2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）(教师版).docx

2021年高考理数真题试卷（全国乙卷） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分） 1.设2（z+ 𝑧 ）+3(z- 𝑧 )=4+6i，则z=（   ）. A. 1-2i                                      
B. 1+2i                                      
C. 1+i                                      
D. 1-i 【答案】 C 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】设𝑧=𝑎−𝑏𝑖, 2(𝑧+𝑧)+3(𝑧−𝑧)=5𝑧−𝑧=4𝑎+6𝑏𝑖=4+6𝑖,所以a=b=1，所以z＝1+i。 故答案为：C 【分析】先设z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。 2.已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（   ） A. ∅                                            
B. S                                          
C. T                                          
D. Z 【答案】 C 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】当n=2k   (𝑘∈𝑍) 时，S={s|s=4k+1, 𝑘∈𝑧 }, 当n=2k+1   (𝑘∈𝑍) 时,S={s|s=4k+3, 𝑘∈𝑧 } 所以𝑇⊂S,所以𝑆∩𝑇=𝑇,  故答案为：C. 【分析】分n的奇偶讨论集合S。 3.已知命题p： ∃ x∈R，sinx＜1；命题q： ∀ x∈R， 𝑒|𝑥| ≥1，则下列命题中为真命题的是（ ） A. p ∧ q                            B. ¬ p ∧ q                            C. p ∧¬ q                            D. ¬ (pVq) 【答案】 A 【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用 【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题 q也是真命题， 故答案为：A 【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。 4.设函数f(x)= 1−𝑥1+𝑥 ，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. f(x-1)-1                            
B. f(x-1)+1                            
C. f(x+1)-1                            
D. f(x+1)+1 【答案】 B 【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质 【解析】【解答】因为 f(x)= 1−𝑥1+𝑥=−1+2𝑥+1 ， 所以函数的对称中心是(-1,-1)，所以函数f(x)向右平移1 个单位，再向上平移1个单位后关于（0，0）中心对称，而四个选项中只有B满足条件， 故答案为：B。 【分析】将 函数变形为f(x)= =−1+2𝑥+1后，判断。 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ） A. 𝜋2                                         
B. 𝜋3                                         
C. 𝜋4                                         
D. 𝜋6 【答案】 D 【考点】直线与平面所成的角 【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x，
 因为D1P||OB||BD,且D1P=BO=12BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1,所以∠𝐴𝐷1𝑂 即为所求的角，易证𝐴𝑂⊥平面BDD1B1,故𝐴𝑂⊥OD1, 又𝐴𝑂=12𝐴𝐶=12𝐴𝐷1,所以∠𝐴𝐷1𝑂＝𝜋6. 故答案为：D 【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。 6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种                                  
B. 120种                                  
C. 240种                                  
D. 480种 【答案】 C 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】由题意知，必须有2个人一组，其他各组只有1个人，所以分配方法是：𝐶52𝐶41𝐴33=240 ，  故答案为：C. 【分析】利用排列与组合来求解。 7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 𝜋3 个单位长度，得到函数y=sin(x- 𝜋4 )的图像，则f(x)=（ ） A. sin( 𝑥2−7𝜋12 )                 B. sin( 𝑥2+𝜋12 )                 C. sin( 2𝑥−7𝜋12 )                 D. sin( 2𝑥+𝜋12 ) 【答案】 B 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将y= y=sin(x- 𝜋4 )的图像 上所有的点向左平移平移𝜋3个单位，纵坐标不变，得到𝑦=sin(𝑥+𝜋12),再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就得到函数y=sin(𝑥2+𝜋12) ， 故答案为：B。 【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。 8.在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于 74 的概率为（ ） A. 74                                        
B. 2332                                        
C. 932                                        
D. 29 【答案】 B 【考点】几何概型 【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b且 0 74的a,b取值的可行域如图中阴影部分表示，
 直线a+b＝ 74与正方形的两个交点分别为(34,1),(0,74),则可计算事件(a+b>74R人svyf概率为P＝1－34×34×12=2332, 故选B。 【分析】利用几何概型解答。 9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.
