2023届高三数学高考复习知识点：导数 素材.doc

导数0导数的概念及其意义一导数的概念函数的平均变化率定义一般地已知函数是其定义域内不同的两点记则当时商称作函数在区间或的平均变化率注这里可为正值也可为负值但可以为函数的瞬时变化率函数的导数瞬时变化率设函数在附近有定义当自变量在附近改变量为时函数值相应的改变如果当趋近于时平均变化率趋近于一个常数也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小可以小于任意小的正数那么常数称为函数在点的瞬时变化率函数的导数当趋近于零时趋近于常数可以用符号记作当时或记作符号读作趋近于函数在的瞬时变化率通常称为在处的导数并记作这时又称在处是可导的于是上述变化过程可以记作当时或可导与导函数定义如果在开区间内每一点都是可导的则称在区间可导这样对开区间内每个值都对应一个确定的导数于是在区间内构成一个新的函数我们把这个函数称为函数的导函数记为或或注导函数通常简称为导数如果不特别指明求某一点的导数那么求导数指的就是求导函数二导数的几何意义导数的几何意义意义设函数的图象如图所示为过点与的一条割线由此割线的斜率是可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率当点沿曲线趋近于点时割线绕点转动它的最终位置为直线这条直线叫做此曲线过点的切线即切线的斜率由导数意义可知曲线过点的切线的斜率等于求曲线的切线方程方法若曲线在点及其附近有意义给横坐标一个增量相应的纵坐标也有一个增量对应的点则为曲线的割线当时如果割线趋近于一确定的直线则这条确定的直线即为曲线的切线当然此时割线的斜率就趋近于切线的斜率切线的方程为0导数的运算一初等函数的导数公式表为正整数为有理数注称为的自然对数其底为是一个和一样重要的无理数注意二导数的四则运算法则函数和或差的求导法则设是可导的则即两个函数的和或差的导数等于这两个函数的导数和或差函数积的求导法则设是可导的则即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数加上第一个函数的乘上第二个函数的导数综上所述即常数与函数之积的导数等于常数乘以函数的导数函数的商的求导法则设是可导的则特别是当时有三复合函数的求导法则法则一般地对于两个函数和如果通过变量可以表示成的函数那么称这个函数为函数和的复合函数记作复合函数的导数和函数的导数间的关系为注表示对的导数表示对的导数0利用导数研究函数的单调性一单调性定理设函数在上连续在内可导如果在内那么函数在上单调增加如果在内那么函数在上单调减少解读设函数在某区间内可导在该区间上单调递增在该区间上单调递减反之若在某个区间上单调递增则在该区间上有恒成立但不恒等于0若在某个区间上单调递减则在该区间上有恒成立但不恒等于0二求可导函数单调区间确定函数的的定义区间求令解此方程求出它在定义区间内的一切实根把函数的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间确定在各个区间内的符号根据的符号判定函数在每个相应小区间内的增减性0利用导数研究函数的极值与最值一函数的极值定义函数在点附近有定义如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极大值记作如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极小值记作极大值与极小值统称为极值称为极值点二求函数的极值的三个基本步骤求导数求方程的所有实数根检验在方程的根左右的符号如果是左正右负左负右正则在这个根处取得极大小值三求函数最值求函数在区间上的极值将极值与区间端点函数值比较其中最大的一个就是最大值最小的一个就是最小值