数学-人教B版-选修2-2-课时作业2：2.3.2 数学归纳法应用举例.doc-第二章 推理与证明-学案.doc

2.3.2 数学归纳法应用举例
一、基础达标 1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝eq \f(（n＋3）（n＋4）,2)(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是 (　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 答案　D 解析　等式左边的数是从1加到n＋3. 当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4. 2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取 (　　) A．2 B．3 C．5 D．6 答案　C 解析　当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C. 3．用数学归纳法证明不等式1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)＞eq \f(127,64)(n∈N*)成立，其初始值至少应取 (　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　左边＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)＝eq \f(1－\f(1,2n),1－\f(1,2))＝2－eq \f(1,2n－1)，代入验证可知n的最小值是8. 4．用数学归纳法证明不等式eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,2n)>eq \f(11,24)(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是 (　　) A．增加了一项eq \f(1,2（k＋1）) B．增加了两项eq \f(1,2k＋1)和eq \f(1,2（k＋1）) C．增加了B中的两项，但又减少了一项eq \f(1,k＋1) D．增加了A中的一项，但又减少了一项eq \f(1,k＋1) 答案　C 解析　当n＝k时，不等式左边为eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,2k)，当n＝k＋1时，不等式左边为eq \f(1,k＋2)＋eq \f(1,k＋3)＋…＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)＋eq \f(1,2k＋2)，故选C. 5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________． 答案　(k＋3)3 解析　假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可． 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________． 答案　Sn＝eq \f(2n,n＋1) 解析　S1＝1，S2＝eq \f(4,3)，S3＝eq \f(3,2)＝eq \f(6,4)，S4＝eq \f(8,5)，猜想Sn＝eq \f(2n,n＋1). 7．已知正数数列{an}(n∈N*)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋eq \f(1,an)，用数学归纳法证明：an＝eq \r(n)－eq \r(n－1). 证明　(1)当n＝1时．a1＝S1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(1,a1)))， ∴aeq \o\al(2,1)＝1(an>0)，∴a1＝1，又eq \r(1)－eq \r(0)＝1， ∴n＝1时，结论成立． (2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝eq \r(k)－eq \r(k－1). 当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk ＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋1＋\f(1,ak＋1)))－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋\f(1,ak))) ＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋1＋\f(1,ak＋1)))－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(k)－\r(k－1)＋\f(1,\r(k)－\r(k－1)))) ＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋1＋\f(1,ak＋1)))－eq \r(k). ∴aeq \o\al(2,k＋1)＋2eq \r(k)ak＋1－1＝0， 解得ak＋1＝eq \r(k＋1)－eq \r(k)(an>0)， ∴n＝k＋1时，结论成立． 由(1)(2)可知，对n∈N*都有an＝eq \r(n)－eq \r(n－1). 二、能力提升 8．k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(　　) A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1 C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2 答案　A 解析　三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有5个对角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有9个对角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面． 9．对于不等式eq \r(n2＋n)≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，eq \r(12＋1)≤1＋1，不等式成立． ②假设n＝k(n∈N*)时，不等式成立，即eq \r(k2＋k)≤k＋1，则n＝k＋1时，eq \r(（k＋1）2＋（k＋1）)＝eq \r(k2＋3k＋2)<eq \r(k2＋3k＋2＋（k＋2）)＝eq \r(（k＋2）2)＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法 (　　) A．过程全部正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 答案　D 解析　从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求． 10．用数学归纳法证明eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋…＋eq \f(1,（n＋1）2)>eq \f(1,2)－eq \f(1,n＋2).假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________． 答案　eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋…＋eq \f(1,k2)＋eq \f(1,（k＋1）2)＋eq \f(1,（k＋2）2)>eq \f(1,2)－eq \f(1,k＋3) 解析　观察不等式中的分母变化知，eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋…＋eq \f(1,k2)＋eq \f(1,（k＋1）2)＋eq \f(1,（k＋2）2)>eq \f(1,2)－eq \f(1,k＋3). 11．求证：eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,3n)>eq \f(5,6)(n≥2，n∈N*)． 证明　(1)当n＝2时，左边＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,5)＋eq \f(1,6)>eq \f(5,6)，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,3k)>eq \f(5,6). 则当n＝k＋1时， eq \f(1,（k＋1）＋1)＋eq \f(1,（k＋1）＋2)＋…＋eq \f(1,3k)＋eq \f(1,3k＋1)＋eq \f(1,3k＋2)＋eq \f(1,3（k＋1）)＝eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋ eq \f(1,3k)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3k＋1)＋\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋3)－\f(1,k＋1)))＞eq \f(5,6)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3k＋1)＋\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋3)－\f(1,k＋1)))＞eq \f(5,6)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,3k＋3)－\f(1,k＋1)))＝eq \f(5,6)， 所以当n＝k＋1时不等式也成立． 由(1)和(2)可知，原不