第一章 有理数复习学案.doc

第一章有理数1第一章有理数一知识结构分按整数分数分整数正负分数正负类按正负分正数零负数相反意义只有符号不同的两个数叫做互为相反数概数数轴图示数轴上表示相反数的两点在原点两旁对称有理数大用数轴数轴上右边的数总比左边的数大小的比较用数字数字大的正数大数字小的负数大数字即绝对值有念绝几何意义数轴上表示数的点到原点的距离叫的对代数意义一个数除去符号后的数字叫它的正数的绝对值是本值身零的绝对值是零负数的绝对值是它的相反数倒数的意义乘积是的两个数互为倒数加法法则同号数相加符号不变数字相加异号数相加符号从大理运数字相减减法法则减负数等于加正数减正数等于加负数算乘法法则两数相乘同号得正异号得负并把数字相乘数除法法则除以一个数等于乘它的倒数非零数数乘方法则负数的奇次幂为负偶次幂为正正数的任次幂为正交换加法交换律交换加数位置和不变律乘法交换律交换因子位置积不变结合加法结合律三数相加不论先加哪两个和不变律乘法结合律三数相称不论先乘哪两个积不变乘法分配律一个数乘以几个数的和等于这个数分别乘以这几个个加数再把所得积相加乘方近似数科学计数法定求个相同因子积的简便运算叫乘方的结果叫幂在中叫底数义叫指数叫幂表示个相乘乘符号正数的任何次幂都为正负数的偶次幂为正负数的奇次幂为负的方法则何次幂都为零的任何次幂都为的偶次幂为的奇次幂为乘方的性质有理数的运算顺序先乘方再乘除后加减同级运算由高到低依次进行有括号的有内而外由小到大进行计算近似数接近一个数的精确值而又不等于精确值的数叫这个数的有效数字从一个数左边第一个不是的数字起到末尾数为止所有数字都叫科学计数法把一个数写成的形式其中是整数这种计数法叫二专题讲解几个典型问题关于正数和负数第一章有理数2负数与正数表示具有相反含义的量应对下表中所列与数量有关的具有相反含义的词有所了解这样可以帮助大家尽快领会负数的意义正与负是相对的不是绝对的表中所列通常如此亦有例外不可死记应在理解基础上加以领悟关于与号这两个符号在小学已经熟悉前者叫加号后者叫减号现在它们又多了一个名称前边的叫正号后边的叫负号同一个符号既是这个又是那个到底是哪个如何区别如何使用这是难点亦是关键其实说穿了很简单你把它当什么它就是什么在具体运算时怎样抉择后边结合例题细说在有理数的加减运算中号就象我们周围的空气一样无处不在可以随意添加亦可按需省略把几个有理数放在一起进行某种运算在未指明的情况下预设运算必定是加法谁让它们在一起呢一起不就是相加吗号与号如何转化呢仔细看一个号不就是一横一竖的两个么一个号可以拆分成两个号而两个号可以合并成一个号这也应证了负负的正的运算法则关于在小学数学中表示没有其实它的含义远非如此随着数的范围不断扩大的含义也在不断丰富有理数中是正负数的分界点把数按照由小到大的顺序排列放到一条直线上后比大的在其右边比小的在它的左边这样所有的数字好象水浒英雄一样排定了座次数轴上的数不再混乱右边的数比左边的所有数都大在数的王国中没有最大的也没有最小的常用和常见的数都是左右的一些数由此可见的重要意义关于相反数世间万物相克相生现实世界本身便是矛盾的对立统一体任何事物都有其反面性正数的反面就是负数的反面是由此正数的相反数是负数负数的相反数是正数的相反数是互为相反数的两个数在数轴上的位置关于原点点对称一左一右与原点距离相等互为相反的两个数或式从表面看只差一个号一个为号一个为号或一个省略号无号一个为号写一个数的相反数正数给数字添号负数负号变正号或去掉不变关于绝对值不管数或式的大小正负如何它总表示一个实实在在存在的量抛开正负这个实实在在存在的量就是数或式的绝对值具体一个数它的绝对值就是数字数的绝对值只看数字不管符号结合绝对值的几何意义数轴上表示该数的点到原点的距离任何数的绝对值都不会为负正数本身为正故绝对值等于自身的绝对值也是本身只有负数小于绝对值要取它的相反数用式子表示为关于数轴有形无数难入微有数无形