2014年北京市高考数学试卷(文科)

2014年北京市高考数学试卷文科一选择题共8小题每小题5分共40分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项15分2014北京若集合A0124B123则ABA01234B04C12D325分2014北京下列函数中定义域是R且为增函数的是AyexByxCylnxDyx35分2014北京已知向量2411则2A57B59C37D3945分2014北京执行如图所示的程序框图输出的S值为菁优网httpwwwjyeoocomA1B3C7D1555分2014北京设ab是实数则ab是a2b2的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件65分2014北京已知函数fxlog2x在下列区间中包含fx零点的区间是A01B12C24D4菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网75分2014北京已知圆Cx32y421和两点Am0Bm0m0若圆C上存在点P使得APB90则m的最大值为A7B6C5D485分2014北京加工爆米花时爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为可食用率在特定条件下可食用率p与加工时间t单位分钟满足函数关系pat2btcabc是常数如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据可以得到最佳加工时间为菁优网httpwwwjyeoocomA350分钟B375分钟C400分钟D425分钟二填空题共6小题每小题5分共30分95分2014北京若xii12ixR则x105分2014北京设双曲线C的两个焦点为00一个顶点是10则C的方程为115分2014北京某三棱锥的三视图如图所示则该三棱锥最长棱的棱长为菁优网httpwwwjyeoocom125分2014北京在ABC中a1b2cosC则csinA135分2014北京若xy满足则zxy的最小值为菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网145分2014北京顾客请一位工艺师把AB两件玉石原料各制成一件工艺品工艺师带一位徒弟完成这项任务每件原料先由徒弟完成粗加工再由师傅进行精加工完成制作两件工艺品都完成后交付顾客两件原料每道工序所需时间单位工作日如下工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为个工作日三解答题共6小题满分80分解答应写出文字说明演算步骤或证明过程1513分2014北京已知an是等差数列满足a13a412数列bn满足b14b420且bnan为等比数列求数列an和bn的通项公式求数列bn的前n项和1613分2014北京函数fx3sin2x的部分图象如图所示写出fx的最小正周期及图中x0y0的值求fx在区间上的最大值和最小值菁优网httpwwwjyeoocom1714分2014北京如图在三棱柱ABCA1B1C1中侧棱垂直于底面ABBCAA1AC2BC1EF分别是A1C1BC的中点求证平面ABEB1BCC1求证C1F平面ABE求三棱锥EABC的体积菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网菁优网httpwwwjyeoocom1813分2014北京从某校随机抽取100名学生获得了他们一周课外阅读时间单位小时的数据整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图排号分组频数1026224834617468225810256101212712146814162916182合计100从该校随机选取一名学生试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率求频率分布直方图中的ab的值假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组只需写结论菁优网httpwwwjyeoocom菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网1914分2014北京已知椭圆Cx22y24求椭圆C的离心率设O为原点若点A在直线y2上点B在椭圆C上且OAOB求线段AB长度的最小值2013分2014北京已知函数fx2x33x求fx在区间21上的最大值若过点P1t存在3条直线与曲线yfx相切求t的取值范围问过点A12B210C02分别存在几条直线与曲线yfx相切只需写出结论菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网2014年北京市高考数学试卷文科参考答案与试题解析一选择题共8小题每小题5分共40分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项15分2014北京若集合A0124B123则ABA01234B04C12D3考点交集及其运算菁优网版权所有专题集合分析直接利用交集的运算得答案解答解A0124B123AB012412312故选C点评本题考查交集及其运算是基础题25分2014北京下列函数中定义域是R且为增函数的是AyexByxCylnxDyx考点函数单调性的判断与证明菁优网版权所有专题函数的性质及应用分析根据函数单调性的性质和函数成立的条件即可得到结论解答解A函数的定义域为R但函数为减函数不满菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网足条件B函数的定义域为R函数增函数满足条件C函数的定义域为0函数为增函数不满足条件D函数的定义域为R在0上函数是增函数在0上是减函数不满足条件故选B点评本题主要考查函数定义域和单调性的判断比较基础35分2014北京已知向量2411则2A57B59C37D39考点平面向量的坐标运算菁优网版权所有专题平面向量及应用分析直