2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）(教师版).docx

第页共页年高考理数真题试卷全国乙卷一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的共题共分设则考点复数代数形式的混合运算故答案为分析先设的代数式代入运算后由复数相等的条件即可求得结果答案考点交集及其运算已知命题命题则下列命题中为真命题的是答案考点全称量词命题存在量词命题命题的否定命题的真假判断与应用解析解答因为命题是真命题命题也是真命题故答案为分析先判断命题的真假然后判断选项的真假设函数则下列函数中为奇函数的是答案考点函数奇偶性的判断函数奇偶性的性质解析解答因为所以函数的对称中心是所以函数向右平移个单位再向上平移个单位后关于中心对称而四个选项中只有满足条件第页共页故答案为分析将函数变形为后判断在正方体中为的中点则直线与所成的角为答案考点直线与平面所成的角故答案为分析在正方体中作辅助线通过平移线作出所要求的角将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰短道速滑冰球和冰壶个项目进行培训每名志愿者只分到个项目每个项目至少分配名志愿者则不同的分配方案共有考点排列组合及简单计数问题解析解答由题意知必须有个人一组其他各组只有个人所以分配方法是故答案为第页共页把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数的图像则答案考点由的部分图象确定其解析式解析解答根据图象平移的规律可知将的图像上所有的点向左平移平移个单位纵坐标不变得到再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍即函数的周期变原来的倍就得到函数故答案为分析根据三角函数图象的相位周期变化规律来解题在区间与中各随机取个数则两数之和大于的概率为答案考点几何概型解析解答不妨设这两个数为且在平面直角坐标系内的取值表示为一个正方四个顶点且包括边界在内的正方形区域作直线满足的取值的可行域如图中阴影部分表示第页共页直线与正方形的两个交点分别为则可计算事件人概率为故选分析利用几何概型解答魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作其中第一题是测量海盗的高如图点在水平线上和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度称为表高称为表距和都称为表目距与的差称为表目距的差表高表距表目距的差表高表高表距表目距的差表高第页共页表高表距表目距的差表距表高表距表目距的差表距答案考点解三角形的实际应用解析解答如图连接直线交于则设则因为所以所以表高表距表目距的差表高故答案为分析通过作辅助线如图然后利用解直角形的知识来解答答案考点二次函数的图象二次函数的性质解析解答当时若为极大值点则如图必有故项错第页共页当时若为极大值点则如图必有故错故答案为分析对的正负进行讨论根据极值点的意义作图分析得到正确选项设是椭圆的上顶点若上的任意一点都满足则的离心率的取值范围是答案考点椭圆的定义椭圆的简单性质解析解答依题意点设则有移项并用十字相乘法得到因为故故恒成立即恒成立据此解得故故答案为分析由两点间的距离公式表示出再根据椭圆上任意点的纵坐标的取值范围解相关不等式得到结果答案考点指数函数的图象与性质对数函数的图象与性质解析解答构造函数则则当时第页共页所以所以在单调递减所以即所以再构造函数则而当时所以所以在上单调递增所以即所以故答案为分析本题就在于构造恰当的函数利用导数研究函数的单调性从而解题二填空题本题共小题每小题分共分共题共分已知双曲线的一条渐近线为则的焦距为答案考点双曲线的定义双曲线的简单性质解析解答因为又曲线方程一条渐近线是则所以双曲线方程是故答案为分析由双曲线渐近线的斜率可得到的值再进一步求得焦距的值已知向量若则考点平面向量的坐标运算平面向量数量积的运算数量积判断两个平面向量的垂直关系解析解答因为所以所以故答案为分析先计算出的坐标式再根据两向量垂直列式求解记的内角的对边分别为面积为则答案考点余弦定理三角形中的几何计算解析解答于是分析根据面积的值计算出再由余弦定理求解以图为正视图在图中选两个分别作为侧视图和俯视图组成某个三棱锥的三视图则所选侧视图和俯视图的编号依次为写出符合要求的一组答案即可第页共页答案或考点由三视图还原实物图解析解答当俯视图为时右侧棱在左侧不可观测到所以为虚线故选择为侧视图当俯视图为时左侧棱在左侧可观测到所以为实线故选择为侧视图故答案为或分析分情况讨论各种视图的位置关系三解答题共分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第题为必考题每个试题考生都必须作答第题为选考题考生根据要求作答共题共分某厂研究了一种生产高精产品的设备为检验新设备生产产品的某项指标有无提高用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品得到各件产品该项指标数据如下旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和样本方差分别记为和判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高否则不认为有显著提高答案解各项所求值如下所示由中数据得第页共页显然所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高考点众数中位数平均数极差方差与标准差解析分析先计算新旧样本平均数再直接用公式计算由中的数据计算得显然可得到答案如图四棱锥的底面是矩形底面为的中点且答案解因为平面且矩形中所以以分别为轴正方向为原点建立空间直角坐标系设所以因为所以所以所以设平面的一个法向量为由于则第页共页令得设平面的一个法向量为则考点向量方法证明线面的位置关系定理用空间向量求直线与平面的夹角解析分析建立空间直角坐标系定义相关点的坐标通过计算求解呈上分别求二面角的两个平面的法向量用法向量的夹角计算记为数列的前项和为数列的前项和已知证明数列是等差数列求的通项公式故是以为首项为公差的等差数列考点等差数列的通项公式等差数列的前项和数列递推式解析分析根据等差数列及前项和的定义由递推关系求证呈上先写出再求前磺的和再由与的关系进一步求得结果设函数已知是函数的极值点求设函数证明第页共页当时当时则所以在上单调递减在上单调递增故得证考点利用导数研究函数的极值导数在最大值最小值问题中的应用解析分析先对函数求导因为是方程的根代入求得值首先由写出函数并求其定义域将问题转化为证明即证然后通过换元构造函数用导数研究相关函数的单调性从而证明命题成立己知抛物线的焦点为且与圆上点的距离的最小值为求若点在上是的两条切线是切点求的最大值而故当时达到最大最大值为考点圆的标准方程抛物线的标准方程抛物线的应用解析分析因为点到圆上距离最小的即为到圆心的距离减去半径据此得到结果由写出抛物线的标准方程分别设出切点的坐标及在圆上的坐标分别写出两条切线的方程利用都过点建立方程求解最后通过三角形面积表达式研究最值四选修一坐标系与参数方程共题共分第页共页在直角坐标系中的圆心为半径为写出的一个参数方程过点作的两条切线以坐标原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系求这两条直线的极坐标方程答案因为的圆心为半径为故的参数方程为为参数解得故直线方程为故两条切线的极坐标方程为或考点点的极坐标和直角坐标的互化参数方程化成普通方程解析分析根据圆的参数方程的定义不难得到圆的参数方程设出过点的圆的切线方程利用直线与相切求出切线的斜率进而求得两条切线的方程并将它们化为极坐标方程五选修一不等式选讲共题共分已知函数当时求不等式的解集若求的取值范围当时十得当时此时没有满足条件当时得综上解集为最小值而由绝对值的几何意义即求到和距离的最小值当在和之间时最小此时最小值为即考点不等式的综合解析分析当写出进一步分段讨论去值解不等式只要保证最小值而由绝对值的几何意义即求到和距离的最小值