不直观华罗庚语数学研究的目的一要准确二要直观只有将数与形结合起来才能达到上述两个目的数轴就是为此而生的有了数轴可以将数转化为数轴上的点点是图形亦可用数来表示数轴上的点这样就实现了图形数字化数字图形化在代数与几何之间架起了一座桥梁可以使枯燥的数字运算或数量关系变成直观正大多增升收盈上东北高右负小少减降支亏下西南低左第一章有理数3的图形借助视觉迅速了解和判断而看似复杂的图形又可用数学式子将其加以描述在现代电子化的图形图像处理领域离开任何一个方面工作都无法进行所不同的只是其复杂程度较高而已数轴的画法画一条直线通常水平放置在其上任取一点作为原点标上字母规定一个方向为正通常是右画上箭头取适当的长度作为单位长度从原点起依次标记一些数字最少要标记一个数关于加减乘除同号两数相加与小学类似无需赘述一个数与相加等于没加亦好理解异号两数相加会将一部分抵消最终剩下的就是数字大的数字小的被抵消完了因而在异号两数相加的法则中有符号从大之说乘法是从加法脱胎而来有理数的乘法运算和小学相比没有本质区别只是增加了符号的运算其实判断符号用的就是加法重点关注的是因子中号的个数如有双数个最终全部合成为号如有单数个部分合成为号外总要剩一个号故最终结果为除法在本质上与乘法是同一类只要将除号变为乘号其运算等同于乘法例题练习例下列结论中正确的是小学学过的数都是正数小学学过的数前面加上号后都是负数一个数不是负数就是正数如果是正数那么一定是负数是最小的自然数是整数也是偶数既非正数也非负数表示没有温度解正确的是例判断是正数是负数解是一个字母可以表示学过的任意数代表正数时它就是正的表示它就是表示负数时它就是负的同理也不一定是负的代表正数时它就是负的表示时它就是表示负数时它就是正的例一棵倒下的笔直枯树树干上有一个蚂蚁窝一只小蚂蚁在窝的周围来回爬行搬运食物若规定向树头方向爬行为正向树根方向爬行为负这只蚂蚁出窝后在一段时间内的爬行情况如下单位这只蚂蚁在这段时间内一共爬行了多远的路程离开蚁窝的最远距离是多少最后一次停在什么地方解蚂蚁爬行的路程就是所有数绝对值的和蚂蚁在这段时间内一共爬行了米的路程该问求从前向后几个数和的绝对值最大的那一个通过计算可知是前个数即故最远距离是米答最后蚂蚁停在树根方向离开蚁窝处例阅读右表中某种股票在周一到周五的涨跌情况单位元这几天中哪几天股票是上涨的哪天股票涨得最多这几天中哪几天股票是下跌的哪天股票跌得最多到周五收盘时这种股票的涨星期一二三四五每股涨跌第一章有理数4跌情况如何解由表可见周一周三周四这三天股票上涨周一涨得最多周二和周五下跌周五跌幅最大元和周一开盘时相比涨了元练习体育课上某中学对八年级男生的引体向上进行了测试以能做个为标准超过次数用正数表示下欠次数用负数表示其中名男生的成绩分别为问这名男生达到标准的合格率是多少这名男生一共做了多少个引体向上观察下列数的规律判断第个数是几在急行跳远测试中合格成绩是米小华跳出了米记作米小明跳了米应记作某食品包装袋上标有字样其含义是例把下列各数分别填在相应的集合里例根据下表中的规律从左向右的空格中应依次填写的数字是解由图可以看出长杠表示两个短杠表示所以第四个数是第五个是例如图数轴上的点分别表示和点是到和距离相等的点则点对应的数是解因为表示的数是表示的数是所以两点间的距离为又点到两点距离相等故所以表示的数是可以看成是自点起右移个单位或还可以看做是从点起左移个单位因此可用上面两种方法计算又点是线段的中点三点表示的都是数仿照平均数的算法中点的数值可取两个端点数值的平均数也可得到点所表示的数练习七年级班的数学成绩以分为基准超过记为正不足记为负张老师将第一小组的名同学的成绩统计如下单位分求这六名同学的平均成绩把下列各数分别填入相应的集合内已知有三个数集每个数集中所包含的数都写第一章有理数5在各自的大括号内请把这些数字填在三个圈中相应的位置某种方便面每袋标准重量克规定最重不超过克最轻不超过克现有袋