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案解答解由2411得22241148菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网1157故选A点评本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算是基础的计算题45分2014北京执行如图所示的程序框图输出的S值为菁优网httpwwwjyeoocomA1B3C7D15考点程序框图菁优网版权所有专题计算题算法和程序框图分析算法的功能是求S121222k的值根据条件确定跳出循环的k值计算输出的S值解答解由程序框图知算法的功能是求S121222k的值跳出循环的k值为3输出S1247故选C菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网点评本题考查了当型循环结构的程序框图根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键55分2014北京设ab是实数则ab是a2b2的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点必要条件充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有分析本题考查的判断充要条件的方法我们可以根据充要条件的定义进行判断此题的关键是对不等式性质的理解解答解因为ab都是实数由ab不一定有a2b2如23但2232所以ab是a2b2的不充分条件反之由a2b2也不一定得ab如3222但32所以ab是a2b2的不必要条件菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网故选D点评判断充要条件的方法是若pq为真命题且qp为假命题则命题p是命题q的充分不必要条件若pq为假命题且qp为真命题则命题p是命题q的必要不充分条件若pq为真命题且qp为真命题则命题p是命题q的充要条件若pq为假命题且qp为假命题则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围再根据谁大谁必要谁小谁充分的原则判断命题p与命题q的关系涉及不等式平方大小的比较问题举反例不失为一种有效的方法65分2014北京已知函数fxlog2x在下列区间中包含fx零点的区间是菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网A01B12C24D4考点函数零点的判定定理菁优网版权所有专题函数的性质及应用分析可得f220f40由零点的判定定理可得解答解fxlog2xf220f40满足f2f40fx在区间24内必有零点故选C点评本题考查还是零点的判断属基础题75分2014北京已知圆Cx32y421和两点Am0Bm0m0若圆C上存在点P使得APB90则m的最大值为A7B6C5D4考点直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题直线与圆分析根据圆心C到O00的距离为5可得圆C上的点到点O菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网的距离的最大值为6再由APB90可得POABm可得m6从而得到答案解答解圆Cx32y421的圆心C34半径为1圆心C到O00的距离为5圆C上的点到点O的距离的最大值为6再由APB90以A为直径的圆和圆C有交点可得POABm故有m6故选B点评本题主要直线和圆的位置关系求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6是解题的关键属于中档题85分2014北京加工爆米花时爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为可食用率在特定条件下可食用率p与加工时间t单位分钟满足函数关系pat2btcabc是常数如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据可以得到最佳加工时间为菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网菁优网httpwwwjyeoocomA350分钟B375分钟C400分钟D425分钟考点进行简单的合情推理菁优网版权所有专题应用题推理和证明分析由提供的数据求出函数的解析式由二次函数的图象与性质可得结论解答解将307408505分别代入pat2btc可得解得a02b15c2p02t215t2对称轴为t375故选B点评本题考查了二次函数模型的应用考查利用二次函数的图象菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网与性质求函数的最值问题确定函数模型是关键二填空题共6小题每小题5分共30分95分2014北京若xii12ixR则x2考点复数相等的充要条件菁优网版权所有专题数系的扩充和复数分析化简原式可得1xi12i由复数相等的定义可得解答解xii12i1xi12i由复数相等可得x2故答案为2点评本题考查复数相等的充要条件属基础题105分2014北京设双曲线C的两个焦点为00一个顶点是10则C的方程为x2y21考点双曲线的标准方程菁优网版权所有专题计算题圆锥曲线的定义性质与方程分析利用双曲线C的两个焦点为00一个顶点是10可得ca1进而求菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网出b即可得出双曲线的方程解答解双曲线C的两个焦点为00一个顶点是10ca1b1C的方程为x2y21故答案为x2y21点评本题考查双曲线方程与性质考查学生的计算能力属于基础题115分2014北京某三棱锥的三视图如图所示则该三棱锥最长棱的棱长为2菁优网httpwwwjyeoocom考点由三视图求面积体积菁优网版权所有专题计算题空间位置关系与距离分析由主视图知CD平面菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