高中数学选修坐标知识点总结.docx

坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
的作用下,点P(x,y)对应到点
,称
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示
,在平面内取一个定点
,叫做极点,自极点
引一条射线
,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点
与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为
;以极轴
为始边,射线
为终边的角
叫做点M的极角,记为
.有序数对
叫做点M的极坐标,记作
. 一般地,不作特殊说明时,我们认为

可取任意实数. 特别地,当点
在极点时,它的极坐标为(0,
)(
∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定
,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 EMBED Equation.DSMT4 
表示;同时,极坐标 EMBED Equation.DSMT4 
表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
(2)互化公式:设 EMBED Equation.DSMT4 
是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 EMBED Equation.DSMT4 
,极坐标是 EMBED Equation.DSMT4 
( EMBED Equation.DSMT4 
),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点 EMBED Equation.DSMT4 
 直角坐标 EMBED Equation.DSMT4 
 极坐标 EMBED Equation.DSMT4 
 互化公式  EMBED Equation.DSMT4 
  EMBED Equation.DSMT4 
 在一般情况下,由 EMBED Equation.DSMT4 
确定角时,可根据点 EMBED Equation.DSMT4 
所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为 EMBED Equation.DSMT4 
的圆
 EMBED Equation.DSMT4 
 圆心为 EMBED Equation.DSMT4 
,半径为 EMBED Equation.DSMT4 
的圆
 EMBED Equation.DSMT4 
 圆心为 EMBED Equation.DSMT4 
,半径为 EMBED Equation.DSMT4 
的圆
 EMBED Equation.DSMT4 
 过极点,倾斜角为 EMBED Equation.DSMT4 
的直线
(1) EMBED Equation.DSMT4 
 (2) EMBED Equation.DSMT4 
 过点 EMBED Equation.DSMT4 
,与极轴垂直的直线
 EMBED Equation.DSMT4 
 过点 EMBED Equation.DSMT4 
,与极轴平行的直线
 EMBED Equation.DSMT4 
 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即 EMBED Equation.DSMT4 
都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程 EMBED Equation.DSMT4 
点 EMBED Equation.DSMT4 
可以表示为 EMBED Equation.DSMT4 
等多种形式,其中,只有 EMBED Equation.DSMT4 
的极坐标满足方程 EMBED Equation.DSMT4 
. 二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 EMBED Equation.DSMT4 
都是某个变数 EMBED Equation.DSMT4 
的函数 EMBED Equation.DSMT4 
①,并且对于 EMBED Equation.DSMT4 
的每一个允许值,由方程组①所确定的点 EMBED Equation.DSMT4 
都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 EMBED Equation.DSMT4 
的变数 EMBED Equation.DSMT4 
叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数 EMBED Equation.DSMT4 
中的一个与参数 EMBED Equation.DSMT4 
的关系,例如 EMBED Equation.DSMT4 
,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系 EMBED Equation.DSMT4 
,那么 EMBED Equation.DSMT4 
就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使 EMBED Equation.DSMT4 
的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数 如图所示，设圆 EMBED Equation.DSMT4 
的半径为 EMBED Equation.DSMT4 
，点 EMBED Equation.DSMT4 
从初始位置 EMBED Equation.DSMT4 
出发，按逆时针方向在圆 EMBED Equation.DSMT4 
上作匀速圆周运动，设 EMBED Equation.DSMT4 
，则 EMBED Equation.DSMT4 
。 这就是圆心在原点 EMBED Equation.DSMT4 
，半径为 EMBED Equation.DSMT4 
的圆的参数方程，其中 EMBED Equation.DSMT4 
的几何意义是 EMBED Equation.DSMT4 
转过的角度。 圆心为 EMBED Equation.DSMT4 
，半径为 EMBED Equation.DSMT4 
的圆的普通方程是 EMBED Equation.DSMT4 
， 它的参数方程为： EMBED Equation.DSMT4 
。 4．椭圆的参数方程 以坐标原点 EMBED Equation.DSMT4 
为中心，焦点在 EMBED Equation.DSMT4 
轴上的椭圆的标准方程为 EMBED Equation.DSMT4 
其参数方程为 EMBED Equation.DSMT4 
，其中参数 EMBED Equation.DSMT4 
称为离心角；焦点在 EMBED Equation.DSMT4 
轴上的椭圆的标准方程是 EMBED Equation.DSMT4 
其参数方程为 EMBED Equation.DSMT4 
其中参数 EMBED Equation.DSMT4 
仍为离心角，通常规定参数 EMBED Equation.DSMT4 
的范围为 EMBED Equation.DSMT4 
∈[0，2 EMBED Equ