2012考研数学线性代数知识点大全

考研论坛考研数学线性代数知识点大全线性代数知识点框架一线性代数的学习切入点线性方程组换言之可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科线性方程组的特点方程是未知数的一次齐次式方程组的数目和未知数的个数可以相同也可以不同关于线性方程组的解有三个问题值得讨论方程组是否有解即解的存在性问题方程组如何求解有多少个解方程组有不止一个解时这些不同的解之间有无内在联系即解的结构问题高斯消元法最基础和最直接的求解线性方程组的方法其中涉及到三种对方程的同解变换把某个方程的倍加到另外一个方程上去交换某两个方程的位置用某个常数乘以某个方程我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组由具体例子可看出化为阶梯形方程组后就可以依次解出每个未知数的值从而求得方程组的解对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来形成一张表通过研究这张表就可以判断解的情况我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组这至少在书写和表达上都更加简洁系数矩阵和增广矩阵高斯消元法中对线性方程组的初等变换就对应的是矩阵的初等行变换阶梯形方程组对应的是阶梯形矩阵换言之任意的线性方程组都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵求得解阶梯形矩阵的特点左下方的元素全为零每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结有唯一解无解有无穷多解再经过严格证明可得到关于线性方程组解的判别定理首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形若得到的阶梯形方程组中出现这一项则方程组无解若未出现一项则方程组有解在方程组有解的情况下若阶梯形的非零行数目等于未知量数目方程组有唯一解若则方程组有无穷多解在利用初等变换得到阶梯型后还可进一步得到最简形使用最简形最简形的特点是主元考研论坛上方的元素也全为零这对于求解未知量的值更加方便但代价是之前需要经过更多的初等变换在求解过程中选择阶梯形还是最简形取决于个人习惯常数项全为零的线性方程称为齐次方程组齐次方程组必有零解齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数则方程组一定有非零解利用高斯消元法和解的判别定理以及能够回答前述的基本问题解的存在性问题和如何求解的问题这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论对于个方程个未知数的特殊情形我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组或矩阵的行列式行列式的特点有项每项的符号由角标排列的逆序数决定是一个数通过对行列式进行研究得到了行列式具有的一些性质如交换某两行其值反号有两行对应成比例其值为零可按行展开等等这些性质都有助于我们更方便的计算行列式用系数行列式可以判断个方程的元线性方程组的解的情况这就是克莱姆法则总而言之可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容线性代数知识点框架二在利用高斯消元法求解线性方程组的过程中涉及到一种重要的运算即把某一行的倍数加到另一行上也就是说为了研究从线性方程组的系数和常数项判断它有没有解有多少解的问题需要定义这样的运算这提示我们可以把问题转为直接研究这种对元有序数组的数量乘法和加法运算数域上的元有序数组称为维向量设向量称是的第个分量元有序数组写成一行称为行向量同时它也可以