网ABCB点在AC上的射影为AC中点及AC长由左视图可知CD长及ABC中变AC的高利用勾股定理即可求出最长棱BD的长解答解由主视图知CD平面ABC设AC中点为E则BEAC且AECE1由左视图知CD2BE1在RtBCE中BC在RtBCD中BD2在RtACD中AD2则三棱锥中最长棱的长为2故答案为2菁优网httpwwwjyeoocom点评本题考查点线面间的距离计算考查空间图形的三视图考查学生的空间想象能力考菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网查学生分析解决问题的能力125分2014北京在ABC中a1b2cosC则c2sinA考点余弦定理菁优网版权所有专题三角函数的求值解三角形分析利用余弦定理列出关系式将ab以及cosC的值代入求出c的值由cosC的值求出sinC的值再由ac的值利用正弦定理即可求出sinA的值解答解在ABC中a1b2cosC由余弦定理得c2a2b22abcosC1414即c2cosCC为三角形内角sinC由正弦定理菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网得sinA故答案为2点评此题考查了正弦余弦定理以及同角三角函数间的基本关系熟练掌握定理是解本题的关键135分2014北京若xy满足则zxy的最小值为1考点简单线性规划菁优网版权所有专题数形结合分析由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式由图得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案解答解由约束条件作出可行域菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网如图菁优网httpwwwjyeoocom化目标函数zxy为由图可知当直线过C01时直线在y轴上的截距最小此时故答案为1点评本题考查简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法是中档题145分2014北京顾客请一位工艺师把AB两件玉石原料各制成一件工艺品工艺师带一位徒弟完成这项任务每件原料先由徒弟完成粗加工再由师傅进行精加工完成制作两件工艺品都完成后交付顾客两件原料每道工序所需时间单位工作日如下工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为42个工作日考点算法的特点菁优网版权所有专题应用题函数的性质及应用菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网分析先完成B的加工再完成A的加工即可解答解由题意徒弟利用6天完成原料B的加工由师傅利用21天完成精加工与此同时徒弟利用9天完成原料A的加工最后由师傅利用15天完成精加工故最短交货期为6211542个工作日故答案为42点评本题考查利用数学知识解决实际问题考查学生分析解决问题的能力属于基础题三解答题共6小题满分80分解答应写出文字说明演算步骤或证明过程1513分2014北京已知an是等差数列满足a13a412数列bn满足b14b420且bnan为等比数列求数列an和bn的通项公式求数列bn的前n项和考点数列的求和等差数列的通项公式等比数列的通项公式菁优网版权所有专题等差数列与等比数列分析利用等差数列等比菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网数列的通项公式先求得公差和公比即得结论利用分组求和法有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和解答解设等差数列an的公差为d由题意得d3ana1n1d3nn12设等比数列bnan的公比为q则q38q2bnanb1a1qn12n1bn3n2n1n12由知bn3n2n1n12菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网数列3n的前n项和为nn1数列2n1的前n项和为12n1数列bn的前n项和为nn12n1点评本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n项和公式的应用考查学生的基本的运算能力属基础题1613分2014北京函数fx3sin2x的部分图象如图所示写出fx的最小正周期及图中x0y0的值求fx在区间上的最大值和最小值菁优网httpwwwjyeoocom考点三角函数的周期性及其求法正弦函数的定义域和值域菁优网版权所有菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网专题三角函数的图像与性质分析由题目所给的解析式和图象可得所求由x可得2x0由三角函数的性质可得最值解答解fx3sin2xfx的最小正周期T可知y0为函数的最大值3x0x2x0当2x0即x时fx取最大菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网值0当2x即x时fx取最小值3点评本题考查三角函数的图象和性质属基础题1714分2014北京如图在三棱柱ABCA1B1C1中侧棱垂直于底面ABBCAA1AC2BC1EF分别是A1C1BC的中点求证平面ABEB1BCC1求证C1F平面ABE求三棱锥EABC的体积菁优网httpwwwjyeoocom考点平面与平面垂直的判定棱柱棱锥棱台的体积直线与平面平行的判定菁优网版权所有专题综合题空间位置关系与距离分析证明ABB1BCC1可得平面菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网ABEB1BCC1证明C1F平面ABE只需证明四边形FGEC1为平行四边形可得C1FEG利用VEABC可求三棱锥EABC的体积解答证明三棱柱ABCA1B1C1中侧棱垂直于底面BB1ABABBCBB1BCBABB1BCC1AB平面ABE平面ABEB1BCC1证明菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