2021暑期预习高一数学必修一知识点总结（Word版）.doc

第一章集合与函数概念课时一集合有关概念集合的含义集合为一些确定的不同的东西的全体人们能意识到这些东西并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体一般的研究对象统称为元素一些元素组成的总体叫集合简称为集集合的中元素的三个特性元素的确定性集合确定则一元素是否属于这个集合是确定的属于或不属于例世界上最高的山中国古代四大美女教室里面所有的人元素的互异性一个给定集合中的元素是唯一的不可重复的例由的字母组成的集合元素的无序性集合中元素的位置是可以改变的并且改变位置不影响集合例和是表示同一个集合集合的表示如我校的篮球队员太平洋大西洋印度洋北冰洋用大写字母表示集合我校的篮球队员集合的表示方法列举法与描述法列举法将集合中的元素一一列举出来描述法将集合中元素的公共属性描述出来写在大括号内表示集合语言描述法例不是直角三角形的三角形图画出一条封闭的曲线曲线里面表示集合集合的分类有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例元素与集合的关系元素在集合里则元素属于集合即元素不在集合里则元素不属于集合即注意常用数集及其记法非负整数集即自然数集记作正整数集或整数集有理数集实数集课时二集合间的基本关系包含关系子集定义如果集合的任何一个元素都是集合的元素我们说这两个集合有包含关系称集合是集合的子集记作或注意有两种可能是的一部分与是同一集合反之集合不包含于集合或集合不包含集合记作或相等关系且则实例设元素相同则两集合相等即任何一个集合是它本身的子集真子集如果且那就说集合是集合的真子集记作或或若集合存在且则称集合是集合的真子集如果那么如果同时那么不含任何元素的集合叫做空集记为规定空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集有个元素的集合含有个子集个真子集课时三集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于且属于的元素所组成的集合叫做的交集记作读作交即且由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合叫做的并集记作读作并即或全集一般若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素我们就称这个集合为全集记作设是一个集合是的一个子集由中所有不属于的元素组成的集合叫做中子集的补集或余集记作韦恩图示性质课时四函数的有关概念函数的概念设是非空的数集如果按照某个确定的对应关系使对于集合中的任意一个数在集合中都有唯一确定的数和它对应那么就称为从集合到集合的一个函数记作其中叫做自变量的取值范围叫做函数的定义域与的值相对应的值叫做函数值函数值的集合叫做函数的值域函数的三要素定义域值域对应法则函数的表示方法解析法明确函数的定义域图想像确定函数图像是否连线函数的图像可以是连续的曲线直线折线离散的点等等列表法选取的自变量要有代表性可以反应定义域的特征函数图象知识归纳定义在平面直角坐标系中以函数中的为横坐标函数值为纵坐标的点的集合叫做函数的图象上每一点的坐标均满足函数关系反过来以满足的每一组有序实数对为坐标的点均在上画法描点法图象变换法平移变换伸缩变换对称变换函数图像变换的特点函数关于轴对称函数关于轴对称函数关于原点对称课时五函数的解析表达式及函数定义域的求法函数解析式子的求法函数的解析式是函数的一种表示方法要求两个变量之间的函数关系时一是要求出它们之间的对应法则二是要求出函数的定义域求函数的解析式的主要方法有代入法待定系数法换元法拼凑法定义域能使函数式有意义的实数的集合称为函数的定义域求函数的定义域时列不等式组的主要依据是分式的分母不等于零偶次方根的被开方数不小于零对数式的真数必须大于零指数对数式的底必须大于零且不等于如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的那么它的定义域是使各部分都有意义的的值组成的集合指数为零底不可以等于零实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义相同函数的判断方法表达式相同与表示自变量和函数值的字母无关定义域一致两点必须同时具备区间的概念区间的分类开区间闭区间半开半闭区间无穷区间区间的数轴表示课时六值域先考虑其定义域观察法直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域反表示法针对分式的类型把关于的函数关系式化成关于的函数关系式由的范围类似求的范围配方法针对二次函数的类型根据二次函数图像的性质来确定函数的值域注意定义域的范围代换法换元法作变量代换针对根式的题型转化成二次函数的类型课时七分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数各部分的自变量的取值情况分段函数的定义域是各段定义域的交集值域是各段值域的并集补充复合函数如果则称为的复合函数常用的分段函数取整函数符号函数含绝对值的函数映射一般地设是两个非空的集合如果按某一个确定的对应法则使对于集合中的任意一个元素在集合中都有唯一确定的元素与之对应那么就称对应为从集合到集合的一个映射记作对应关系原象象对于映射来说则应满足集合中的每一个元素在集合中都有象并且象是唯一的集合中不同的元素在集合中对应的象可以是同一个不要求集合中的每一个元素在集合中都有原象注意映射是针对自然界中的所有事物而言的而函数仅仅是针对数字来说的所以函数是映射而映射不一定的函数课时八函数的单调性局部性质及最值增减函数设函数的定义域为如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量当