写为一列称为列向量要注意的是行向量和列向量没有本质区别只是元素的写法不同矩阵与向量通过行向量组和列向量组相联系对给定的向量组可以定义它的一个线性组合线性表出定义的是一个向量和另外一组向量之间的相互关系利用矩阵的列向量组我们可以把一个线性方程组有没有解的问题转化为一个向量能否由另外一组向量线性表出的问题同时要注意这个结论的双向作用从简单例子如几何空间中的三个向量可以看到如果一个向量能由另外两个向量考研论坛线性表出则这三个向量共面反之则不共面为了研究向量个数更多时的类似情况我们把上述两种对向量组的描述进行推广便可得到线性相关和线性无关的定义通过一些简单例子体会线性相关和线性无关零向量一定线性无关单个非零向量线性无关单位向量组线性无关等等从多个角度线性组合角度线性表出角度齐次线性方程组角度体会线性相关和线性无关的本质部分组线性相关整个向量组线性相关向量组线性无关延伸组线性无关回到线性方程组的解的问题即一个向量在什么情况下能由另一个向量组线性表出如果这个向量组本身是线性无关的可通过分析立即得到答案线性相关如果这个向量组本身是线性相关的则需进一步探讨任意一个向量组都可以通过依次减少这个向量组中向量的个数找到它的一个部分组这个部分组的特点是本身线性无关从向量组的其余向量中任取一个进去得到的新的向量组都线性相关我们把这种部分组称作一个向量组的极大线性无关组如果一个向量组中的每个向量都能被另一个向量组线性表出则称能被线性表出如果和能互相线性表出称和等价一个向量组可能又不止一个极大线性无关组但可以确定的是向量组和它的极大线性无关组等价同时由等价的传递性可知任意两个极大线性无关组等价注意到一个重要事实一个线性无关的向量组不能被个数比它更少的向量组线性表出这是不难理解的例如不共面的三个向量对应线性无关的确不可能由平面内的两个向量组成的向量组线性表出一个向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相等我们将这个数目称为向量组的秩向量线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的数目等价的向量组有相同的秩有了秩的概念以后我们可以把线性相关的向量组用它的极大线性无关组来替换掉从而得到线性方程组的有解的充分必要条件若系数矩阵的列向量组的秩和增广矩阵的列向量组的秩相等则有解若不等则无解向量组的秩是一个自然数由这个自然数就可以判断向量组是线性相关还是线性无关由此可见秩是一个非常深刻而重要的概念故有必要进一步研究向量组的秩的计算方法线性代数知识点框架三为了求向量组的秩我们来考虑矩阵矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩行向量组的秩称为行秩考研论坛对阶梯形矩阵进行考察发现阶梯形矩阵的行秩等于列秩并且都等于阶梯形的非零行的数目并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组矩阵的初等行变换不会改变矩阵的行秩也不会改变矩阵的列秩任取一个矩阵通过初等行变换将其化成阶梯形则有的行秩的行秩的列秩的列秩即对任意一个矩阵来说其行秩和列秩相等我们统称为矩阵的秩通过初等行变换化矩阵为阶梯形即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法考虑到的行秩和的转置的列秩的等同性则初等列变换也不会改变矩阵的秩总而言之初等变换不会改变矩阵的秩因此如果只需要求矩阵的秩而不需要求的列向量组的极大无关组时可以对既作初等行变换又作初等列变换这会给计算带来方便矩阵的秩同时又可定义为不为零的子式的最高阶数满秩矩阵的行列式不等于零非满秩矩阵的行列式必为零既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同则可以把线性方程组有解的充分必要条件更加简单