A. 表高×表距表目距的差+表高B. 表高×表距表目距的差−表高C. 表高×表距表目距的差+表距D. 表高×表距表目距的差−表距 【答案】 A 【考点】解三角形的实际应用 【解析】【解答】如图，连接DF,直线DF交AB于M，
 则AB＝AM+BM,设∠𝐵𝐷𝑀=𝛼,∠𝐵𝐹𝑀=𝛽,则 𝑀𝐵tan𝛼−𝐹𝐺tan𝛽=𝑀𝐹−𝑀𝐷=𝐷𝐹,因为tan𝛽=𝐹𝐺𝐺𝐶,tan𝛼=𝐸𝐷𝐸𝐻,所以𝑀𝐵tan𝛼−𝑀𝐵tan𝛽=𝑀𝐵(1tan𝛼−1tan𝛽)=𝑀𝐵(𝐺𝐶𝐹𝐺−𝐸𝐻𝐸𝐷)=𝑀𝐵(𝐺𝐶−𝐸𝐻𝐸𝐷),所以𝐴𝐵=表高×表距表目距的差+表高。 故答案为：A. 【分析】通过作辅助线，(如图)，然后利用解直角形的知识来解答。 10.设a≠0，若x=a为函数 f(x)=a(x−a)2(x−b) 的极大值点，则（ ） A. a＜b                                 
B. a＞b                                 
C. ab＜a2                                 
D. ab＞a2 【答案】 D 【考点】二次函数的图象，二次函数的性质 【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有ab>a2,故A错。 故答案为：D.  【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。 11.设B是椭圆C： x2a2+y2b2=1 （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 |PB|≤2b ，则C的离心率的取值范围是（   ） A. [22,1)                                
B. [12,1)                                
C. (0,22]                                
D. (0,12] 【答案】 C 【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质 【解析】【解答】依题意，点B(0,b),设P(x0,y0),则有|𝑃𝐵|2=𝑥02+(𝑦0−𝑏)2=𝑎2(1−𝑦02𝑏2)+𝑦02−2𝑏𝑦0+𝑏2 −𝑐2𝑏0𝑦02−2𝑏𝑦0+𝑐2+2𝑏2≤4𝑏2,移项并用十字相乘法得到：(𝑦0+𝑏)(−𝑐2𝑏2𝑦0+𝑐2−2𝑏2𝑏)≤0, 因为−𝑏≤𝑦𝑜≤𝑏,故𝑦0+𝑏≥0,故−𝑐2𝑏2𝑦0+𝑐2−2𝑏2𝑏≤0恒成立，即−𝑐2𝑏2(−𝑏)+𝑐2−2𝑏2𝑏≤0恒 成立， 据此解得𝑎2≥2𝑐2,故𝑒∈(0,22] ，  故答案为：C。 【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2 ， 再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。 12.设 a=2ln1.01 ， b=ln1.02 ， c=1.04−1 ，则（ ） A. a＜b＜c                             B. b＜c＜a                             C. b＜a＜c                             D. c＜a＜b 【答案】 B 【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质 【解析】【解答】构造函数f(x)=ln(1+x)-1+2𝑥+1 ， 则b-c=f(0.02)，则𝑓/(𝑥)=11+𝑥−221+2𝑥=1+2𝑥−(1+𝑥)(1+𝑥)1+2𝑥,当x>0时，1+𝑥=(1+𝑥)2=(1+2𝑥+𝑥2>(1+2𝑥, 所以f/(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减，所以f(0.02)𝑔(0)=0,即𝑎>𝑐,所以b0）的一条渐近线为 3x +my=0，则C的焦距为________. 【答案】 4 【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质 【解析】【解答】因为又曲线方程C：𝑥2𝑚−𝑦2=1(𝑚>0),一条渐近线是3𝑥+𝑚𝑦=0,则 𝑚=3 ，  所以双曲线方程是𝑥23−𝑦2=1 ,2𝑐=2𝑚+1=4, 故答案为：4 【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。 14.已知向量 𝑎 =（1，3），b=（3，4），若（ 𝑎 -λ 𝑏 ）⊥ 𝑏 ， 则λ=________。 【答案】 35 【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】因为𝑎⇀=(1,3),𝑏⇀=(3,4), ⇒𝑎⇀－𝜆𝑏⇀=(1−3𝜆,3−4𝜆),(𝑎⇀－𝜆𝑏⇀)⊥𝑏⇀ ， 所以(𝑎⇀－𝜆𝑏⇀)×𝑏⇀＝0 ，  所以(3,4)×(1−3𝜆,3−4𝜆)＝0⇒𝜆＝35 ，  故答案为：35. 【分析】先计算出𝑎⇀－𝜆𝑏⇀的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。 15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 3 ，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________. 【答案】 22 【考点】余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【解答】𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin𝐵=12𝑎𝑐sin600=34𝑎𝑐=3⇒𝑎𝑐=4, 于是𝑏=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑎𝑐=2𝑎𝑐=22 【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。 16.以图①为正视图和俯视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合要求的一组答案即可）.
【答案】 ②⑤或③④ 【考点】由三视图还原实物图 【解析】【解答】当俯视图为 ④ 时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图； 当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图， 故答案为： ②⑤或③④ 【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分） 17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 𝑥 和 𝑦 ，样本方差分别记为s12和s22 （1）求 𝑥 ， 𝑦 ， s12 ， s22； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 𝑦 - 𝑥 ≥ 2𝑠12+𝑠222 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）. 【答案】 （1）解：各项所求值如下所示 𝑥 = 110 (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0 𝑦 = 110 (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3 𝑠12 = 110 x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36， 𝑠22 = 110 x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4. （2）由(1)中数据得 𝑦 - 𝑥 =0.3，2 𝑠12+𝑠2210 ≈0.34 显然 𝑦 - 𝑥 ＜2 𝑠12+𝑠2210 ，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。 【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差 【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数𝑥,𝑦 ， 再直接用公式计算 s12 ， s22； (2)由 (1)中的数据，计算得： 𝑦 - 𝑥 =0.3，2 𝑠12+𝑠2210 ≈0.34 ， 显然 𝑦 - 𝑥 ＜2 𝑠12+𝑠2210 ，可得到答案。 18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，
（1）求BC； （2）求二面角A-PM-B的正弦值。 【答案】 （1）解：因为PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以 𝐷𝐴 ， 𝐷𝐶 ， 𝐷𝑃 分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。
设BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（ 𝑡2 ，1，0），P(0，0，1)，所以 𝑃𝐵 =（t，1，-1）， 𝐴𝑀 =