时都有那么就说在区间上是增函数区间称为的单调增区间如果对于区间上的任意两个自变量的值当时都有那么就说在这个区间上是减函数区间称为的单调减区间注意函数的单调性是函数的局部性质函数的单调性还有单调不增和单调不减两种图象的特点如果函数在某个区间是增函数或减函数那么说函数在这一区间上具有严格的单调性在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的减函数的图象从左到右是下降的函数单调区间与单调性的判定方法定义法任取且作差变形通常是因式分解和配方定号即判断差的正负下结论指出函数在给定的区间上的单调性图象法从图象上看升降复合函数的单调性复合函数的单调性与构成它的函数的单调性密切相关其规律同增异减注意函数的单调区间只能是其定义域的子区间不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集课时九函数的奇偶性整体性质偶函数一般地对于函数的定义域内的任意一个都有那么就叫做偶函数奇函数一般地对于函数的定义域内的任意一个都有那么就叫做奇函数具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于轴对称奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤首先确定函数的定义域并判断其是否关于原点对称若是不对称则是非奇非偶的函数若对称则进行下面判断确定与的关系作出相应结论若或则是偶函数若或则是奇函数利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性在公共定义域内偶函数的加减乘除仍为偶函数奇函数的加减仍为奇函数奇数个奇函数的乘除认为奇函数偶数个奇函数的乘除为偶函数一奇一偶的乘积是奇函数复合函数的奇偶性一个为偶就为偶两个为奇才为奇注意函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称若不对称则函数是非奇非偶函数若对称再根据定义判定由或来判定利用定理或借助函数的图象判定课时十函数最值及性质的应用函数的最值利用二次函数的性质配方法求函数的最大小值利用图象求函数的最大小值利用函数单调性的判断函数的最大小值如果函数在区间上单调递增在区间上单调递减则函数在处有最大值如果函数在区间上单调递减在区间上单调递增则函数在处有最小值函数的奇偶性与单调性奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性判断含糊单调性时也可以用作商法过程与作差法类似区别在于作差法是与作比较作商法是与作比较绝对值函数求最值先分段再通过各段的单调性或图像求最值在判断函数的奇偶性时候若已知是奇函数可以直接用但是并不一定可以判断函数为奇函数高一阶段可以利用奇函数课时十四指数与指数幂的运算复习初中整数指数幂的运算性质根式的概念一般地若那么叫做的次方根其中且当是奇数时正数的次方根是一个正数负数的次方根是一个负数此时的次方根用符号表示当为偶数时正数的次方根有两个这两个数互为相反数此时正数的正的次方根用符号表示负的的次方根用符号表示正的次方根与负的次方根可以合并成注意负数没有偶次方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时式子叫做根式这里叫做根指数叫做被开方数分数指数幂正数的分数指数幂的的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义有理数指数米的运算性质无理数指数幂一般的无理数指数幂是无理数是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂课时十五指数函数的性质及其特点指数函数的概念一般地函数叫做指数函数其中是自变量函数的定义域为注意指数函数的底数的取值范围底数不能是负数零和为什么在同以坐标平面内画出下列函数的图像图像特征图像特征向轴正负方向无限延伸函数的定义域为图像关于原点和轴不对称非奇非偶函数函数图像都在轴的上方函数的值域为函数图象都过定点自左向右看图像逐渐上升自左向右看图像逐渐上升增函数减函数课时十六指数函数的性质及其特点指数函数的图象和性质定义域定义域值域值域在上单调递增在上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上值域是或若则取遍所有正数当且仅当对于指数函数总有当时若则有二对数函数一对数对数的概念一般地如果那么数叫做以为底的对数记作底数真数对数式说明注意底数的限制且注意对数的书写格式两个重要对数常用对数以为底的对数自然对数以无理数为底的对数的对数指数式与对数式的互化在第一象限内图像纵坐标都大于在第一象限内图像纵坐标都大于在第二象限内图像纵坐标都小于在第二象限内图像纵坐标都大于图像上升的趋势愈来愈陡图像上升的趋势愈来愈陡函数值开始增加较慢到了某一值后增长速度极快函数值开始减小极快到了某一值后减小速度较慢幂值真数底数指数对数二对数的运算性质如果且那么注意换底公式且且利用换底公式推导下面的结论二对数函数对数函数的概念函数且叫做对数函数其中是自变量函数的定义域是注意对数函数的定义与指数函数类似都是形式定义注意辨别如都不是对数函数而只能称其为对数型函数对数函数对底数的限制且对数函数的性质定义域定义域值域为值域为在上递增在上递减函数图象都过定点函数图象都过定点三幂函数幂函数定义一般地形如的函数称为幂函数其中为常数幂函数性质归纳所有的幂函数在都有定义并且图象都过点时幂函数的图象通过原点并且在区间上是增函数特别地当时幂函数的图象下凸当时幂函数的图象上凸时幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内当从右边趋向原点时图象在轴右方无限地逼近轴正半轴当趋于时图象在轴上方无限地逼近轴正半轴