的表达如下系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩另外有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答系数矩阵的秩等于未知量数目有唯一解有无穷多解齐次线性方程组的解的结构问题可以用基础解系来表示当齐次线性方程组有非零解时基础解系所含向量个数等于用基础解系表示的方程组的解的集合称为通解通过对具体实例进行分析可以看到求基础解系的方法还是在于用初等行变换化阶梯形非齐次线性方程组的解的结构是由对应的齐次通解加上一个特解线性代数知识点框架四在之前研究线性方程组的解的过程当中注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用故还有必要对矩阵及其运算进行专门探讨矩阵的加法和数乘与向量的运算类同矩阵的另外一个重要应用线性变换最典型例子是旋转变换即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表述矩阵的乘法反映的是线性变换的叠加如矩阵对应的是旋转一个角度矩阵对应的是旋转一个角度则矩阵对应的是旋转一个角度考研论坛矩阵乘法的特点若则的第行第列的元素是的第行与的第列的元素对应乘积之和的列数要和的行数相同的行数是的行数列数是的列数需要主义的是矩阵乘法不满足交换律满足结合律利用矩阵乘积的写法线性方程组可更简单的表示为对于还可作如下分析将左边的矩阵写成列向量组的形式即意味着的列向量组能由的列向量组表示从而推知的列秩小于等于的列秩将右边的矩阵写成行向量组的形式即意味着的行向量组能由的行向量组表示从而推知的行秩小于等于的行秩再考虑到矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩最终可得到结论的秩小于等于的秩也小于等于的秩即矩阵乘积的秩总不超过任一个因子的秩关于矩阵乘积的另外一个重要结论矩阵乘积的行列式等于各因子的行列式的乘积一些特殊的矩阵单位阵对角阵初等矩阵尤其要注意初等矩阵是单位阵经过一次初等变换得到的矩阵每一个初等矩阵对应一个初等变换因为左乘的形式为为初等矩阵将写成行向量组的形式意味着对做了一次初等行变换同理意味着对做了一次初等列变换故左乘对应行变换右乘对应列变换若则称为可逆矩阵是的逆阵同样这时的也是可逆矩阵注意可逆矩阵一定是方阵第一种求逆阵的方法伴随阵这种方法的理论依据是行列式的按行列展开矩阵可逆行列式不为零行列向量组线性无关满秩要注意这些结论之间的充分必要性单位阵和初等矩阵都是可逆的若矩阵可逆则一定可以通过初等变换化为单位阵这是不难理解的因为初等矩阵满秩故最后化成的阶梯型最简形中非零行数目等于行数主元数目等于列数这即是单位阵进一步既然可逆矩阵可以通过初等变换化为单位阵而初等变换对应的是初等矩阵即意味着可逆矩阵可以通过左右乘一系列初等矩阵化为单位阵换言之可逆矩阵可看作是一系列初等矩阵的乘积因为单位阵在乘积中可略去可逆矩阵作为因子不会改变被乘无论左乘右乘的矩阵的秩由于可逆矩阵可以看作是一系列初等矩阵的乘积可以想象同样的这一系列初等矩阵作用在单位阵上结果是将这个单位阵变为原来矩阵的逆阵由此引出求逆阵的第二种方法初等变换需要注意的是这个过程中不能混用行列变换且同样是左乘对应行变换右乘对应列变换考研论坛矩阵分块即可把矩阵中的某些行和列的元素看作一个整体对这些被看作是整体的对象构成的新的矩阵运算法则仍然适用将矩阵看成一些列行向量组或列向量组的形式实际也就是一种最常见的对矩阵进行分块的方式接下来是习题解读同济五版线性代数习题解读一利用对角线法则计算行列式可以通过几道小题熟悉一下把行列式化成上下三角的过程基本题题涉及排列以及行列式的展开准则不是太重要了解即可题是一些计算行列式的练习不同特点的行列式通常有不同的方法常见的就是化为上下三角按行列展开某一行列是和的形式可进行拆分