奥数讲座 五年级孙子问题与逐步约束法.doc

五年级孙子问题与逐步约束法 　　在古书《孙子算经》中有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是：有一堆物品，三个三个数剩两个，五个五个数剩三个，七个七个数剩两个。求这堆物品的个数。 　　我们称这类问题为孙子问题。 　　例1 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求满足条件的最小自然数。 　　分析与解：这道例题就是《孙子算经》中的问题。这个问题有三个条件，一下子不好解答。那么，我们能不能通过先求出满足其中一个条件的数，然后再逐步增加条件，达到最终解决问题的目的呢？我们试试看。 　　满足“除以3余2”的数，有2，5，8，11，14，17，… 　　在上面的数中再找满足“除以5余3”的数，可以找到8，8是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”两个条件的数，容易知道，8再加上3与5的公倍数，仍然满足这两个条件，所以满足这两个条件的数有 8，23，38，53，68，… 　　在上面的数中再找满足“除以7余2”的数，可以找到23，23是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”、“除以7余2”三个条件的数。23再加上或减去3，5，7的公倍数，仍然满足这三个条件，[3，5，7]=105，因为23＜105，所以满足这三个条件的最小自然数是23。 　　在例1中，若找到的数大于[3，5，7]，则应当用找到的数减去[3，5，7]的倍数，使得差小于[3，5，7]，这个差即为所求的最小自然数。 　　例2 求满足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然数。 　　分析与解：与例1类似，先求出满足“除以5余1”的数，有6，11，16，21，26，31，36，… 　　在上面的数中，再找满足“除以7余3”的数，可以找到31。同时满足“除以5余1”、“除以7余3”的数，彼此之间相差5×7=35的倍数，有 　　31，66，101，136，171，206，… 　　在上面的数中，再找满足“除以8余5”的数，可以找到101。因为101＜[5，7，8]=280，所以所求的最小自然数是101。 　　在例1、例2中，各有三个约束条件，我们先解除两个约束条件，求只满足一个约束条件的数，然后再逐步加上第二个、第三个约束条件，最终求出了满足全部三个约束条件的数。这种先放宽条件，再逐步增加条件的解题方法，叫做逐步约束法。 　　例3 在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？ 　　解：满足“除以3余2”的数有5，8，11，14，17，20，23，… 　　再满足“除以7余3”的数有17，38，59，80，101，… 　　再满足“除以11余4”的数有59。 　　因为阳[3，7，11]=231，所以符合题意的数是以59为首项，公差是231的等差数列。（10000-59）÷231=43……8，所以在10000以内符合题意的数共有44个。 　　例4 求满足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然数。 　　分析与解：如果给所求的自然数加3，所得数能同时被6，8，9整除，所以这个自然数是 　　[6，8，9]-3=72-3=69。 　　例5学校要安排66名新生住宿，小房间可以住4人，大房间可以住7人，需要多少间大、小房间，才能正好将66名新生安排下？ 　　分析与解：设需要大房间x间，小房间y间，则有7x+4y=66。 　　这个方程有两个未知数，我们没有学过它的解法，但由4y和66都是偶数，推知7x也是偶数，从而x是偶数。 　　当x=2时，由7×2+4y=66解得y=13，所以x=2，y=13是一个解。 　　因为当x增大4，y减小7时，7x增大28，4y减小28，所以对于方程的一个解x=2，y=13，当x增大4，y减小7时，仍然是方