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数学-人教B版-选修2-2-教学设计1：2.3.2 数学归纳法应用举例.doc-第二章 推理与证明-教学设计.doc
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阴天
上传于：2024-06-24
2.3.2 数学归纳法应用举例
【教学目标】
知识与技能：
1. 了解由归纳法得出的结论具有不可靠性, 理解数学归纳法的原理与本质;
2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤及其简单应用；
3. 培养学生观察、探究、分析、论证的能力, 体会类比的数学思想．
过程与方法:
1.创设情境，激发学生学习兴趣，让学生体验知识的发生与发展过程;
2.通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生严谨的逻辑推理意识，并初步掌握论证方法;
3.通过发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力.
情感与价值观:
1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；
2.通过对数学归纳法原理和本质的讨论，培养学生团结协作的精神；
3.通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；
【教学重点】
数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用.
【教学难点】
数学归纳法中两个条件的归纳，提炼和理解,及数学归纳法证明命题的两个步骤.
【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法
【教学手段】多媒体辅助课堂教学
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
情境一、“摸球实验”
这盒子中装的不是糖，而是乒乓球，下面抽几个同学从盒中分别摸出一个球，并判断乒乓球的颜色，由此猜想这盒子中所有乒乓球的颜色.
问：这个猜想对吗？ 答：不对
问：怎样判断这个猜想是对的？ 答：把它全部倒出来看或一个一个摸出来看.
问：为什么可以一个一个摸出来看？答：因为是有限的.
问：如果是无限的呢？ 答：不能采用一个一个摸出来看.
再看一个数学问题：
情境二：已知＝（），
(1) 分别求；；．（由学生齐答；；的值，老师播放幻灯片）
(2) 由此猜想出的值？这个猜想正确吗？
检验： 所以这个猜想是错的.
（的值是对的，就接着检验后面的,不要一检验就是错的）
由上面两个例子看出：由几个特殊的事例得出一般的结论有时是对的，有时是错的.
由此引出归纳法的定义： 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 分为完全归纳法和不完全归纳法.
完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；
不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.
下面看一个比较熟悉的数学问题：等差数列的通项公式：
（由学生齐答，老师在黑板上书写）
回顾等差数列通项公式推导过程：
（学生齐答，老师放幻灯）
问：这个猜想对吗？
学生答：不一定对
但我们已把它当成一个公式在用，说明这个猜想是对的，怎样证明？
法一：一个一个的检验，由于n是无限的，这个方法不可行，除非我们把有限的生命投入到无限的验算中去.
问：有没有更好的方法呢？从而引出课题：数学归纳法.（放幻灯片）
二、师生互动，探究知识
先看一个大家比较熟悉的游戏：演示多米诺骨牌游戏视频.
我们把刚才的视频简化一下，得到这样的一个实验（老师弹出事先准备好的简化的多米诺骨牌游戏的动画,并再次演示一遍）
提问：满足什么条件能使所有的骨牌全部倒下？
（把学生按前后四个同学分组，每组选一个代表发言，讨论时间大约3分钟左右）
学生代表发言（老师在黑板上书写）：
条件1：第一块要倒下;
条件2：当前面一块倒下时，后面一块必须倒下
问：其它组还有其它意见吗？（给学生提出的条件老师进行归纳整理）
问：是否满足这两个条件就可以保证所有的骨牌倒下？
给出推理（播放幻灯片）：
第1块倒下 第2块倒下 第3块倒下
第n块倒下 所有的骨牌全部倒下.
对多米诺骨牌游戏的原理进行推广：
因为骨牌是1块，2块，……,无数块,而我们要这么的等差数列的通项公式也是要证明成立,所以可将多米诺骨牌游戏的原理类比到与正整数有关的数学命题上.
多米诺骨牌游戏的原理
与正整数有关的数学命题
(1)第一块要倒下
(1)时命题成立
(2) 当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;
(2)假设成立，则时接结论也成立.
根据(1)和(2),可知无论多少块骨牌都能全部倒下
根据(1)和(2),可知对任意的正整数n，命题都成立.
（全部由学生总结提炼，老师播放幻灯片）
进一步总结数学归纳法的两个步骤：
(1)时命题成立；
(2)假设成立，则时接结论也成立.
我们把用这种模式来证明与正整数有关的数学命题叫作数学归纳法.
下面解释一下用数学归纳法来证题是可行的，有效的：
1.推理过程：
成立 成立 成立
…… 对所有的