基本题要通过这些练习来熟练行列式的运算这一块题虽然是以方程形式给出但考察点还是计算行列式性质的应用比较重要的题型重在对思维的训练而且该题的结论很常用最好掌握一些难度较高的行列式的计算题涉及到不少技巧而这些技巧通常初学者是想不到的这时候可以看看答案体会一下答案的做法对这块内容的要求和不定积分是类似的设计巧妙的题目隐含考点是行列式按行展开的性质若是相同行列的元素和代数余子式对应相乘求和结果是行列式的值若是不同行列的元素和代数余子式对应相乘求和结果为注意此题要求的结果是第三行的代数余子式的某种组合而根据代数余子式的定义可知这与题给的行列式中的第三行的元素是无关的那就可以根据需要把第三行的元素替换为前面要求的式子中的那些系数这样问题就简化为求一个新的行列式而无需烦琐的进行四次求代数余子式的运算此题技巧性较强但这个构思方法值得掌握克兰姆法则的应用归根结底还是计算行列式题是通过行列式来判断齐次方程组的解的情况基本题在已经复习完一遍线代后也可以用其它方法化阶梯行求秩来做总的来说第一章的习题大都非常基本集中于计算层面的考察没有理解上的难度同济五版线性代数习题解读二矩阵乘法的基本练习简单题但计算很容易出错不可轻视小题实际上就是第五章要接触的二次型考研论坛直接考察矩阵相关运算基本题矩阵的乘法实际上是表示一个线性变换题目给出了从到的变换还给出了从到的变换要求到的变换既然一个矩阵可以表示一个线性变换两个矩阵的乘积即可理解为两个变换的叠加这也是提供了一个侧面去理解矩阵相乘的意义题实际上都是通过一些具体的例子来加深对矩阵运算的理解比如矩阵乘法不能交换不能像数乘那样约去因子等等这些例子是比较重要的因为有时能在考场上派上用场需要熟悉题是求矩阵乘方的题目基本题但要注意些适当的技巧比如拆成两个特殊矩阵的和能简化运算是关于对称阵概念的考查不难但重要因为这类题即是线代里证明题的代表几乎都要从定义出发证明所以从这两道题得到的启发是要把线代上的每个知识点都抠得足够细了然于心都是矩阵求逆的计算题只不过表达方式不同题是直接提出要求题是以矩阵方程的形式来暗示求逆题则从线性方程组的角度来暗示求逆求逆是错误率很高的一类题目所以需要重点练习和题类似矩阵的乘法实际上是表示一个线性变换题目给出了从到的变换可以用一个矩阵表示反过来求到的变换求逆阵即可此题的另外一个暗示要能够熟练的掌握从方程组到矩阵的写法即矩阵方程代表一个线性方程组或者说一个线性变换对这两种写法都要能够看到一个马上反应到另一个考察矩阵和其逆阵伴随阵的关系同时把行列式加进来综合性较强的重要题型解简单的矩阵方程注意先对已知等式做一些适当的变形基本题证明矩阵可逆从定义出发即可注意从题目中体会思路考察矩阵和其逆阵伴随阵的关系同时把行列式加进来综合性较强的重要题型稍微复杂一些的矩阵方程因为其中涉及到伴随阵但也不难利用好伴随阵和逆阵的关系即可简化此二题的难度接近考研中的填空题是矩阵的乘方多项式实质也是乘方运算在复习完一遍线代后再看发现这其实就是特征值特征向量对角化的一个应用实际上特征值问题本来就可以理解为是为了寻找矩阵乘方运算的捷径而发展起来的只不过后来发现特征值还有许多其它很好的用处证明矩阵可逆从可逆的定义出发即可即若能找到某一矩阵与已知矩阵的乘积为单位阵那么已知矩阵肯定可逆注意从这两道题目中体会这种常用的思路考研论坛题本身的证明是从定义出发更重要的是这两道题可以作为结论记的线代的考研题目常涉及这两个命题在线代的学习中把握好一些不是课本上正面给出如出现于习题中的命题是很有好处的都是对分块矩阵运算的考查作为适当的练习是必要的在分块矩阵这部分知识点特别要注意的是要能够根据问题的需要采取适当的分块方式典型的如行分块和列分块一个线性方程组可以用矩阵来表示一个矩阵方程则可看作是若干个线性方程组同时成立的结果当然这只是一个典型的里子其它还有很多类似的点也要熟练到能够在头脑中随时切换以适应不同的解题或理解需要和第一章类似第二章的学习也主要集中在计算层面上我们可以