几何弦图证明

四边形ABCD正方形EFGH四顶点接于ABCD上如图AEDHCGBF求证四边形ABCD是正方形用正弦定理反证ABCD都是直角假设A是锐角AEaEFc在AEF中有asinAFEcsinAc而在FBG中FBcosBFGasinAFEc即FGcosBFGFB就是说从G点向BF作垂线GBFB小于FB所以B也是锐角同理可证CD都是锐角这与四边形ABCD内角和为360矛盾httpbbspepcomcnthread65235111htmlzoom所以A不是锐角假设A是钝角同样方法可证BCD是锐角并由D是锐角同样可证A也是锐角这与A是钝角的假设矛盾所以A也不是钝角综上A只能是直角同理BCD都是直角之后证正方形就易如反掌了前提FB等长线段长度a正方形四边b假设ABCD四角不全是直角那么必有一角大于90度设大于90度这个角是A那么B有两种可能1B90度可以推出AB180度2如果B90度那么当B小于90时56180b90而7690所以5768正弦定理bsinAasin8bsinBasin6很明显68都是锐角那么sin6sin8因此sinBsinAA大于90度所以sinAsin180A因此sinB180AAB180度综合以上AB180度得证易知CD小于180度那么CD中肯定小角是锐角如果相等一样那不妨认为C是锐角那么有D大于等于C明显42正弦定理bsinCasin4bsinDasin2sinDsinC所以sin2sin4矛盾所以该假设不成立角A90同样分别假设BCD大于90同上过程可以推出假设矛盾这一步应该没问题吧毕竟ABCD4个角都可以换的说那么同时有ABCD90由于ABCD是四边形内角和为360因此只能是ABCD90另法