2022-2023学年河南省驻马店市开发区高级中学高二（上）期中数学试卷（含解析）.doc

第页共页外装订线学校姓名班级考号内装订线学年河南省驻马店市开发区高级中学高二上期中数学试卷第卷选择题一单选题本大题共小题共分在每小题列出的选项中选出符合题目的一项已知为实数直线与直线垂直则或无解若直线的方向向量为平面的法向量为则能使的是若向量且与的夹角余弦值为则实数等于或或已知双曲线的左右焦点分别为为坐标原点点是双曲线左支上的一点若则双曲线的标准方程是如图在平行六面体中点在上且则等于第页共页外装订线请不要在装订线内答题内装订线已知为空间的一组基底则下列向量也能作为空间的一组基底的是已知抛物线的焦点在直线上则此抛物线的标准方程是或或设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形则椭圆的离心率是已知分别是椭圆的左右焦点过点的直线交椭圆于两点若轴则椭圆的方程为若点是有共同焦点的椭圆和双曲线的一个交点分别是它们的左右焦点设椭圆离心率为双曲线离心率为若则如图正方体的棱长为中心为则四面体的体积为第页共页外装订线学校姓名班级考号内装订线抛物线的准线与双曲线交于两点为曲线的左右焦点在左边为等边三角形与双曲线的一条渐近线交于点则的面积为第卷非选择题二填空题本大题共小题共分已知直线与直线平行则抛物线上有点它的横坐标是它到焦点的距离是则抛物线的方程为如图在棱长为的正方体中为的中点点在线段上点到直线的距离的最小值为已知抛物线方程为直线的方程为在抛物线上有一动点点到轴的距离为点到直线的距离为则的最小值为三解答题本大题共小题共分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题分已知平面内两点求过点且与直线平行的直线的方程一束光线从点射向中的直线若反射光线过点求反射光线所在的直线方程本小题分如图在四棱锥中底面是边长为的正方形平面为侧棱的中点证明平面平面求直线与平面所成的角的大小第页共页外装订线请不要在装订线内答题内装订线本小题分设椭圆的短轴长为离心率为直线与椭圆有公共点时求实数的取值范围设点是直线被椭圆所截得的线段的中点求直线的方程本小题分已知几何体如图所示其中四边形均为正方形且边长为点在边上求证是否存在点使得直线与平面所成的角为若存在试求点的位置本小题分如图是三棱锥的高为的中点证明平面若求二面角的正弦值第页共页外装订线学校姓名班级考号内装订线本小题分已知椭圆的右焦点为离心率求椭圆的标准方程已知动直线过点且与椭圆交于两点试问轴上是否存在定点使得恒成立若存在求出点的坐标若不存在请说明理由第页共页外装订线请不要在装订线内答题内装订线答案和解析答案解析分析本题主要考查两条直线垂直的性质属于基础题由题意利用考查两条直线垂直的性质求得的值解答解为实数直线与直线垂直求得或故选答案解析分析本题考查的知识要点向量的数量积和平面的法向量主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力属于基础题由题意能使只要满足即可逐项求解即可解答解直线的方向向量为平面的法向量为则能使只要满足即可对于对于对于对于故选答案解析分析根据空间向量的坐标运算和数量积运算列方程求出的值本题考查了空间向量的坐标运算和数量积运算问题属于基础题解答第页共页外装订线学校姓名班级考号内装订线解向量且与的夹角余弦值为所以即解得或所以实数等于或故答案选答案解析分析本题考查双曲线的简单几何性质直线与圆锥曲线的位置关系考查了学生综合分析问题和解决问题的能力属于中档题由题意可得结合双曲线的定义可得的值进而求出双曲线的方程解答解双曲线的左右焦点分别为为坐标原点点是双曲线左支上的一点若由勾股定理可得所以则双曲线的标准方程是故选答案解析解由已知得故第页共页外装订线请不要在装订线内答题内装订线所以故选利用空间向量的线性运算法则将所求向量放在中然后求解即可本题考查空间向量的线性运算法则及其应用属于基础题答案解析解对于中的向量共面不能作为空间的基底对于假设共面则存在使得无解不共面可以作为空间的一组基底故选根据已知条件结合空间向量的共面定理即可求解本题考查了向量基底定义的理解与应用以及空间向量共面定理的运用属于基础题答案解析分析本题主要考查抛物线的标准方程属基础题解题时注意分焦点在轴上焦点在轴上两种情形讨论分焦点在轴和轴两种情况分别求出焦点坐标然后根据抛物线的标准形式可得答案解答解当焦点在轴上时根据可得焦点坐标为抛物线的标准方程为当焦点在轴上时根据可得焦点坐标为抛物线的标准方程为故选第页共页外装订线学校姓名班级考号内装订线答案解析分析本题主要考查了椭圆的简单性质椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目应熟练掌握圆锥曲线中和的关系设点在轴上方坐标为根据题意可知进而根据求得和的关系从而求得离心率解答解设点在轴上方坐标为为等腰直角三角形即即故椭圆的离心率故选答案解析解因为轴所以把代入椭圆方程可得点设因为则又且三点共线所以所以解得即将其代入椭圆方程得所以解得所以椭圆的方程为故选易得点根据求得点的坐标再将其代入椭圆方程求得的值即可本题考查椭圆的方程与几何性质还涉及平面向量的坐标运算考查逻辑推理能力和运算能力属于中档题答案第页共页外装订线请不要在装订线内答题内装订线解析解由题意设焦距为椭圆的长轴长双曲线的实轴长为不妨令在双曲线的右支上由双曲线的定义由椭圆的定义又故故得将代入得即故选由题设中的条件设焦距为椭圆的长轴长双曲线的实轴长为根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程联立可得的等式整理即可得到结论本题考查圆锥曲线的共同特征考查通过椭圆与双曲线的定义焦点三角形中用勾弦定理建立三个方程联立求椭圆离心率与双曲线心率满足的关系式解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形凑出两曲线离心率所满足的方