这样来理解前两章的内容主要是教会我们一些线性代数中基本的运算规则就如我们以前学数的加减乘除一样这些规则当然是认为规定的但是又是在解决某些实际问题的过程中会大量用到的所以有必要先统一进行了解和学习比如求行列式可以帮助我们解方程求矩阵的乘积可以帮助我们进行坐标变换等等同济五版线性代数习题解读三用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形基本运算的练习实际上也可以化为阶梯行而不一定非要最简这类计算要多加练习需纯熟掌握表面上是要求一个能使已知矩阵化为行最简形的可逆阵实际上是考察初等矩阵因为化为行最简形的过程就是初等变换过程对应的是一系列初等矩阵的乘积把这一过程搞清楚了要求的矩阵也就相应清楚了要知道一个初等矩阵对应一个初等变换其逆阵也是从这个意义上去理解可以有效解决很多问题求矩阵的逆阵的第二种方法第一种是伴随阵基本题同时建议把这两种方法的来龙去脉搞清楚书上相应章节有解释即为什么可以通过这两种方法求逆阵是解矩阵方程关键还是求逆复习过一遍线代的同学就不用拘泥于一种方法了选择自己习惯的做法即可考察矩阵秩的概念所以矩阵的秩一定要搞清楚是不为零的子式的最高阶数所以秩为的话只需要有一个不为零的阶子式但所有的阶子式都为零至于阶子式也是有可能为零的但不可能所有的都为零否则秩就是而不是了还是涉及矩阵的秩矩阵减少一行秩最多减也可能不减不难理解但自己一定要在头脑中把这个过程想清楚主要考查矩阵的秩和行列向量组的秩的关系实际上它们是一致的因为已经知道的两个向量是线性无关的这样此题就转化为一个简单问题在找两个行向量与条件中的两个行向量组成的向量组线性无关最后由于要求方阵所以还要找一个向量与前面四个向量组和在一起则线性相关最容易想到的就是向量了考研论坛矩阵的秩是一个重要而深刻的概念它能够反映一个矩阵的最主要信息所以如何求矩阵的秩也就相应的是一类重要问题矩阵的初等行列变换都不会改变其秩所以可以混用行列变化把矩阵化为最简形来求出秩题是一个重要命题经常可以直接拿来用至于它本身的证明可以从等价的定义出发等价是指两个矩阵可以经过初等变换互相得到而初等变换是不改变矩阵的秩的所以等价则秩必相等实际上题因为太过常用以至于我们常常认为秩相等才是等价的定义不过既然是充分必要条件这样理解也并无不可选取合适的参数值来确定矩阵的秩方法不止一种题目不难但比较典型题是求解齐次非齐次方程组的典型练习务必熟练掌握线性方程组的逆问题即已知解要求写出方程把矩阵的系数看做未知数来反推即可因为基础解系中自由未知量的个数和有效方程正好是对应的个人感觉这类题不太重要题是线性方程组的一类典型题考研常见题型讨论不同参数取值时解的情况要熟练掌握这类题目证明本身不是很重要重要的是由题目得到的启示由一个向量及其转置或一个列向量一个行向量生成的矩阵其秩一定是这实际上也不难理解矩阵的秩是意味着每行或每列都对应成比例即可以写成某一列向量乘行向量的形式列向量的元素就是每行的比例系数反过来也一样这个大家可自行写一些具体的例子验证加深印象另外值得注意的是列向量乘行向量生成的是矩阵而行向量乘列向量生成的是数考察的是矩阵的运算对矩阵秩的影响抓住这个关键命题即可或者从同解方程组角度出发即要证明两个矩阵秩相等可证其方程组同解注意是否可逆未知故不能用求逆的方法证明这是易犯的错误之一实际上该题考察的还是方程组只有零解的条件满秩关键一步在于把条件改写为前两章的习题以锻炼计算能力为主从第三章开始理解层面的内容逐渐增多很多概念要引起重视同济五版线性代数习题解读四首先说一下第四章的精华就在于勾勒出了向量组矩阵和线性方程组之间的关系它们共同形成一个线性代数的知识网络习题四中的证明题基本上都是对思维的锻炼做好这些证明题有助于加深对线代知识点相互关系的理解要重点对待涉及一个重要的知识转换即一个向量能否被另一个向量组线性表出的问题实际上就是一个线性方程组是否有解的问题同时一个向量组是否能被另一个向量组线性表出的