数学-人教B版-选修1-2-教学设计4：2.1 .1合情推理.doc-2.1.1　合情推理-第二章 推理与证明-教学设计.doc

《合情推理》教学设计 ●三维目标 1．知识与技能 (1)结合已学过的数学实例，了解归纳推理与类比推理的含义． (2)能利用归纳和类比的方法进行简单的推理． (3)体会并认识归纳推理、类比推理在数学发现中的作用． 2．过程与方法 让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系，通过让学生积极参与，亲身经历归纳、类比推理定义的获得过程，培养学生归纳推理、类比推理的思想． 3．情感、态度与价值观 通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识． ●重点难点 重点：归纳推理与类比推理概念的理解，归纳推理与类比推理思想方法的掌握． 难点：归纳推理、类比推理的应用． 通过举例分析归纳推理与类比推理的异同，让学生对两个概念有较深刻的理解，突出本节重点，通过例题讲解总结归纳推理与类比推理的应用方法及解题规律，强化训练有关题型，化解难点． 教学思路 1．关于归纳推理的教学 教学时要从具体的事例出发，让学生参与猜测，引导学生归纳，激发学生学习的兴趣，总结归纳推理的过程，让学生自己去发现归纳推理的应用方法与技巧．通过适量的练习使学生掌握观察、猜测、归纳、论证各环节的规律方法，并能灵活应用． 2．关于类比推理的教学 类比推理的难度要大于归纳推理，教学时应该借助实例帮助学生学会分析类比对象之间的异同点，学会由已知对象的性质、特征联想类比对象的相应性质特征．通过适量练习让学生逐步掌握类比的技巧方法．引导学生总结并掌握常见的类比结论． 教学流程 创设问题情境，引出问题，猜想数列的项及三角形内角和，引入归纳推理的概念．创设问题情境，引出问题，由三角形的性质，推测空间四面体的性质，从而引出类比推理的概念．创设问题情境，通过归纳推理、类比推理的概念，引出合情推理的概念．引导学生分析例题1，找出图案的个数变化，猜想出排列规律，从而计算出第六个图案的个数．总结方法，完成变式训练．  完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．讲解例题3，指出解题误区及如何避免，总结合情推理的应用类型解题方法．引导学生分析例题2，指出相对应的类比元素，三边对四面，高对高推测结论，并给出证明，总结类比方法，引导学生完成互动探究． 自主学习 课标解读 1.了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理．(重点) 2．能用归纳和类比进行简单的推理．(难点) 3．了解合情推理在数学发现中的作用. 一 归纳推理 【问题导思】　 1．数列{𝑎n}中，𝑎1＝eq \f(1,2)，𝑎2＝eq \f(3,4)，𝑎3＝eq \f(7,8)，𝑎4＝eq \f(15,16).你能猜出𝑎5的值吗？ 【提示】　𝑎5＝eq \f(31,32). 2．直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？ 【提示】　所有三角形内角和都是180°. 定义 特征 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 二 类比推理 【问题导思】　 　已知三角形的如下性质： (1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底乘积的eq \f(1,2). 1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质． 【提示】　(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积． (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的eq \f(1,3). 2．以上两个推理有什么共同特点？ 【提示】　都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的． 定义 特征 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 三 合情推理 【问题导思】　 1．归纳推理与类比推理有没有共同点？ 【提示】　二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结论． 2．归纳推理与类比推理得出的结论一定正确吗？ 【提示】　不一定正确． 　归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． 四 典例分析 例1　有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(　　)
图2－1－1 A．26　　　　　　　　　 B．31 C．32 D．36 【思路探究】　本题中图形的变化比较简单，可有两种思路：第一种，直接查个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形． 【自主解答】　法一　有菱形纹的正六边形个数如下表： 图案 1 2 3 … 个数 6 11 16 … 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B. 法二　由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有菱形纹的正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形)，第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31，故选B. 【答案】　B 1．解答本题时，关键是找出相邻图形间正六边形个数的变化规律． 2．对于图形中的归纳推理问题，可从图形中相关元素(点、直线等)的变化规律入手直接求解，也可将其转化为数列问题进行求解． 变式练习 观察下列不等式： 1＋eq \f(1,22)<eq \f(3,2)， 1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,33)<eq \f(5,3)， 1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋eq \f(1,42)<eq \f(7,4)， ……… 照此规律，第五个不等式为________． 【解析】　观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列． ∴第五个不等式为1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋eq \f(1,42)＋eq \f(1,52)＋eq \f(1,62)<eq \f(11,6). 【答案】　1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋eq \f(1,42)＋eq \f(1,52)＋eq \f(1,62)<eq \f(11,6) 例2　如图2－1－2所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论eq \f(pa,ha)＋eq \f(pb,hb)＋eq \f(pc,hc)＝1.
图2－1－2 证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明． 【思路探究】　三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高． 【自主解答】　eq \f(pa,ha)＝eq \f(\f(1,2)BC·pa,\f(1,2)BC·ha)＝eq \f(S△PBC,S△ABC)， 同理，eq \f(pb,hb