分式知识点

分式知识点一分式定义形如httpbaikebaiducomview328867htm是整式httpbaikebaiducomview1017552htm中含有未知数且不等于的式子叫做分式其中叫httpbaikebaiducomview25255htm做分式的分子叫做分式的分母二分式的基本性质分式的基本性质分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式分式的值不变分式中的符号法则分子分母分式本身同时改变两处的符号分式的值不变三最简分式一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式和分数不能化简一样叫最简分数四最简公分母最简公分母的定义通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母这样的公分母叫做最简公分母一般方法如果各分母都是单项式那么最简公分母就是各系数的最小公倍数相同字母的最高次幂所有不同字母都写在积里如果各分母都是多项式就可以将各个分母因式分解取各分母数字系数的最小公倍数凡出现的字母或含字母的整式为底数的幂的因式都要取最高次幂五分式有无意义的条件分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不等于零分式无意义的条件是分母等于零分式的值为正数的条件是分子分母同时大于零分式的值为负数的条件是分子分母异号分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零注意分母不为零这个条件不能少分式无意义的条件分式有意义的条件是分母等于零六分式的化简求值先把分式化简后再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子分母要进行约分注意运算的结果要化成最简分式或整式最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式分数不能化简一样叫最简分数七分式的通分与约分通分通分的定义把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式这样的分式变形叫做分式的通分通分的关键是确定最简公分母最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积规律方法总结通分时若各分式的分母还能分解因式一定要分解因式然后再去找各分母的最简公分母最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数因式为各分母中相同因式的最高次幂各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式要防止遗漏因式约分约分的定义约去分式的分子与分母的公因式不改变分式的值这样的分式变形叫做分式的约分确定公因式要分为系数字母字母的指数来分别确定分式约分的结果可能是最简分式也可能是整式当分子与分母含有负号时一般把负号提到分式本身的前面约分时分子与分母都必须是乘积式如果是多项式的必须先分解因式规律方法总结有约分的概念可知要首先将分子分母转化为乘积的形式再找出分子分母的最大公因式并约去注意不要忽视数字系数的约分八分式的加减法同分母分式加减法法则同分母的分式想加减分母不变把分子相加减异分母分式加减法法则把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式叫做通分经过通分异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减说明分式的通分必须注意整个分子和整个分母分母是多项式时必须先分解因式分子是多项式时要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘而不能只同其中某一项相乘通分是和约分是相反的一种变换约分是把分子和分母的所有公因式约去将分式化为较简单的形式通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式约分是对一个分式而言的通分则是对两个或两个以上的分式来说的九分式的乘除法分式的乘法法则分式乘分式用分子的积作积的分子分母的积作积的分母分式的除法法则分式除以分式把除式的分子分母颠倒位置后与被除式相乘分式的乘方法则把分子分母分别乘方分式的乘除乘方混合运算运算顺序应先把各个分式进行乘方运算再进行分式的乘除运算即先乘方再乘除规律方法总结分式乘除法的运算归根到底是乘法的运算当分子和分母是多项式时一般应先进行因式分解再约分整式和分式进行运算时可以把整式看成分母为的分式做分式乘除混合运算时要注意运算顺序乘除法是同级运算要严格按照由左到右的顺序进行运算切不可打乱这个运算顺序十分式的混合运算分式的混合运算要注意运算顺序式与数有相同的混合运算顺序先乘方再乘除然后加减有括号的先算括号里面的最后结果分子分母要进行约分注意运算的结果要化成最简分式或整式分式的混合运算一般按常规运算顺序但有时应先根据题目的特点运用乘法的运算律进行灵活运算十一列代数式分式定义把问题中与数量有关的词语用含有数字字母和运算符号的式子表示出来就是列代数式列代数式五点注意仔细辨别词义分清数量关系注意运算顺序规范书写格式正确进行代换注意代数式的正确书写出现除号的时候用分数线代替幂指数知识点同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则同底数幂相乘底数不变指数相加是正整数推广都是正整数在应用同底数幂的乘法法则时应注意底数必须相同可以是单项式也可以是多项式按照运算性质只有相乘时才是底数不变指数相加概括整合同底数幂的乘法在运用时要抓住同底数这一关键点同时注意有的底数可能并不相同可以变形为同底数幂同底数幂的除法同底数幂的除法法则底数不变指数相减是正整数底数因为不能做除数单独的一个字母其指数是而不是应用同底数幂除法的法则时底数可是单项式也可以是多项式但必须明确底数是什么指数是什么零指数幂零指数幂没有这个条件是不成立的由可推出注意幂的乘方与积的乘方幂的乘方法则底数不变指数相乘是正整数注意幂的乘方的底数指的是幂的底数性质中指数相乘指的是幂的指数与乘方的指数相乘这里注意与同底数幂的乘法中指数相加的区别积的乘方法则把每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘是正整数注意因式是三个或三个以上积的乘方法则仍适用运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义计算出最后的结果负整数指数幂负整数指数次幂等于正整数次幂的倒数负整数指数幂为正整数注意计算负整数指数幂时一定要根据负整数指数幂的意义计算避免出现的错误当底数是分数时只要把分子分母颠倒负指数就可变为正指数实数的运算实数的运算和在有理数范围内一样值得一提的是实数既可以进行加减乘除乘方运算又可以进行开方运算其中正实数可以开平方在进行实数运算时和有理数运算一样要从高级到低级即先算乘方