方便面称得重量分别为克这袋方便面的合格率是多少在数轴上与原点距离为个长度单位的点有个它们表示的数是一个点从数轴上的点开始先向左移动个单位再向右移动个单位该点最后停下时对应的数是例根据数轴上的图示列出相应算式并求出结果解由图可见起点是第一次向右移动个单位第二次向左移动个单位可列算式练习根据数轴上的图示列出相应算式并求出结果如果数轴上点到原点的距离为个单位长度点到原点的距离为个单位长度求两点间的距离例化简下列小题中各数前面的符号解练习化简下列各数例求的相反数解的相反数是化简后为练习求的相反数例阅读下面的文字然后回答问题的相反数是所以的相反数是所以的相反数是所以若互为相反数则则互为相反数使用文字描述上面的结果为解若两数互为相反数则其和为若两数和为零则两数互为相反数练习右图是一个正方体纸盒的展开图若在其中的三个面内分别填入数字使得它们折成正方体后相对两个面上的数字互为相反数则填入三个面的数字依次为与互为相反数在数轴上表示它们的点距离原点个长度单位数轴上到原点距离为个单位长度的点有个它们表示的数是它们的关系是在数轴上对应的点都在原点的表示的点比表示的点距离原点在数轴上有两点如图所示怎样移动这两点中的一个才能使两个点表示的数互为相反数已知有理数在数轴上的位置如图所示请在数轴上标出它们的相反数并用连接起来第一章有理数6例比较与的大小解法当时则所以当时即所以当时故所以解法当时这时当时这时当时这时解法中比较两个数大小的方法叫作差法通过两个数差的正负判断减数和被减数的大小例已知求的值解由绝对值的非负性可知而所以且所以得几个非负数的和为必须且只需每个非负数都等于今后类似题目都可以用上述解法求解练习若则与的关系是若求的值某年一些国家的产品出口额比上一年的增长率如右表把它们按照从低到高排列例有理数在数轴上的位置如图所示化简解由图可见所以故所以有关数或式的绝对值的化简首先要弄清绝对值符号内的数或式的正负再根据正负数的绝对值的不同情况分别去掉绝对值符号然后再把所得结果合并化简即可练习有理数在数轴上的位置如图所示化简例把下列各式统一写成加法的形式解例计算解例小敏靠勤工俭学维持上大学的费用下表是是他一周的收支情况收入为正支出为负单位元这一周内小敏有多少节余照这一个月按天算小敏有多少节余解元元答该周内小敏有元节余这个月内他应有元节余美国德国英国中国日本意大利星期一二三四五六日收入支出第一章有理数7练习若求的值已知求的值观察右图寻找规律在处填上适当的数新小王上周五在股市以收盘价收市时的价格每股元买进某公司股票股在接下来的一周交易日内小王记下该股票每日收盘价相比前一天的涨跌情况单位元根据表格中的信息回答星期二收盘时该股票每股多少元这周内该股票收盘时的最高价最低价分别是多少已知买入与卖出股票均需支付成交金额千分之五的交易税若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出他的收益情况如何出租车司机小李某天下午营运全是在东西走向的大街上进行的若规定向东为正向西为负这天下午的行车里程记录如下单位千米将最后一名乘客送达目的地后小李在什么位置若汽车耗油量为升千米小李这天下午汽车共耗油多少升有理数在数轴上的位置如图所示判断下列各式的符号阅读第一小题的计算方法再计算第二小题例计算解减去一个数等于加上这个数的相反数即这样就把有理数的减法运算转化为加法运算了在进行有理数减法运算时首先要弄清减数的符号是正还是负在减法转化为加法时被减数与减数的位置不能互换练习若的相反数是它本身的相反数是最大的负整数的绝对值等于求星期一二三四五每股涨跌元第一章有理数8的值例计算解有理数的乘法运算中数字进行的是乘法运算符号进行的是加法运算说穿了乘法是加法的简便运算因而符号是简单的相加两个号加起来是一个号三个号合起来是一个号一个号省去一个最终剩一个号所以几个有理数相乘时积的符号决定于其所有因子中含有的负号也