七桥问题与一笔画

七桥问题与一笔画 18世纪时，风景秀丽的欧洲小城哥尼期堡中有一条河，河的中间有两个小岛，河两岸与两岛之间共建有七座桥（图1）当时小城的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不重复地走过所有的七座桥，再回到出发点？ 这就是数学史上著名的“七桥问题”，为了解决这个问题，我们首先学习一下“一笔画”吧。 把一个图形用笔描绘一遍，笔不能离开图面，已经描过的地方不可以重复，这个图形叫做一笔画。如图2，由A点出发先走向B点，从B点先描出圆，回到B点后，再描全矩形，这就是一个一笔画。但图3就不是一个一笔画。 图的顶点可分为两类，奇点和偶点从某点出发的边的条数是奇数时，这样的点叫做奇点（如图3中A、B、C、D）；从某点出发的边的条数是偶数时，这样的点叫偶点（如图2中A、B） 由例3我们知道并非所有的图形均可一笔画出，通过研究发现有以下三条规律。 1.凡是仅由偶点组成的图形，一定可以一笔画出，画时可以任意偶点为起点，最后仍回到这点。 2.凡是只有两个奇顶点和任意个偶顶点组成的图形，也可以一笔画出，画时必须以一个奇顶点为起点，而以另一个奇顶点为终点。 3.如果图形中的奇顶点多于两个，那么这个图就不可能一笔画出。 掌握这些结论后，我们就可以顺利的解决七桥问题，首先把被河流隔开的四块区域缩写为A、B、C、D四个点，这样七桥问题就变成了四个点间由七条线相连所成的图（图4）。因为本图有四个奇点（A、B、C、D），所以一个人不可能不重复地走过所有的七座桥而再回到出发点，这就是著名数学家欧拉研究后得出的结论。 欧拉用他的智慧，把七桥问题变成了一个与位置关系有关的问题，这也为许多现实生活中的七桥问题找到解决的途径。下面我们来看看它的重要运用。 例1，图5中的线段代表林中小路，在B点A、B两处各有一人，他们约定以相同的速度同时从各自所在的位置出发，走遍林中的每一条小路，最后到达C点，在哪个点出发的人最先到达C点。 分析：从A点出发的人先到。原因是图中只有A、C两个奇点，由规律可知：从A出发的人可以不重复地走完每一条小路后终止在奇点C；B是偶点，从B点出发不可能不重复地走完每一条小路，他要到达C点，必须在某段小路上重复走一次，从B点出发的人到达C的行程比从A点出发的人更长。 所以，从A点出发的人先到。 例2，有一个邮局，负责21个村庄的投递工作（如左下图6）图中的点表示村庄，线段表示道路，邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局。 解：走法如下图7所示。 例3，一教育代表团参观了某大学教学楼、图书馆、学生宿舍、计算中心、体育馆、大学生俱乐部，最后到足球场观看大学生足球比赛，右下图是他们的观参路线图，参观时，他们没有走重复的路线，请你判断出他们是从哪里开始参观的？并猜想出他们走的路线。 解 （图8）中有两个奇点，一是“学生宿舍”，二是“足球场”。由一笔画规律可知，参观团是从“学生宿舍”开始，到“足球场”终止。可能的一条路线是：学生宿舍→大学生俱乐部→教学楼→计算中心→大学生俱乐部→图书馆→学生宿舍→教学楼→体育馆→足球场→图书馆→教学楼→足球场。 例4，（图9）是少年宫