数学-人教B版-选修1-2-教学设计2：2.2.2反证法.doc-2.2.2　反证法-第二章 推理与证明-教学设计.doc

《反证法》教学设计 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次） 2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？ 3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点， 则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上， 即O是l与m的交点。 但 ∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾) ∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆. 二、讲授新课： 1. 教学反证法概念及步骤： ① 练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么
② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立. 证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立 应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）. 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 注：结合准备题分析以上知识. 2. 教学例题： ① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？ 与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结OP， 则由垂径定理：OP(AB，OP(CD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分. ② 出示例2：求证
是无理数. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为
） 证：假设
是有理数，则不妨设 EMBED Equation.DSMT4 
（m,n为互质正整数）， 从而： EMBED Equation.DSMT4 
， EMBED Equation.DSMT4 
，可见m是3的倍数. 设m=3p（p是正整数），则  EMBED Equation.DSMT4