就是负因子的个数有单数个号积为有双数个号积为若因子中含有则积为以前学过的运算律交换律结合律分配律现在仍然适用练习有两个有理数它们的和为负积为正则这两个数若有理数则的符号是如果将去掉负号得已知互为相反数互为倒数的绝对值是求的值例已知互为相反数互为倒数的绝对值为求的值解因为互为相反数所以因为互为倒数所以有因为的绝对值为所以当时原式当时原式本题综合考察了相反数倒数绝对值及有理数的混合运算一要准确应用概念进行计算二要对的取值分两种情况进分别计算分类讨论思想不可遗漏练习今年五一黄金周期间许多商家都大搞优惠活动以吸引顾客消费增加销售收入小明的上衣原价元买时打了六折裤子是打了七折买的共消费元小明的裤子原价多少元例用科学记数法表示解比较和中小数点的位置不难看出要把后一个数的小数点还原到前一个数的位置上需将其小数点向右右为移动位为达此目的必须给它乘以也就是所以注意指数为正同法可得在中比较和的小数第一章有理数9点可以看出要将前面的数还原成后面的需经其小数点向左左为移动五位所以注意指数为负同理科学记数法通常是用来标记一些极大或极小的数统一了书写格式后可以给书写比较计算等带来很多方便用科学记数法表示的数其有效数字就是中的所有数字练习用科学记数法表示下列各数例判断下列各数的有效数字和精确度解有效数字为和个共个有效数字为四个及的有效数字都是三个关于精确度请看下表把原题中的四个数放在上图所示的数字表中可以清楚的看出其最后一位数字所在的数字也容易看出每一个数的精确度第一个精确到个位第二个精确到千位第三个精确到百万分位第四个精确到百万分位而不是十分位在判断用科学记数法表示的数的精确度时不能就数看数一定要将其还原再看最后一位数所在的数字进而确定它的精确度有效数字就数看数按定义数数即可对于过大或过小的数若要求保留的有效数字个数少于原数的位数时必须用科学记数法将原数加以表示纯小数保留有效数字时除保留的部分外其余部分按四舍五入处理见下例例按要求的精确度给下列数字取近似值保留三个有效数字保留两个有效数字保留四个有效数字保留三个有效数字解练习指出下列各数的有效数字精确度原数趣题巧解其余百万位十万位万位千位百位十位个位十分位百分位千分位万分位十万分位百万分位其余数位数字原数第一章有理数10例计算解第一章达标检测题一选择题下列说法中正确的是和不是互为相反数为正数也可能是负数若则非负数的相反数比她本身大数轴上到点的距离为的点表示的数是或若则的值为有理数在数轴上的位置如图所示则下例关系中正确的是若则的取值范围是已知则下例结论正确的是把四舍五入保留三个有效数字用科学记数法表示为下列结论正确的是第一章有理数11近似数和的有效数字一样近似数千和近似数精确度相同近似数精确到万分位近似数精确到个位若为有理数且成立则与的关系是相等互为相反数互为倒数相等或互为相反数对式子去括号计算正确的位二填空题的相反数是倒数是在数轴上表示与的两点间的距离是比较大小若则已知小明身高的测量值为米则其四个的取值范围是若且则科学记数法表示的数恢复成原数是已知有理数若则若与互为倒数与互为相反数则式子为按规律排列则第八个数是三解答题每题分其余每题分共分计算若为有理数且求的值已知有理数在数轴上的位置如图所示化简一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶检修电话线某一天早晨从地出发晚上到达地约定向北为正方向当天行驶记录如下单位千米请你根据计算回答下列问题地在地的何方相距多少千米若汽车的耗油量为升千米这天共享油多少升保留三个有效数字观察下列各式由此推算出等于多少小红家春天粉刷房间雇佣五个工人干了天完工用了某种涂料升费用为元粉刷的面积是平方米最后结算工钱时有以下几种方案方案一按工算每个工元一个工人干一天是一个工方案二按涂料费用算涂料费用的作为工钱方案三按粉刷面积算每平米付工钱元请你帮助小红计算计一下应选择哪种方案最省钱