数学-人教B版-选修2-2-教学设计7：2.2.1 综合法与分析法.doc-第二章 推理与证明-教学设计.doc

2.2.1　综合法与分析法 教学目标　 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点. 2.会用综合法、分析法解决问题． 知识梳理 知识点一　直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法与分析法． 知识点二　综合法 阅读下列证明过程，已知实数x，y满足x＋y＝1，求证：2x＋2y≥2eq \r(2). 证明：因为x＋y＝1，所以2x＋2y≥2eq \r(2x·2y)＝2eq \r(2x＋y)＝2eq \r(2)， 故2x＋2y≥2eq \r(2)成立． 思考　该题的证明顺序是什么？ 【答案】　从已知利用基本不等式到待证结论． 梳理　综合法 (1)定义：综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论． (2)逻辑关系：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn⇒Q(结论)． (3)特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件． 知识点三　分析法 思考　阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 已知a，b>0，求证eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab). 证明：要证eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)， 只需证a＋b≥2eq \r(ab)， 只需证a＋b－2eq \r(ab)≥0， 只需证(eq \r(a)－eq \r(b))2≥0， 因为(eq \r(a)－eq \r(b))2≥0显然成立，所以原不等式成立． 【答案】　从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件． 梳理　分析法 (1)定义：分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实． (2)逻辑关系：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知)． (3)特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件． (4)证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××，…，因为×××成立，所以×××成立． 教学案例 类型一　综合法的应用 例1　在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形． 证明　在△ABC中，A＋B＋C＝π，由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C，因此，B＝eq \f(π,3)， 由a，b，c成等比数列，得b2＝ac. 又∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2－ac＝ac， 即(a－c)2＝0，因此a＝c.故△ABC是等边三角形． 反思与感悟　用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论．其适用范围为 (1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性等． (2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用各种条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱． 跟踪训练1　已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：eq \f(b＋c－a,a)＋eq \f(c＋a－b,b)＋eq \f(a＋b－c,c)>3. 证明　因为eq \f(b＋c－a,a)＋eq \f(c＋a－b,b)＋eq \f(a＋b－c,c) ＝eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＋eq \f(b,c)＋eq \f(a,c)＋eq \f(c,a)－3， 又a，b，c为不全相等的正实数， 而eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2，eq \f(c,b)＋eq \f(b,c)≥2，eq \f(a,c)＋eq \f(c,a)≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＋eq \f(b,c)＋eq \f(a,c)＋eq \f(c,a)－3>6－3＝3， 即eq \f(b＋c－a,a)＋eq \f(c＋a－b,b)＋eq \f(a＋b－c,c)>3. 类型二　分析法的应用 例2　设a，b为实数，求证：eq \r(a2＋b2)≥eq \f(\r(2),2)(a＋b)． 证明　当a＋b≤0时，∵eq \r(a2＋b2)≥0， ∴eq \r(a2＋b2)≥eq \f(\r(2),2)(a＋b)成立． 当a＋b＞0时，用分析法证明如下： 要证eq \r(a2＋b2)≥eq \f(\r(2),2)(a＋b)， 只需证(eq \r(a2＋b2))2≥eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)(a＋b)))2， 即证a2＋b2≥eq \f(1,2)(a2＋b2＋2ab)， 即证a2＋b2≥2ab. 由于a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立， 所以eq \r(a2＋b2)≥eq \f(\r(2),2)(a＋b)． 反思与感悟　(1)当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即证”这些词语必不可少，否则会出现错误． (2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解． 跟踪训练2　求证：eq \r(a)－eq \r(a－1)<eq \r(a－2)－eq \r(a－3)(a≥3)． 证明　要证eq \r(a)－eq \r(a－1)<eq \r(a－2)－eq \r(a－3)， 只需证eq \r(a)＋eq \r(a－3)<eq \r(a－2)＋eq \r(a－1)， 只需证(eq \r(a)＋eq \r(a－3))2<(eq \r(a－2)＋eq \r(a－1))2， 只需证2a－3＋2eq \r(a2－3a)<2a－3＋2eq \r(a2－3a＋2)， 只需证eq \r(a2－3a)<eq \r(a2－3a＋2)， 只需证0<2，而0<2显然成立， 所以eq \r(a)－eq \r(a－1)<eq \r(a－2)－eq \r(a－3)(a≥3)． 类型三　综合法与分析法的综合应用 例3　已知a，b，c是不全相等的正数，且0abc. 由公式知eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)>0，eq \f(b＋c,2)≥eq \r(bc)>0，eq \f(a＋c,2)≥eq \r(ac)>0. 因为a，b，c不全相等，上面三式相乘，得 eq \f(a＋b,2)·eq \f(b＋c,2)·eq \f(a＋c,2)>eq \r(a2b2c2)＝abc， 即eq \f(a＋b,2)·eq \f(b＋c,2)·eq \f(a＋c,2)>abc成立． 所以logxeq \f(a＋b,2)＋logxeq