问题实际上就是两个向量组的秩的比较问题所以此题即转化为考察两个向量组的秩的大小因考研论坛为我们知道一个重要的事实一个向量组不可能由比它秩更小的向量组来线性表出例如三维空间里的向量秩是永远不可能由平面上的向量秩是来表出考察向量组的等价搞清楚何为向量组等价直接验证即可基本题另外可以发散一下思维向量组等价和矩阵等价有何不同哪个命题的结论更强实际上向量组等价则对应矩阵一定等价反之未必与线性表出有关的命题一般用反证法这类题目可以有效的锻炼解题思路如果不会要重点体会答案给出的方法和思路题涉及线性相关和线性无关的判断实际上还是转化为方程组有解无解的问题基本题题考察对两个向量线性相关的理解实际上就是对应成比例但实际上很多类似的题目不仅仅局限于两个向量此题不是太有代表性了解一下即可涉及到一些相关和无关的命题判断重点在于理解题干的意思如的错误在于放大了线性相关的结论因为线性相关只需要至少有一个向量可由其余向量表示而不一定能确定到底是哪个向量能用其余向量表示类似的去理解清楚其余几个说法要表达的意思这是第一要务至于反例倒在其次可以通过参考书的答案看看了解下有这样的反例即可题是证明线性相关线性无关的经典题可先假设其线性组合为零然后推证系数的情况若系数可不全为零则线性相关若系数必须全为零则线性无关重点题型考察如何求一个向量组的秩和最大无关组注意求向量组的秩只能用一种变换一般用行变化化为阶梯形即一目了然基本题型的练习要熟练掌握通过秩来确定参数基本题只不过这里是以向量组的形式给出条件和以线性方程组矩阵的形式给出条件无本质区别是向量组的命题注意单位坐标向量的特殊性线性无关另外题就是题的特殊情况用反证法此题的巧妙之处在于要逐步递推这是线代习题中少有的过程比结论重要的题目大多习题都是结论常用所以显得更重要注意仔细体会证明过程就是习题三的题只不过是以向量组的说法给出应该从此题中体会到的是两个向量组等价则其关系矩阵一定是满秩的原因可用矩阵的语言来解释两个向量组等价实际上就是通过一系列初等变换可互化关系矩阵就是这些所所有初等变换对应的初等矩阵的乘积初等矩阵全部都是满秩的题目本身不难直接代入已知条件再作适当的变形即可但复习过一遍线代的同学应该注意到特征值与特征向量的一些概念在此题中已经初现端倪要把思路拓宽看看从特征考研论坛向量的角度来看是否能对题目有新的体会齐次线性方程组的练习基本题型必需的练习尤其是这类系数由通式给出的方程在考研中出现的概率更高注意不要出错实际上转化为线性方程组的题目也是基本题型就是习题三的题两者无本质区别基本题求方程组的基础解系另外注意公共解实际上就是方程组联立后的结果题目涉及的重要命题有两个一是若则另一个是至于证明本身只是这两个命题在某种特殊情况下的综合应用解答过程给我们的提示相对来说是更重要的与伴随阵的秩有关的著名命题常用结论一定要掌握证明过程很多参考资料都给出了非齐次线性方程组的练习基本题型考察线性方程组的解的结构较好的融合了该部分的相关知识点通过此题的练习可以加深解的结构相关概念的理解讨论参数取值对方程组的解的影响基本题以向量组的语言给出而已把线性方程组和空间解析几何的知识点相结合的一道题目可以作为一个提高练习不强求掌握以抽象的向量形式给出线性方程组的问题考研典型题之一解决此题需要综合应用线性方程组和向量组的若干知识点重点掌握和理解的对象都是涉及解的结构的证明题其中对基础解系的理解要清晰基础解系是线性无关的同时所有的解都可由基础解系表示由此可见基础解系本身就给出了许多强有力的信息这个在题目中一定要多加利用同时还有一些解的结构的命题如非次方程解的差即齐次方程解等等也可以通过这几道练习中来加强理解和掌握及以后的向量空间的题目都不作要求最多是题的过渡矩阵了解一下即可具体解法可参加书上例题这里不再详述通过三四章的学习和练习我们体会到要学好线代需要建立起良好的思维习惯即面对线性代数的知识点常常需要从不同的角度方程组角度向量组角度和矩阵角度去理解同一个数学事实或数学命题