高考数学必胜秘诀在哪？——概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(十三)导 数

高考数学必胜秘诀在哪？ ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 十三.导 数 1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 如一物体的运动方程是
，其中
的单位是米，
的单位是秒，那么物体在
时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 2、导函数的概念：如果函数
在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个
，都对应着一个导数
，这样
在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做
在开区间（a,b）内的导函数， 记作

，导函数也简称为导数。 3、求
在
处的导数的步骤：（1）求函数的改变量
；（2）求平均变化率
；（3）取极限，得导数
。 4、导数的几何意义：函数
在点
处的导数的几何意义，就是曲线
在点
处的切线的斜率，即曲线
在点
处的切线的斜率是
，相应地切线的方程是
。特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是
。如（1）P在曲线
上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是______（答：
）；（2）直线
是曲线
的一条切线,则实数
的值为_______（答：－3或1）；（3）已知函数
（
为常数）图象上
处的切线与
的夹角为
，则
点的横坐标为_____（答：0或
）；（4）曲线
在点
处的切线方程是______________（答：
）；（5）已知函数
，又导函数
的图象与
轴交于
。①求
的值；②求过点
的曲线
的切线方程（答：①1；②
或
）。 5、导数的运算法则：（1）常数函数的导数为0，即
（C为常数）；　（2）
，与此有关的如下：
；（3）若
有导数，则①
；②
。如（1）已知函数
的导数为
，则
_____（答：
）；（2）函数
的导数为__________（答：
）；（3）若对任意
，
，则
是______（答：
） 6、多项式函数的单调性： （1）多项式函数的导数与函数的单调性： ①若
,则
为增函数；若
,则
为减函数；若
恒成立,则
为常数函数；若
的符号不确定,则
不是单调函数。 ②若函数
在区间（
）上单调递增，则
，反之等号不成立；若函数
在区间（
）上单调递减，则
，反之等号不成立。如（1）函数
，其中 EMBED Equation.3 
为实数，当 EMBED Equation.3 
时， EMBED Equation.3 
的单调性是______（答：增函数）；（2）设 EMBED Equation.3 
函数 EMBED Equation.3 
在 EMBED Equation.3 
上单调函数，则实数 EMBED Equation.3 
的取值范围______（答： EMBED Equation.DSMT4 
）；（3）已知函数 EMBED Equation.3 
为常数）在区间 EMBED Equation.3 
上单调递增，且方程 EMBED Equation.3 
的根都在区间 EMBED Equation.3 
内，则 EMBED Equation.3 
的取值范围是____________（答： EMBED Equation.DSMT4 
）；（4）已知 EMBED Equation.3 
， EMBED Equation.3 
，设 EMBED Equation.3 
，试问是否存在实数 EMBED Equation.3 
，使 EMBED Equation.3 
在 EMBED Equation.3 
上是减函数，并且在 EMBED Equation.3 
上是增函数？（答： EMBED Equation.DSMT4 
） （2）利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求 EMBED Equation.DSMT4 
；（2）求方程 EMBED Equation.DSMT4 
的根，设根为 EMBED Equation.DSMT4 
；（3） EMBED Equation.DSMT4 
将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断 EMBED Equation.DSMT4 
的符号，由此确定每一子区间的单调性。如设函数 EMBED Equation.3 
在 EMBED Equation.3 
处有极值，且 EMBED Equation.3 
，求 EMBED Equation.3 
的单调区间。（答：递增区间（－1,1），递减区间 EMBED Equation.DSMT4 
） 7、函数的极值： （1）定义：设函数 EMBED Equation.DSMT4 
在点 EMBED Equation.DSMT4 
附近有定义，如果对 EMBED Equation.DSMT4 
附近所有的点，都有 EMBED Equation.DSMT4 
，就说是 EMBED Equation.DSMT4 
函数 EMBED Equation.DSMT4 
的一个极大值。记作 EMBED Equation.DSMT4 
＝ EMBED Equation.DSMT4 
，如果对 EMBED Equation.DSMT4 
附近所有的点，都有 EMBED Equation.DSMT4 
，就说是 EMBED Equation.DSMT4 
函数 EMBED Equation.DSMT4 
的一个极小值。记作 EMBED Equation.DSMT4 
＝ EMBED Equation.DSMT4 
。极大值和极小值统称为极值。 （2）求函数 EMBED Equation.DSMT4 
在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数 EMBED Equation.DSMT4 
；（ii）求方程 EMBED Equation.DSMT4 
的根 EMBED Equation.DSMT4 
；（iii）检查 EMBED Equation.DSMT4 
在方程 EMBED Equation.DSMT4 
的根 EMBED Equation.DSMT4 
的左右的符号：“左正右负” EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
在 EMBED Equation.DSMT4 
处取极大值；“左负右正” EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
在 EMBED Equation.DSMT4 
处取极小值。特别提醒：（1） EMBED Equation.DSMT4 
是极值点的充要条件是 EMBED Equation.DSMT4 
点两侧导数异号，而不仅是 EMBED Equation.DSMT4 
＝0， EMBED Equation.DSMT4 
＝0是 EMBED Equation.DSMT4 
为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑 EMBED Equation.DSMT4 
，又要考虑检