肺结核的数学模型

肺结核在江苏省传播的数学模型 目录 一.摘要 二.问题的提出 三.问题的分析 四.建模过程 1) 问题一 1.模型假设 2.定义符号说明 3.模型建立 4.模型求解 5.结果分析 2）问题二 1.模型假设 2.定义符号说明 3.模型建立 4.模型对应曲线 5.结果分析 3）问题三 1.问题分析 2.模型假设 3.定义符号说明 4模型建立 5.模型求解 6.模型对应的曲线图形 7.结果分析 4）问题四 1.问题分析 2.模型假设 3.定义符号说明 4.模型建立 5.模型求解 6.结果分析 五.模型的评价与改进 六．参考文献 一．摘要：针对肺结核（pulmonary tuberculosis PTB）传播问题，运用常微分方程建立模型； 关键词：常微分方程； 二. 问题的提出 肺结核（pulmonary tuberculosis PTB，又名：肺痨）是由结核分枝杆菌引发的肺部感染性疾病。是严重威胁人类健康的疾病。健康人感染结核菌并不一定发病，只有在机体免疫力下降时才发病。根据世界卫生组织（WHO）统计表明：全世界每年发生结核病800～1000万，每年约有300万人死于结核病，是造成死亡人数最多的单一传染病。1993年WHO宣布“全球结核病紧急状态”， 认为结核病已成为全世界重要的公共卫生问题。我国是世界上结核疫情最严重的国家之一。肺结核的蔓延给我国人民的生活带来了很大的影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定性定量地研究传染病的传播规律对预测和控制传染病蔓延的重要性。 三．问题的分析 针对在江苏省，肺结核病毒传播和蔓延的严峻形势，用数学模型做出分析具有一定的意义，我们有必要建立数学模型来描述结核病的传染趋势，从而对肺结核病毒的传播进行有效的预防和控制经分析对肺结核（pulmonary tuberculosis PTB）传播建立数学模型的具体要求如下： 1）分析肺结核传播初期模型的合理性与实用性； 2）建立新的肺结核传播模型，说明哪些方面优于初期模型，特别要说明怎样才能建立一个真正能够为预测和控制提供可靠、足够信息的模型，这样做的困难在哪里，对于卫生部门所采取的措施做出评价，如：起始时因症状轻微患者自觉无不适，一般不引起注意。只有在病情发展进展时才出现症状，有的人抵抗力很差，感染结核菌的菌量大，毒力强，那么症状会非常明显，在此情况下，对病疫传播的影响作出估计。 四．模型的分析与建立 1) 问题一 1.模型假设 假设疾病传播期间,江苏省的总人数N是不变的，假设t时刻的病人数N(t)是连续的可微函数。 2.定义符号说明 N——江苏省的总人数；  EMBED Equation.DSMT4 
——每个病人每天平均接触的人数。 3.模型建立 则t到( EMBED Equation.3 
)病人人数的增加就有：  EMBED Equation.3 
 再设t=0时有N0病人，即得微分方程  EMBED Equation.DSMT4 
 (1) 4.模型求解 则方程(1)的解为：  EMBED Equation.DSMT4 
; (2) 5.结果分析：由方程组的解可知该模型是一个指数模型，即随着时间的t推移，病人的人数将按指数规律增长，若考虑到传染期限L的作用，变化与方程组(1)的解会有显著的偏离率,速度会放慢。 该模型的不合理处在于：在病人接触的人群中有健康者也有病人，其中被接触的健康者才能被感染为病人，且根据生活的实际，病人的人数不可能无限增长。 2）问题二 1.模型假设 a.假设在疾病传播期间，江苏省的总人数N是不变的，不考虑人口的迁移，则在t时刻时，健康者S与病人I这两类人在人群中所占的比例分别记作s(t)和i(t); b. 每个病人每天接触的平均人数为 EMBED Equation.DSMT4 
， EMBED Equation.DSMT4 
称为日接触率但由于被结核菌 HYPERLINK "http://www.haodf.com/jibing/ganran.htm" \t "_blank" 感染的人群中只有 5％—10％的人会发生结核病,其余90%以上的人并不发病，且根据医学研究表明感染了结核病菌而没有发病的这类人是不会传播结核病的。则记被感染且发病的人占病人日接触人数的 EMBED Equation.3 
， EMBED Equation.3 
的范围在5％~10％之间； 2.定义符号说明 N——江苏省的总人数；  EMBED Equation.DSMT4 
——每个病人的日接触率；  EMBED Equation.3 
——健康者S在人群中占的比例；  EMBED Equation.3 
——病人I在人群中占的比例；  EMBED Equation.3 
——被病人接触感染的人群中实际发病的比率；  EMBED Equation.DSMT4 
——每个病人的日有效接触率 3.模型建立 根据假设则每个病人每天可使 EMBED Equation.3 
s(t)个健康者成为病人，病人的人数为Ni(t),所以每天被有效感染的健康的人数为 EMBED Equation.3 
Ns(t)i(t)，于是 EMBED Equation.3 
Ns(t)i(t)就是病人数Ni(t)的增加率，即有  EMBED Equation.3 
 (3) 又因为  EMBED Equation.DSMT4 
 (4)再记初始时刻（t=0）时病人的比例为 EMBED Equation.DSMT4 
，则  EMBED Equation.3 
 (5) 则它的解为  EMBED Equation.3 
 (6) 4.模型对应的曲线  EMBED Equation.3 
和 EMBED Equation.3 
的图形如图1和图2所示。