网取AB中点G连接EGFG则F是BC的中点FGACFGACE是A1C1的中点FGEC1FGEC1四边形FGEC1为平行四边形C1FEGC1F平面ABEEG平面ABEC1F平面ABE解AA1AC2BC1ABBCABVEABC菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网菁优网httpwwwjyeoocom点评本题考查线面平行垂直的证明考查三棱锥EABC的体积的计算正确运用线面平行垂直的判定定理是关键1813分2014北京从某校随机抽取100名学生获得了他们一周课外阅读时间单位小时的数据整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图排号分组频数1026224834617468225810256101212712146814162916182合计100从该校随机选取一名学生试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率求频率分布直方图中的ab的值假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组只需写结论菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网菁优网httpwwwjyeoocom考点频率分布直方图频率分布表菁优网版权所有专题计算题概率与统计分析根据频率分布表求出周课外阅读时间少于12小时的频数再根据频率求频率根据小矩形的高求ab的值利用平均数公式求得数据的平均数可得答案解答解由频率分布表知周课外阅读时间少于12小时的频数为681722251290菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网周课外阅读时间少于12小时的频率为09由频率分布表知数据在46的频数为17频率为017a0085数据在810的频数为25频率为025b0125数据的平均数为1006300850177022902511012130061500217002768小时样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组点评本题考查了频率分布表与频率分布直方图再频率分布直方图中频率小矩形的面积小矩形的高组距菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网1914分2014北京已知椭圆Cx22y24求椭圆C的离心率设O为原点若点A在直线y2上点B在椭圆C上且OAOB求线段AB长度的最小值考点椭圆的简单性质两点间的距离公式菁优网版权所有专题圆锥曲线的定义性质与方程分析椭圆Cx22y24化为标准方程为求出ac即可求椭圆C的离心率先表示出线段AB长度再利用基本不等式求出最小值解答解椭圆Cx22y24化为标准方程为a2bc椭圆C的离心率菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网e设At2Bx0y0x00则OAOB0tx0y00tAB2x0t2y0224448当且仅当即x024时等号成立线段AB长度的最小值为2点评本题考查椭圆的方程与性质考查基本不等式的运用考查学生的计算能力属于中档题2013分2014北京已知函数fx2x33x菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网求fx在区间21上的最大值若过点P1t存在3条直线与曲线yfx相切求t的取值范围问过点A12B210C02分别存在几条直线与曲线yfx相切只需写出结论考点导数在最大值最小值问题中的应用函数的零点利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题导数的综合应用分析利用导数求得极值点比较f2fff1的大小即得结论利用导数的几何意义得出切线方程46t30设gx4x36x2t3则过点P1t存在3条直线与曲线yfx相切等价于gx有3个不同的零点利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网况得出结论利用的结论写出即可解答解由fx2x33x得fx6x23令fx0得x或xf210fff11fx在区间21上的最大值为设过点p1t的直线与曲线yfx相切于点x0y0则y023x0且切线斜率为k63切线方程为yy063xx0菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网ty0631x0即46t30设gx4x36x2t3则过点P1t存在3条直线与曲线yfx相切等价于gx有3个不同的零点gx12x212x12xx1gx与gx变化情况如下x000111gx00gxt3t1g0t3是gx的极大值g1t1是gx的极小值当g0t30即t3时gx在区间1和1上分别至多有一个零点故gx至多有2个零点当g1t10即t1时gx在区间菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网0和0上分别至多有一个零点故gx至多有2个零点当g00且g10即3t1时g1t70g2t110gx分别在区间1001和12上恰有1个零点由于gx在区间0和1上单调故gx分别在区间0和1上恰有1个零点综上所述当过点过点P1t存在3条直线与曲线yfx相切时t的取值范围是31过点A12存在3条直线与曲线yfx相切过点B210存在2条直线与曲线yfx相切过点C02菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网存在1条直线与曲线yfx相切点评本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力属难题菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102014菁优网参与本试卷答题和审题的老师有刘长柏sxs123lincy清风慕竹liu老师mathscaoqzsllwyn排名不分先后菁优网2014年6月12日