一定是偶数 【答案】C 变练演编 设f(n)＝n2＋n＋11，n∈N，计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)、…，你有什么发现？ 思路分析：分别计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)的具体数值，进行观察，发现这组数据的局部特征，从而对整体作出推断． 解：当n＝1时，f(1)＝12＋1＋11＝13；当n＝2时，f(2)＝22＋2＋11＝17； 当n＝3时，f(3)＝32＋3＋11＝23；当n＝4时，f(4)＝42＋4＋11＝31； 当n＝5时，f(5)＝52＋5＋11＝41. 观察可得，f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)都是质数， 由此猜想，任何f(n)＝n2＋n＋11，n∈N都是质数． 变式1：设f(n)＝n2＋n，n∈N，计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)、…，你有什么发现？ 变式2：设f(n)＝n2＋n＋11，n∈N，计算f(2)－f(1)、f(3)－f(2)、f(4)－f(3)、f(5)－f(4)、…，你有什么发现？ 变式3：设f(n)＝n2＋n，n∈N，计算f(2)－f(1)、f(3)－f(2)、f(4)－f(3)、f(5)－f(4)、…，你有什么发现？ 提出问题：归纳推理所得的结论有时是正确的，但有时也是错误的，那么我们为什么还要进行归纳