并且它们通常还是可以互推的所以在线代里见一反三非常重要一旦抓住了整个知识网络线代就会成为考研数学里最简单的一环考研论坛同济五版线性代数习题解读五涉及与正交相关的条件的基本计算题可作为运算方面的练习施密特正交化的计算很重要的基本题要注意的是施密特正交化的计算公式难于记忆最好是把正交化的整个过程搞清楚也就是说给你一组向量你要把它们化成正交的怎么做可以先考虑简单情形两个向量怎么正交化很简单只要一个向量减去它在另外一个上的投影就可以了那三个向量怎么正交化先把其中两个正交化然后第三个减去它在另外两个的平面上的投影就好了依次类推就不难理解施密特正交化中每个公式的意义了判断矩阵是不是正交阵按定义即可基本题是简单的涉及正交矩阵概念的证明题从定义出发都不难得到结论求特征值和特征向量的基本题型需要练习纯熟证明特征值相同按特征值定义即可此命题可作为结论用较难的一道题把线代里几个重要的知识点都综合在一起考察关键在于问题的转化有公共的特征向量问题即两个方程组有公共解的问题然后用与方程组的基础解系有关的知识点解决要重点体会解题思路都是与特征值有关的一些命题从定义出发不难证明线代里的概念大多都要从定义上去抓住它们把它们理解好其中题是一个常用的结论是特征值性质的应用即特征值与矩阵特有的对应关系比如矩阵作多项式运算则其特征值也就该多项式规律变化基本题也是常见题型考察相似的概念仍然是要把握好定义何为相似题涉及到相似对角化这就要求把相似对角化的条件搞清楚那么什么样的矩阵可相似对角化条件是特征向量线性无关从这点出发就可以解决问题至于则是特征值特征向量定义的直接考察涉及到求矩阵的乘方实际上特征值特征向量问题就可以看作是为了简化矩阵乘方运算提出的这里自然是化为对角阵以后计算题是应用题形式题涉及正交的相似变换矩阵基本题计算量较大且容易出错是值得重视的练习题则是特征值问题的反问题实际上把已知的对角矩阵看作出发点即可值得注意的是对一般矩阵来说不同的特征值对应的特征向量是线性无关的对对称矩阵来说不同的特征值对应的特征向量不仅线性无关还是正交的这显然是个更有用的结果考研论坛是一个重要命题它涉及到由一个列向量生成的矩阵的特征值问题实际上有一个列向量生成的矩阵其秩是而且是对称的所以必可对角化故是其重特征值至于非零特征值也不难求出就是这个列向量转置后生成的数此题的结论很常用要重点掌握题涉及求矩阵的多项式运算不外乎就是乘方运算与题类同题考察二次型的概念基本题要求熟练写出一个二次型所对应的矩阵反过来也一样题考察用正交变换化二次型为标准型实际上就是一个对角化的问题但因为是对称矩阵所以既可正交又可相似对角化同时要注意二次型的几何意义是一个二次曲面曲面的形状在不同的坐标系下都是一样的所以对于一个复杂的二次型若不能直接看出它是什么曲面可以通过化为主坐标系下的二次型即标准型来进行观察综合性较强的一道题转化为多元函数的条件极值问题即可用配方法化二次型的练习基本题注意计算不要出错都是判断二次型的正定性对于具体给出的二次型用顺序主子式的符号即可判断这个是其中一个充分必要条件实际给出了正定的另一个充分必要条件证明过程涉及一个抽象矩阵故只能从最基本的正定的定义出发此命题是一个有用的结论要求掌握最后是一些线性代数核心知识点的相关思维训练学好线代的最关键要点在于见一反三即面对同一个数学事实都要能够从线性方程组向量和矩阵三个角度来表述和理解它以便于根据解决问题的需要选择合适的切入点现将一些个人觉得比较锻炼思维的习题汇总如下相信通过对这些题目涉及的命题及其推理过程进行深入思考会有助于更进一步把握好线代的知识体系任何一个向量都能由单位向量线性表出且表示方式唯一向量组中任一个向量可以由这个向量组线性表出判断下列说法正确性向量组如果有全为零的数使得则线性无关如果有一组不全为零的数使得则线性无关若向量组线性相关则其中每一个向量都可以由其余向量线性表出三维空间中的任意个向量必线性相关考研论坛个维向量必线性相关如果向量组线性无关则向量组也线性无