开方再算乘除最后算加减有括号的要先算括号里面的同级运算要按照从左到有的顺序进行另外有理数的运算律在实数范围内仍然适用整式的除法单项式除以单项式把系数同底数幂分别相除后作为商的因式对于只在被除式里含有的字母则连同他的指数一起作为商的一个因式关注从法则可以看出单项式除以单项式分为三个步骤系数相除同底数幂相除对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式再把所得的商相加说明多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式多项式除以单项式的结果仍是一个多项式整式的混合运算有乘方乘除的混合运算中要按照先乘方后乘除的顺序运算其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似整体思想在整式运算中较为常见适时采用整体思想可使问题简单化并且迅速地解决相关问题此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来在混合运算中始终要注意运算的顺序相反数相反数的概念只有符号不同的两个数叫做互为相反数相反数的意义掌握相反数是成对出现的不能单独存在从数轴上看除外互为相反数的两个数它们分别在原点两旁且到原点距离相等多重符号的化简与个数无关有奇数个号结果为负有偶数个号结果为正规律方法总结求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加如的相反数是的相反数是这时是一个整体在整体前面添负号时要用小括号合并同类项定义把多项式中同类项合成一项叫做合并同类项合并同类项的法则把同类项的系数相加所得结果作为系数字母和字母的指数不变合并同类项时要注意以下三点要掌握同类项的概念会辨别同类项并准确地掌握判断同类项的两条标准带有相同系数的代数项字母和字母指数明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项经过合并同类项式的项数会减少达到化简多项式的目的合并是指同类项的系数的相加并把得到的结果作为新的系数要保持同类项的字母和字母的指数不变算术平方根算术平方根的概念一般地如果一个正数的平方等于即那么这个正数叫做的算术平方根记为非负数的算术平方根有双重非负性被开方数是非负数算术平方根本身是非负数求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算在求一个非负数的算术平方根时可以借助乘方运算来寻找有理数的乘方有理数乘方的定义求个相同因数积的运算叫做乘方乘方的结果叫做幂在中叫做底数叫做指数读作的次方将看作是的次方的结果时也可以读作的次幂乘方的法则正数的任何次幂都是正数负数的奇次幂是负数负数的偶次幂是正数的任何正整数次幂都是方法指引有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样首先要确定幂的符号然后再计算幂的绝对值由于乘方运算比乘除运算又高一级所以有加减乘除和乘方运算应先算乘方再做乘除最后做加减有理数的混合运算有理数混合运算顺序先算乘方再算乘除最后算加减同级运算应按从左到右的顺序进行计算如果有括号要先做括号内的运算进行有理数的混合运算时注意各个运算律的运用使运算过程得到简化单项式乘单项式运算性质单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式注意在计算时应先进行符号运算积的系数等于各因式系数的积注意按顺序运算不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式此性质对于多个单项式相乘仍然成立绝对值概念数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值互为相反数的两个数绝对值相等绝对值等于一个正数的数有两个绝对值等于的数有一个没有绝对值等于负数的数有理数的绝对值都是非负数如果用字母表示有理数则数绝对值要由字母本身的取值来确定当是正有理数时的绝对值是它本身当是负有理数时的绝对值是它的相反数当是零时的绝对值是零完全平方公式完全平方公式可巧记为首平方末平方首末两倍中间放完全平方公式有以下几个特征左边是两个数的和的平方右边是一个三项式其中首末两项分别是两项的平方都为正中间一项是两项积的倍其符号与左边的运算符号相同应用完全平方公式时要注意公式中的可是单项式也可以是多项式对形如两数和或差的平方的计算都可以用这个公式对于三项的可以把其中的两项看做一项后也可以用完全平方公式根与系数的关系若二次项系数为常用以下关系是方程的两根时反过来可得前者是已知系数确定根的相关问题后者是已知两根确定方程中未知系数若二次项系数不为则常用以下关系是一元二次方程的两根时反过来也成立即常用根与系数的关系解决以下问题不解方程判断两个数是不是一元二次方程的两个根已知方程及方程的一个根求另一个根及未知数不解方程求关于根的式子的值如求等等判断两根的符号求作新方程由给出的两根满足的条件确定字母的取值这类问题比较综合解题时除了利用根与系数的关系同时还要考虑这两个前提条件注销售利润率售价进价进价工作效率工作总量工作时间解一元一次不等式组一元一次不等式组的解集几个一元一次不等式的解集的公共部分叫做由它们所组成的不等式组的解集解不等式组求不等式组的解集的过程叫解不等式组一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组时一般先求出其中各不等式的解集再求出这些解集的公共部分利用数轴可以直观地表示不等式组的解集方法与步骤求不等式组中每个不等式的解集利用数轴求公共部分解集的规律同大取大同小取小大小小大中间找大大小小找不到在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时要注意两定一是定界点一般在数轴上只标出原点和界点即可定边界点时要注意点是实心还是空心若边界点含于解集为实心点不含于解集即为空心点二是定方向定方向的原则是小于向左大于向右解二元一次方程组用代入法解二元一次方程组的一般步骤从方程组中选一个系数比较简单的方程将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来将变形后的关系式代入另一个方程消去一个未知数得到一个一元一次方程解这个一元一次方程求出或的值将求得的未知数的值代入变形后的关系式中求出另一个未知数的值把求得的的值用联立起来就是方程组的解用加减法解二元一次方程组的一般步骤方程组的两个方程中如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数就用适当的数去乘方程的两边使某一个未知数的系数相等或互为相反数把两个方程的两边分别相减或相加消去一个未知数得到一个一元一次方程解这个一元一次方程求得未知数的值将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中求出另一个未知数的值把所求得的两个未知数的值写在一起就得到原方程组的解用的形式表示