图1 SI模型的 EMBED Equation.3 
曲线 图2 SI模型的 EMBED Equation.3 
曲线 5.结果分析：由(5),(6)式及图1可知，当i=1/2时 EMBED Equation.DSMT4 
达到最大值 EMBED Equation.DSMT4 
，这个时刻  EMBED Equation.3 
 (7) 此时病人增加的最快，可以认为此时是医疗机构门诊量最大的一天，预示着肺结核高峰期的到来，是医疗机构部门最关注的时刻，tm与 EMBED Equation.DSMT4 
成反比， EMBED Equation.DSMT4 
越小则表明卫生水平越高。所以可以知道改善保健设施，提高卫生水平可以推迟肺结核病高峰期的到来。 该模型的不合理之处在于：当t→∞时 EMBED Equation.DSMT4 
→1，即所有人都将被传染，全部变为病人，没有考虑到病人是可以被治愈的，单纯认为病人不会成为健康者，与实际情况不吻合。 3）问题三： 1.问题分析： 对肺结核病而言，人体对肺结核病菌是不具有终生免疫力的，得了还能再得，而且病菌也不容易全部在体内杀死，而是部分转入惰性状态，造成二次患病的危险增大。而感染结核病毒的患者体内的结核菌是活的且具有强毒力，一旦机体免疫下降，很可能复发，或者再次感染，也就是病人被治愈后变为健康者，变为健康者还可以再次被感染成为病人； 2.模型假设 假设疾病传播期间，江苏省的总人数N是不变的，不考虑人口迁移的影响，则在t时刻时，健康者S与病人I这两类人在总人群中所占的比例分别记作s(t)和i(t); 每个病人每天有效接触（即与健康者接触时，使健康者接触受感染成为病人）的平均人数是常数 EMBED Equation.3 
， EMBED Equation.3 
称为日接触率，与问题二模型假设相同， EMBED Equation.3 
的范围是5％—10％； 每天被治愈的病人人数占病人总数的比例为常数 EMBED Equation.DSMT4 
, EMBED Equation.DSMT4 
称为日治愈率。病人治愈后仍可被感染成为病人，则 EMBED Equation.DSMT4 
称为肺结核病的平均传染期； 3.定义符号说明 N——江苏省的总人数；  EMBED Equation.DSMT4 
——每个病人的日接触率；  EMBED Equation.3 
——健康者S在人群中占的比例；  EMBED Equation.3 
——病人I在人群中占的比例；  EMBED Equation.3 
——被感染的人群中实际发病的比率；  EMBED Equation.DSMT4 
——日治愈率。 4.模型建立 根据模型的假设则有：  EMBED Equation.3 
 (8)  EMBED Equation.3 
 (9) 令  EMBED Equation.3 
 (10) 则 EMBED Equation.DSMT4 
是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。 利用 EMBED Equation.DSMT4 
则（9）可以修改为  EMBED Equation.3 
 （11） 5.模型分析 则由方程（11）易画出 EMBED Equation.3 
图形

图三 SIS的 EMBED Equation.3 
图形( EMBED Equation.3 
) 图四 SIS的 EMBED Equation.3 
图形( EMBED Equation.3 
)  SHAPE \* MERGEFORMAT   SHAPE \* MERGEFORMAT 
 SHAPE \* MERGEFORMAT  图五 SIS的 EMBED Equation.3 
图形( EMBED Equation.3 
) 图六 SIS的 EMBED Equation.3 
图形( EMBED Equation.3 
) 6.结果分析 由图三到图六可以看出，接触数 EMBED Equation.3 
是一个临界点，当 EMBED Equation.3 
时，如图六， EMBED Equation.3 
的增减性取决于 EMBED Equation.3 
的大小，经过很长的一段时间，他们都无穷的趋向于 EMBED Equation.3 
，但其值 EMBED Equation.3 
的大小随  EMBED Equation.DSMT4 
的增加而增加，所以即为整个传染期内每个病人有效接触的平均人数越多，患病的人数越多。 当 EMBED Equation.3 
时，由图五可知，病人的人数 EMBED Equation.3 
随着时间t的变化越来越小，最终无穷趋向于零（因为 EMBED Equation.DSMT4 
是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，由 EMBED Equ