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高中数学知识点总结必修三 算法初步 1.1 算法与程序框图 1、算法的概念 （1）算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. （2）算法的特点: ①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. ②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可. ③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题. ④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. ⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 2、程序框图 （1）程序框图基本概念： ①程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。 ②构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止框 表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。 输入、输出框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。 处理框 赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。 判断框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。 学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下： 使用标准的图形符号。 框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。 在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 3：算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 （1）顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所 指定的操作。 （2）条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的 算法结构。 条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行 A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 （3）循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类： ①一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。  = 2 \* GB3 ②另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。  当型循环结构 直到型循环结构 注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。 1.2基本算法语句 1、输入、输出语句和赋值语句 （1）输入语句  = 1 \* GB3 ①输入语句的一般格式 INPUT “提示内容”；变量  = 2 \* GB3 ②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能； = 3 \* GB3 ③“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量； = 4 \* GB3 ④输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式； = 5 \* GB3 ⑤提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。 （2）输出语句  = 1 \* GB3 ①输出语句的一般格式 PRINT “提示内容”；变量  = 2 \* GB3 ②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能； = 3 \* GB3 ③ “提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据； = 4 \* GB3 ④输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。 （3）赋值语句  = 1 \* GB3 ①赋值语句的一般格式 变量=表达式  = 2 \* GB3 ②赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量； = 3 \* GB3 ③赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量； = 4 \* GB3 ④赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式； = 5 \* GB3 ⑤对于一个变量可以多次赋值。 注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 5：条件语句 条件语句的一般格式有两种：   = 1 \* GB3 ①IF 条件 THEN 语句体 END IF 注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。   = 2 \* GB3 ②IF条件 THEN 语句体1 ELSE 语句体2 END IF 分析：在IF—THEN—ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE后面的语句2。 6：循环语句 循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。 （1）WHILE语句  = 1 \* GB3 ①WHILE语句的一般格式是 对应的程序框图是   = 2 \* GB3 ②当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。 （2）UNTIL语句  = 1 \* GB3 ①UNTIL语句的一般格式是 对应的程序框图是   = 2 \* GB3 ②直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。 分析：当型循环与直到型循环的区别： 当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断； 在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环 1.3算法案例 1、辗转相除法与更相减损术 （1）辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：  = 1 \* GB3 ①用较大的数m除以较小的数n得到一个商 EMBED Equation.DSMT4 
和一个余数 EMBED Equation.DSMT4 
；  = 2 \* GB3 ②若 EMBED Equation.DSMT4 
＝0，则n为m，n的最大公约数；若 EMBED Equation.DSMT4 
≠0，则用除数n除以余数 EMBED Equation.DSMT4 
得到一个商 EMBED Equation.DSMT4 
和一个余数 EMBED Equation.DSMT4 
； = 3 \* GB3 ③若 EMBED Equation.DSMT4 
＝0，则 EMBED Equation.DSMT4 
为m，n的最大公约数；若 EMBED Equation.DSMT4 
≠0，则用除数 EMBED Equation.DSMT4 
除以余数 EMBED Equation.DSMT4 
得到一个商 EMBED Equation.DSMT4 
和一个余数 EMBED Equation.DSMT4 
；…… 依次计算直至 EMBED Equation.DSMT4 
＝0，此时所得到的 EMBED Equation.DSMT4 
即为所求的最大公约数。 （2）更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 翻译为： = 1 \* GB3 ①任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。 = 2 \* GB3 ②以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 （3）辗转相除法与更相减损术的区别：  = 1 \* GB3 ①都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。  = 2 \* GB3 ②从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到 2、秦九韶算法与排序 （1）秦九韶算法概念： f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0 这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。 3、进位制 （1）概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。 (2) 一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可 以表示为：  EMBED Equation.DSMT4 
， 而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数 把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法。 统计 2.1 随机抽样 1：简单随机抽样 （1）总体和样本  = 1 \* GB3 ①在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．  = 2 \* GB3 ②把每个研究对象叫做个体．  = 3 \* GB3 ③把总体中个体的总数叫做总体容量．  = 4 \* GB3 ④为了研究总体 INCLUDEPICTURE "http://www.lmedu.com.cn/Img/yuany/SX_C6_summer/SX_C6summer1_clip_image002.gif" \* MERGEFORMATINET 
的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分： INCLUDEPICTURE "http://www.lmedu.com.cn/Img/yuany/SX_C6_summer/SX_C6summer1_clip_image004.gif" \* MERGEFORMATINET 
，  INCLUDEPICTURE "http://www.lmedu.com.cn/Img/yuany/SX_C6_summer/SX_C6summer1_clip_image006.gif" \* MERGEFORMATINET 
，  INCLUDEPICTURE "http://www.lmedu.com.cn/Img/yuany/SX_C6_summer/SX_C6summer1_clip_image008.gif" \* MERGEFORMATINET 
，  INCLUDEPICTURE "http://www.lmedu.com.cn/Img/yuany/SX_C6_summer/SX_C6summer1_clip_image010.gif" \* MERGEFORMATINET 
研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量． （2）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。 （3）简单随机抽样常用的方法：  = 1 \* GB3 ①抽签法 = 2 \* GB3 ②随机数表法 = 3 \* GB3 ③计算机模拟法 = 3 \* GB3 ③使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。 （4）抽签法:  = 1 \* GB3 ①给调查对象群体中的每一个对象编号；  = 2 \* GB3 ②准备抽签的工具，实施抽签；  = 3 \* GB3 ③对样本中的每一个个体进行测量或调查 （5）随机数表法： 2：系统抽样 （1）系统抽样（等距抽样或机械抽样）： 把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。 K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模） 前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。 （2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。 3：分层抽样 （1）分层抽样（类型抽样）： 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。 两种方法：  = 1 \* GB3 ①先以分层变量将总体划