2.2.1 综合法和分析法
学习目标:
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法.
2.理解分析法和综合法的思考过程、特点,会用分析法和综合法证明数学问题.
学习重难点:
1.综合法、分析法解决数学问题的思路及步骤.(重点)
2.综合运用综合法、分析法解决较复杂的数学问题.(难点)
学习过程:
自学导引
1.直接证明
从题目的条件或结论出发,根据已知的定义、定理、公理等,通过推理直接推导出所要证明的结论,这种证明方法称为直接证明.常用的直接证明方法有综合法和分析法.
2.综合法
(1)定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
(2)框图表示:用P表示已知条件,已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:
3.分析法
(1)定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.
(2)框图表示:用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为:
名师点睛
1.综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题.综合法是一种由因导果的证明方法.
综合法的证明步骤用符号表示是:P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)
2.分析法是指从需证的问题出发,分析出使这个问题成立的充分条件,使问题转化为判定那些条件是否具备,其特点可以描述为“执果索因”,即从未知看需知,逐步靠拢已知.分析法的书写形式一般为“因为……,为了证明……,只需证明……,即……,因此,只需证明……,因为……成立,所以……,结论成立”.
分析法的证明步骤用符号表示是:P0(已知)⇐…⇐Pn-2⇐Pn-1⇐Pn(结论)
分析法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在分析过程步步可逆.
3.综合法与分析法的优点
综合法的优点:叙述简洁、直观,条理清楚;而且可使我们从已知的知识中进一步获得新的知识.
分析法的优点:更符合人们的思维规律,利于思考,思路自然,在探求问题的证明时,它可帮助我们构思.应该指出的是不能把分析法和综合法绝对分开,正如恩格斯所说“没有分析就没有综合”一样,分析与综合是相比较而存在的,它们既是对立的,又是统一的.严格地讲,分析是为了综合,综合又需根据分析,因而有时在一个命题的论证中,往往同时应
用两种方法,有时甚至交错使用.
课堂讲练互动:
题型一 综合法的应用
例1:设数列{an}的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*),其中m为常数,且m≠-3.
(1)求证:{an}是等比数列;
(2)若数列{an}的公比q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,bn=eq \f(3,2)f(bn-1)(n∈N*,n≥2),
求证:eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))为等差数列.
规律方法:利用综合法证明问题的步骤:
(1)分析条件选择方向:仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件),分析已知与结论之间的联系与区别,选择相关的公理、定理、公式、结论,确定恰当的解题方法.
(2)转化条件组织过程:把题目的已知条件,转化成解题所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化,组织过程时要有严密的逻辑,简洁的语言,清晰的思路.
(3)适当调整回顾反思:解题后回顾解题过程,可对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当的修饰,反思总结解题方法的选取.
变式1:已知a,b是正数,且a+b=1,求证:eq \f(1,a)+eq \f(1,b)≥4.
题型二 分析法的应用
例2:设a,b为实数,求证:eq \r(a2+b2)≥eq \f(\r(2),2)(a+b).
规律方法:用分析法证明不等式时应注意
(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;
(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式;
(3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语.
变式2:已知a,b是正实数,求证:eq \f(a,\r(b))+eq \f(b,\r(a))≥ eq \r(a)+eq \r(b).
题型三 综合法和分析法的综合应用
例3:已知a、b、c是不全相等的正数,且00,
eq \f(1,a)+eq \f(1,b)≥2 eq \r(\f(1,ab))>0,
∴(a+b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)+\f(1,b)))≥4.
又a+b=1,∴eq \f(1,a)+eq \f(1,b)≥4.
法三 eq \f(1,a)+eq \f(1,b)=eq \f(a+b,a)+eq \f(a+b,b)=1+eq \f(b,a)+eq \f(a,b)+1≥2+2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))=4.
当且仅当a=b时,取“=”号.
例2:证明:当a+b≤0时,∵eq \r(a2+b2)≥0,
∴eq \r(a2+b2)≥eq \f(\r(2),2)(a+b)成立.
当a+b>0时,用分析法证明如下:
要证eq \r(a2+b2)≥eq \f(\r(2),2)(a+b),
只需证(eq \r(a2+b2))2≥eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a+b))2,
即证a2+b2≥e