2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）(学生版).docx

2021年高考理数真题试卷（全国乙卷） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分） 1.设2（z+ 𝑧 ）+3(z- 𝑧 )=4+6i，则z=（   ）. A. 1-2i                                      
B. 1+2i                                      
C. 1+i                                      
D. 1-i 2.已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（   ） A. ∅                                            
B. S                                          
C. T                                          
D. Z 3.已知命题p： ∃ x∈R，sinx＜1；命题q： ∀ x∈R， 𝑒|𝑥| ≥1，则下列命题中为真命题的是（ ） A. p ∧ q                            B. ¬ p ∧ q                            C. p ∧¬ q                            D. ¬ (pVq) 4.设函数f(x)= 1−𝑥1+𝑥 ，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. f(x-1)-1                            
B. f(x-1)+1                            
C. f(x+1)-1                            
D. f(x+1)+1 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ） A. 𝜋2                                         
B. 𝜋3                                         
C. 𝜋4                                         
D. 𝜋6 6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种                                  
B. 120种                                  
C. 240种                                  
D. 480种 7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 𝜋3 个单位长度，得到函数y=sin(x- 𝜋4 )的图像，则f(x)=（ ） A. sin( 𝑥2−7𝜋12 )                 B. sin( 𝑥2+𝜋12 )                 C. sin( 2𝑥−7𝜋12 )                 D. sin( 2𝑥+𝜋12 ) 8.在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于 74 的概率为（ ） A. 74                                        
B. 2332                                        
C. 932                                        
D. 29 9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.
A. 表高×表距表目距的差+表高B. 表高×表距表目距的差−表高C. 表高×表距表目距的差+表距D. 表高×表距表目距的差−表距 10.设a≠0，若x=a为函数 f(x)=a(x−a)2(x−b) 的极大值点，则（ ） A. a＜b                                 
B. a＞b                                 
C. ab＜a2                                 
D. ab＞a2 11.设B是椭圆C： x2a2+y2b2=1 （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 |PB|≤2b ，则C的离心率的取值范围是（   ） A. [22,1)                                
B. [12,1)                                
C. (0,22]                                
D. (0,12] 12.设 a=2ln1.01 ， b=ln1.02 ， c=1.04−1 ，则（ ） A. a＜b＜c                             B. b＜c＜a                             C. b＜a＜c                             D. c＜a＜b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分） 13.已知双曲线C： x2m−y2=1 （m>0）的一条渐近线为 3x +my=0，则C的焦距为________. 14.已知向量 𝑎 =（1，3），b=（3，4），若（ 𝑎 -λ 𝑏 ）⊥ 𝑏 ， 则λ=________。 15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 3 ，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________. 16.以图①为正视图和俯视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合要求的一组答案即可）.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分） 17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 𝑥 和 𝑦 ，样本方差分别记为s12和s22 （1）求 𝑥 ， 𝑦 ， s12 ， s22； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 𝑦 - 𝑥 ≥ 2𝑠12+𝑠222 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）. 18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，
（1）求BC； （2）求二面角A-PM-B的正弦值。 19.记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项和，已知 2𝑆𝑛+1𝑏𝑛 =2. （1）证明：数列{bn}是等差数列； （2）求{an}的通项公式. 20.设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。 （1）求a； （2）设函数g（x）= 𝑥+f（x）𝑥f（x） ，证明：g（x）＜1. 21.己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4. （1）求p； （2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 Δ PAB的最大值. 四、［选修4一4：坐标系与参数方程］（共1题；共10分） 22.在直角坐标系xOy中， ⊙ C的圆心为C（2，1），半径为1. （1）写出 ⊙ C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）过点F（4，1）作 ⊙ C的两条切线， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程. 五、[选修4一5：不等式选讲]（共1题；共10分） 23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|. （1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集； （2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.  答案解析部分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【答案】 C 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】设𝑧=𝑎−𝑏𝑖, 2(𝑧+𝑧)+3(𝑧−𝑧)=5𝑧−𝑧=4𝑎+6𝑏𝑖=4+6𝑖,所以a=b=1，所以z＝1+i。 故答案为：C 【分析】先设z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。 2.【答案】 C 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】当n=2k   (𝑘∈𝑍) 时，S={s|s=4k+1, 𝑘∈𝑧 }, 当n=2k+1   (𝑘∈𝑍) 时,S={s|s=4k+3, 𝑘∈𝑧 } 所以𝑇⊂S,所以𝑆∩𝑇=𝑇,  故答案为：C. 【分析】分n的奇偶讨论集合S。 3.【答案】 A 【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用 【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题 q也是真命题， 故答案为：A 【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。 4.【答案】 B 【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质 【解析】【解答】因为 f(x)= 1−𝑥1+𝑥=−1+2𝑥+1 ， 所以函数的对称中心是(-1,-1)，所以函数f(x)向右平移1 个单位，再向上平移1个单位后关于（0，0）中心对称，而四个选项中只有B满足条件， 故答案为：B。 【分析】将 函数变形为f(x)= =−1+2𝑥+1后，判断。 5.【答案】 D 【考点】直线与平面所成的角 【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x，
 因为D1P||OB||BD,且D1P=BO=12BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1,所以∠𝐴𝐷1𝑂 即为所求的角，易证𝐴𝑂⊥平面BDD1B1,故𝐴𝑂⊥OD1, 又𝐴𝑂=12𝐴𝐶=12𝐴𝐷1,所以∠𝐴𝐷1𝑂＝𝜋6. 故答案为：D 【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。 6.【答案】 C 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】由题意知，必须有2个人一组，其他各组只有1个人，所以分配方法是：𝐶52𝐶41𝐴33=240 ，  故答案为：C. 【分析】利用排列与组合来求解。 7.【答案】 B 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将y= y=sin(x- 𝜋4 )的图像 上所有的点向左平移平移𝜋3个单位，纵坐标不变，得到𝑦=sin(𝑥+𝜋12),再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就得到函数y=sin(𝑥2+𝜋12) ， 故答案为：B。 【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。 8.【答案】 B 【考点】几何概型 【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b且 0