初三数学竞赛试题含答案

初三数学竞赛试题(含答案) 2009年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题 参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分） （1）已知（），则的值为（B）． （A）（B）（C）（D） 【解】，． 又，∴.故选（B）． （2）若关于的方程的一个根大于且小于，另一个根大于2且小于3，则m的取值范围是（C）． （A）（B）（C）（D） 【解】根据题意，由根的判别式，得．设， 由已知，画出该二次函数的大致图象，观察图象， 当时，有，即； 当时，有，即； 当时，有，即； 当时，有，即． 综上，.故选（C）． （3）某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为，，，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为（D）． （A）（B）（C）（D） 【解】设这段公路长为3s，则三个不同路段的长度均为s，此辆汽车在各路段上行驶 的时间分别为（），则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为 ．故选（D）． （4）已知边长为1的正方形ABCD，E为CD边的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动，设点P经过的路程为，△的面积为，则关于的函数的图象大致为（A）． 【解】由已知，在边长为1的正方形ABCD中， 如图①，当点P在AB边上运动时，（），∴； 如图②，当点P在BC边上运动时， ，即（），有， ∴ =； 如图③，当点P在线段CE上运动时， ，有（）， ∴． 故选（A）． （5）已知矩形ABCD中，AB=72，AD=56，若将AB边72等分，过每个分点分别作AD的平行线；将AD边56等分，过每个分点分别作AB的平行线，则这些平行线把整个矩形分成了边长为1的72×56个小正方形．于是，被对角线AC从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有AC上的两个点）共有（D）． （A）130个（B）129个（C）121个（D）120个 【解】根据题意，建立平面直角坐标系，使得，则． 因为AC与水平线（含AB与DC）、竖直线（含AD与BC）中的每一条都相交， 所以有57+73=130个交点（含重合的交点）． 由表示直线AC的正比例函数为，于是重合的交点坐标为（，）（0，1，2，…，8）．即有9个重合的交点． 因此共有个彼此不同的交点，它们将对角线AC分成120段，每段仅穿过1个小正方形，于是AC共穿过120个小正方形．故选（D）． 二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，满分35分) （6）将一枚骰子掷两次，若第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则由，所确定的点在双曲线上的概率等于. 【解】 123456 1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1) 2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2) 3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3) 4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4) 5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5) 6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6) 其中点（1，6），（6，1），（2，3），（3，2）在双曲线上，因此所求的概率等于． （7）计算（的整数）的值等于100． 【解】根号内的被开方数可化为 所以． （8）若是质数，且整除，则的末位数字是2. 【解】当时，，，5能整除10； 当是奇质数时，为偶数，为奇数，而偶数不能整除奇数，此时不满足“整除”的条件. 综上，.于是. 由的末位数字是6，所以的末位数字是2. （9）如图，四边形ABCD中，， ，若，则的长为 2． 【解】如图，过点A作与BC的延长线交于点E， 则. ∵在△中，由，，得． ∴． ∵，∴，又， ∴． 又在△ACD中，，∴． ∴△ACE≌△CAD．有． 而在Rt△ABE中，∵，∴，∴. （10）如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3， 4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两 个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加， 若使这个和最大，则此最大值为50． 【解】设相邻格子内的两数为，，且，则，共有10个差，要使这10个差的和最大，其中10个被减数应当尽量大，10个减数应当尽量小，而每个数仅与两个数相邻，所以，将10，9，8，7，6各当作两次被减数，5，4，3，2，1各当作两次减数，可满足条件，所以要求的最大值为 ． 如图，是满足条件的一种填数字的方法． 三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分） （11）（本小题满分20分） 已知，，，求的值. 【解】∵，∴，① 同理，② .③……………………………10分 由①+②-③，得，解得. 由①+③-②，得，解得