关如果向量组线性无关判断向量组是否线性无关如果向量可以由向量组线性表出则表出方式唯一的充分必要条件是线性无关设向量组线性无关如果对于某个则用替换后得到的向量组也线性无关由非零向量组成的向量组线性无关的充分必要条件是每一个都不能用它前面的向量线性表出设线性无关且则线性无关的充分必要条件是的行列式为零秩为的向量组中任意个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组任一维向量组若是线性无关的那么其所含向量数目不会超过如果维向量构成的向量组线性无关那么任一维向量可由线性表出如果任意的维向量都可以由线性表出那么线性无关如果秩为的向量组可以由它的个向量线性表出则这个向量构成的向量组就是它的一个极大线性无关组个方程的元线性方程组对任何都有解的充分必要条件是它的系数行列式为零如果向量组和向量组有相同的秩则可以由线性表出矩阵的任意一个子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩考研论坛如果的矩阵的秩为那它的任何行组成的子矩阵的秩不会小于如果一个矩阵至少有个元素为则这个矩阵不是满秩矩阵如果一个矩阵至少有个元素为那么这个矩阵的秩最多是多少设是齐次线性方程组的一个基础解系则与等价的线性无关的向量组也是方程组的一个基础解系设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是则方程组的任意个线性无关的解向量都是它的一个基础解系设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是设是方程组的解向量则设个方程的元线性方程组的系数矩阵的行列式等于零同时至少存在一个元素的代数余子式不为零则向量是这个齐次线性方程组的一个基础解系设是矩阵的前行组成的子矩阵如果以为系数矩阵的齐次线性方程组的解都是方程的解其中是矩阵的元素则的第行可以由的前行线性表出个方程的元非齐次线性方程组有唯一解当且仅当它对应的齐次方程组只有零解如果都是元非齐次线性方程组的解并且有一组数满足则也是方程组的一个解如果是非齐次线性方程组的一个特解是它对应的齐次方程组的一个基础解系令则非齐次线性方程组的任意一个解可以表示为其中设是矩阵如果对于任意列向量都有则两个级上三角矩阵的乘积仍是级上三角矩阵且乘积矩阵的主对角元等于因子矩阵的相应主对角元乘积与所有级矩阵可交换的矩阵一定是级数量矩阵对任一矩阵和都是对称矩阵两个级对称矩阵的和仍是对称矩阵一个对称矩阵的倍仍是对称矩阵两个级对称矩阵的乘积仍是对称矩阵的充分必要条件是它们可交换考研论坛对任一级矩阵都是对称矩阵都是反对称矩阵任一级矩阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和如果是级对称矩阵并且则如果一个矩阵的行列向量组是线性无关的则称为行列满秩矩阵如果一个的矩阵的秩为则有的列满秩矩阵和的行满秩矩阵存在使得设是级矩阵若则的行列式为或如果矩阵可逆则也可逆求的逆阵可逆的对称矩阵的逆矩阵仍然是对称矩阵如果则可逆求其逆阵设分别为矩阵如果则设是级矩阵且则存在一个的非零矩阵使的充分必要条件是的行列式为零如果级矩阵满足则设是一个矩阵是任意一个维向量则元线性方程组一定有解设是一个级方阵且则能表示成一个列向量与一个行向量的乘积设是级矩阵则的行列式等于的行列式的次方设是级矩阵则当时当时当时设分别是的矩阵则矩阵方程有解的充分必要条件是设分别是矩阵则设是的列满秩矩阵是的行满秩矩阵则其中题难度较大不作强求另外补充说明一下可能一开始大家完成这些题目的证明考研论坛时有的需要在书面上推导但熟悉了以后再重看的话应该是可以仅凭头脑中的推理完成的换句话说我们的最终目的是不动一纸一笔把这几十道题目的来龙去脉勾画清楚所以前面提到是思维的训练做到这一点的话线代基本就可算是学到家了帖子地址转载请注明本帖地址来源考研论坛