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我心非石
上传于：2024-05-29
2015年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2015?天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩?UB=（ ）
A．
{2，5}
B．
{3，6}
C．
{2，5，6}
D．
{2，3，5，6，8}
考点：
交、并、补集的混合运算．
专题：
集合．
分析：
由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；
解答：
解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，
∴?UB={2，5，8}，
则A∩?UB={2，5}．
故选：A．
点评：
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（5分）（2015?天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（ ）
A．
3
B．
4
C．
18
D．
40
考点：
简单线性规划．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
解答：
解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+6y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（0，3）
将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，
得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18．
故选：C．
点评：
本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
3．（5分）（2015?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
A．
﹣10
B．
6
C．
14
D．
18
考点：
程序框图．
专题：
图表型；算法和程序框图．
分析：
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．
解答：
解：模拟执行程序框图，可得
S=20，i=1
i=2，S=18
不满足条件i＞5，i=4，S=14
不满足条件i＞5，i=8，S=6
满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．
故选：B．
点评：
本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．
4．（5分）（2015?天津）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（ ）
A．
充分而不必要条件
B．
必要而不充分条件
C．
充要条件
D．
既不充分也不必要条件
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：
简易逻辑．
分析：
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解答：
解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选：A．
点评：
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
5．（5分）（2015?天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（ ）
A．
B．
3
C．
D．
考点：
与圆有关的比例线段．
专题：
选作题；推理和证明．
分析：
由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．
解答：
解：由相交弦定理可得CM?MD=AM?MB，
∴2×4=AM?2AM，
∴AM=2，
∴MN=NB=2，
又CN?NE=AN?NB，
∴3×NE=4×2，
∴NE=．
故选：A．
点评：
本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
6．（5分）（2015?天津）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．
﹣=1
B．
﹣=1
C．
﹣=1
D．
﹣=1
考点：
双曲线的标准方程．
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．
解答：
解：由题意，=，
∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，
∴c=，
∴a2+b2=c2=7，
∴a=2，b=，
∴双曲线的方程为．
故选：D．
点评：
本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
7．（5分）（2015?天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．
a＜b＜c
B．
a＜c＜b
C．
c＜a＜b
D．
c＜b＜a
考点：
函数单调性的性质．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|﹣1，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．
解答：
解：∵f（x）为偶函数；
∴f（﹣x）=f（x）；
∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；
∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；
（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；
∴mx=0；
∴m=0；
∴f（x）=2|x|﹣1；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；
∵0＜log23＜log25；
∴c＜a＜b．
故选：C．
点评：
考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．
8．（5分）（2015?天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）
A．
（，+∞）
B．
（﹣∞，）
C．
（0，）
D．
（，2）
考点：
根的存在性及根的个数判断．
专题：
创新题型；函数的性质及应用．
分析：
求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．
解答：
解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），
∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），
由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，
设h（x）=f（x）+f（2﹣x），
若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，
若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，
若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．
即h（x）=，
作出函数h（x）的图象如图：
当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，
当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，
故当b=时，h（x）=b，有两个交点，
当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，
由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，
即h（x）=b恰有4个根，
则满足＜b＜2，
故选：D．
点评：
本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
二.填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）（2015?天津）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为 ﹣2 ．
考点：
复数的基本概念．
专题：
数系的扩充和复数．
分析：
由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．
解答：
解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，
得，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：
本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题．
10．（5分）（2015?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3．
考点：
由三视图求面积、体积．
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．
解答：
解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，
且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；
∴该几何体的体积为
V几何体=2×π?12×1+π?12?2
=π．
故答案为：π．
点评：
本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．
11．（5分）（2015?天津）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为 ．
考点：
定积分在求面积中的应用．
专题：
计算题；导数的概念及应用．
分析：
先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
解答：
解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0
直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx
而∫01（x﹣x2）dx=（）|01=﹣=
∴曲边梯形的面积是．
故答案为：．
点评：
本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．
12．（5分）（2015?天津）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为 ．
考点：
二项式定理的应用．
专题：
计算题；二项式定理．
分析：
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．
解答：
解：（x﹣）6的展开式的通项公式为Tr+1=?（x）6﹣r?（﹣）r=（﹣）r??x6﹣2r，
令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x2的系数为×=，
故答案为：．
点评：
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
13．（5分）（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为 8 ．
考点：
余弦定理．
专题：
解三角形．
分析：
由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=．利用S△ABC==，化为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．
解答：
解：∵A∈（0，π），∴sinA==．
∵S△ABC==bc=，化为bc=24，
又b﹣c=2，解得b=6，c=4．
由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．
解得a=8．
故答案为：8．
点评：
本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．（5分）（2015?天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则?的最小值为 ．
考点：
平面向量数量积的运算．
专题：
创新题型；平面向量及应用．
分析：
利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值．
解答：
解：由题意，得到AD=BC=CD=1，所以?=（）?（）=（）?（）
==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°
=1++﹣≥+=（当且仅当时等号成立）；
故答案为：．
点评：
本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．
三.解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（13分）（2015?天津）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．
考点：
两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．
专题：
三角函数的求值．
分析：
（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=﹣sin（2x﹣），由周期公式可得；
（Ⅱ）由x∈[﹣，]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．
解答：
解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）
=（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]
=（1﹣cos2x﹣1+cos2x+sin2x）
=（﹣cos2x+sin2x）
=sin（2x﹣）
∴f（x）的最小正周期T==π；
（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，
∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，]，
∴f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值分别为，﹣
点评：
本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．
16．（13分）（2015?天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
考点：
离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
专题：
概率与统计．
分析：
（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布