程来答案解析分析以为坐标原点分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系求出的长度得到的面积再由空间向量求出到平面的距离代入棱锥体积公式得答案本题考查棱柱棱锥棱台体积的求法训练了利用空间向量求点到面的距离是中档题解答解如图以为坐标原点分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系则则第页共页外装订线学校姓名班级考号内装订线设平面的一个法向量为由取得又到平面的距离四面体的体积故选答案解析解由可得为的中点又为的中点为等边三角形抛物线的准线的边长为在中由余弦定理可得即解得则的面积为故选可得为的中点为等边三角形由可得即可求得的边长为在中由余弦定理可得得第页共页外装订线请不要在装订线内答题内装订线则的面积为即可本题考查了双曲线抛物线的性质考查了双曲线的离心率属于中档题答案解析解直线与直线平行解得故答案为根据已知条件结合直线平行的性质即可求解本题主要考查直线平行的性质属于基础题答案解析解根据抛物线方程可知准线方程为横坐标为的点到抛物线焦点的距离为根据抛物线的定义可知其到准线的距离为则抛物线的方程为故答案为先利用抛物线的方程求得准线方程根据点到抛物线焦点的距离为利用抛物线的定义推断出点到准线的距离也为利用求得即得本题主要考查了抛物线的简单性质涉及抛物线上点到焦点的距离常用抛物线的定义来解决答案解析分析熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键为中档题取的中点连接利用线面平行的判定即可得到平面进而得到异面直线与的距离从而得最短距离为解答解第页共页外装订线学校姓名班级考号内装订线如图所示取的中点连接又平面平面平面点到直线的距离是两条异面直线与的距离即直线上任一点到平面的距离过点作平面平面平面过点作交于点则取连接则四边形是矩形可得平面在中得点到直线的距离的最小值为故答案为答案解析解由题意点到准线的距离等于点到焦点的距离从而到轴的距离等于点到焦点的距离减过焦点作直线的垂线此时最小则则的最小值为故答案为点到准线的距离等于点到焦点的距离从而到轴的距离等于点到焦点的距离减过焦点作直线的垂线此时最小根据抛物线方程求得进而利用点到直线的距离公式求得的最小值第页共页外装订线请不要在装订线内答题内装订线本题主要考查了抛物线的简单性质点到直线距离公式的运用正确转化是关键答案解由直线的点斜式方程可得直线即直线的方程为设关于直线的对称点所以解得所以由点斜式方程可得整理可得所以反射光线所在的直线方程为解析求得直线的斜率运用直线的点斜式方程可得所求方程设关于直线的对称点运用两直线垂直的条件和中点坐标公式求得再由直线的点斜式方程可得所求直线方程本题考查直线方程的求法以及两直线平行和垂直的条件点关于直线的对称问题考查方程思想和运算能力属于中档题答案解因为平面为正方形以所在的直线为轴以所在的直线为轴以所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系由已知可得因为为的中点且所以所以第页共页外装订线学校姓名班级考号内装订线所以所以平面因为平面所以平面平面设直线与平面所成的角的大小由可知为平面的一个法向量因为所以所以即直线与平面所成的角的大小为解析以所在的直线为轴以所在的直线为轴以所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系用向量法先证明垂直证明平面再证明结论由可知为平面的一个法向量根据线面夹角的向量公式求出结论即可考查向量法证明线面垂直面面垂直向量法求线面所成角的大小中档题答案解由题意所以即椭圆方程为即设法一当斜率不存在时不符合题意当斜率存在时设直线方程为所以直线的方程为法二所以直线的方程为即第页共页外装订线请不要在装订线内答题内装订线解析利用椭圆的短轴长以及离心率求解然后得到椭圆方程联立直线与椭圆方程通过韦达定理转化求解即可设法一当斜率不存在时不符合题意当斜率存在时设直线方程为联立直线与椭圆方程利用中点坐标求出直线的斜率然后推出直线方程法二通过平方差法求解直线的斜率得到直线方程本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用直线方程的求法考查转化思想以及计算能力是中档题答案解如图连结交于点作交于点连结证明四边形均为正方形是平行四边形又平面平面又平面易知是平面与平面所成的角在中则存在点使得直线与平面所成的角为为直线与平面所成的角若则第页共页外装订线学校姓名班级考号内装订线故则解析如图连结交于点作交于点连结可证明再证明平面从而可证明平面从而证明易知是平面与平面所成的角从而求出说明存在再由三角恒等变换求的长度即可本题考查了学生的空间想象力与作图能力同时考查了三角恒等变换及三角函数的定义属于中档题答案解证明连接依题意平面又平面平面则又则延长交于点又则在中为中点连接在中分别为的中点则平面平面平面过点作以分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系由于由知又则设则设平面的一个法向量为又第页共页外装订线请不要在装订线内答题内装订线则则可取设平面的一个法向量为又则则可取设锐二面角的平面角为则即二面角正弦值为解析连接可证得延长交于点可证得由此得证建立空间直角坐标系写出各点的坐标再求出平面及平面的法向量利用向量的夹角公式得解本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值考查逻辑推理能力及运算求解能力属于中档题答案解椭圆方程为假设轴上存在点使得当直线的斜率为时则解得当直线的斜率不存在时则解得由可得下面证明时恒成立直线斜率存在时设直线方程为由消整理得第页共页外装订线学校姓名班级考号内装订线所以综上轴上存在点使得恒成立解析根据条件求出即可假设存在可先求出然后证明使得恒成立即可本题考查椭圆的方程直线与椭圆的综合属于中档题