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上传于：2024-07-13
2020年高考数学真题试卷（天津卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（共9题；共45分）
1.设全集 𝑈={−3,−2,−1,0,1,2,3} ，集合 𝐴={−1,0,1,2}, 𝐵={−3,0,2,3} ，则 𝐴∩(∁𝑈𝐵)= （ ）
A. {−3,3} B. {0,2} C. {−1,1} D. {−3,−2,−1,1,3}
2.设 𝑎∈𝑅 ，则“ 𝑎>1 ”是“ 𝑎2>𝑎 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数 𝑦=4𝑥𝑥2+1 的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位： mm ），将所得数据分为9组： [5.31,5.33),[5.33,5.35),⋯,[5.45,5.47],[5.47,5.49] ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 [5.43,5.47) 内的个数为（ ）
A. 10 B. 18 C. 20 D. 36
5.若棱长为 23 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. 12𝜋 B. 24𝜋 C. 36𝜋 D. 144𝜋
6.设 𝑎=30.7, 𝑏=(13)−0.8, 𝑐=log0.70.8 ，则 𝑎,𝑏,𝑐 的大小关系为（ ）
A. 𝑎<𝑏<𝑐 B. 𝑏<𝑎<𝑐 C. 𝑏<𝑐<𝑎 D. 𝑐<𝑎<𝑏
7.设双曲线 𝐶 的方程为 𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0) ，过抛物线 𝑦2=4𝑥 的焦点和点 (0,𝑏) 的直线为l．若C的一条渐近线与 𝑙 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ）
A. 𝑥24−𝑦24=1 B. 𝑥2−𝑦24=1 C. 𝑥24−𝑦2=1 D. 𝑥2−𝑦2=1
8.已知函数 𝑓(𝑥)=sin(𝑥+𝜋3) ．给出下列结论：
① 𝑓(𝑥) 的最小正周期为 2𝜋 ；② 𝑓(𝜋2) 是 𝑓(𝑥) 的最大值；③把函数 𝑦=sin𝑥 的图象上所有点向左平移 𝜋3 个单位长度，可得到函数 𝑦=𝑓(𝑥) 的图象．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③
9.已知函数 𝑓(𝑥)={𝑥3,𝑥⩾0,−𝑥,𝑥<0. 若函数 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−|𝑘𝑥2−2𝑥| (𝑘∈𝑅) 恰有4个零点，则k的取值范围是（ ）
A. (−∞,−12)∪(22,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,22) C. (−∞,0)∪(0,22) D. (−∞,0)∪(22,+∞)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分，（共6题；共30分）
10.i是虚数单位，复数 8−𝑖2+𝑖= ________．
11.在 (𝑥+2𝑥2)5 的展开式中， 𝑥2 的系数是________．
12.已知直线 𝑥−3𝑦+8=0 和圆 𝑥2+𝑦2=𝑟2(𝑟>0) 相交于 𝐴,𝐵 两点．若 |𝐴𝐵|=6 ，则 𝑟 的值为________．
13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 12 和 13 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．
14.已知 𝑎>0, 𝑏>0 ，且 𝑎𝑏=1 ，则 12𝑎+12𝑏+8𝑎+𝑏 的最小值为________．
15.如图，在四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， ∠𝐵=60°, 𝐴𝐵=3 ， 𝐵𝐶=6 ，且 𝐴𝐷=𝜆𝐵𝐶, 𝐴𝐷⋅𝐴𝐵=−32 ，则实数 𝜆 的值为________，若 𝑀,𝑁 是线段 𝐵𝐶 上的动点，且 |𝑀𝑁|=1 ，则 𝐷𝑀⋅𝐷𝑁 的最小值为________．
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（共5题；共75分）
16.在 △𝐴𝐵𝐶 中，角 𝐴,𝐵,𝐶 所对的边分别为 𝑎,𝑏,𝑐 ．已知 𝑎=22,𝑏=5,𝑐=13 ．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求 sin𝐴 的值；
（Ⅲ）求 sin(2𝐴+𝜋4) 的值．
17.如图，在三棱柱 𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1 中， 𝐶𝐶1⊥ 平面 𝐴𝐵𝐶,𝐴𝐶⊥𝐵𝐶,𝐴𝐶=𝐵𝐶=2 ， 𝐶𝐶1=3 ，点 𝐷, 𝐸 分别在棱 𝐴𝐴1 和棱 𝐶𝐶1 上，且 𝐴𝐷=1 𝐶𝐸=2, 𝑀 为棱 𝐴1𝐵1 的中点．
（Ⅰ）求证： 𝐶1𝑀⊥𝐵1𝐷 ；
（Ⅱ）求二面角 𝐵−𝐵1𝐸−𝐷 的正弦值；
（Ⅲ）求直线 𝐴𝐵 与平面 𝐷𝐵1𝐸 所成角的正弦值．
18.已知椭圆 𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0) 的一个顶点为 𝐴(0,−3) ，右焦点为F，且 |𝑂𝐴|=|𝑂𝐹| ，其中O为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点C满足 3𝑂𝐶=𝑂𝐹 ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线 𝐴𝐵 与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段 𝐴𝐵 的中点．求直线 𝐴𝐵 的方程．
19.已知 {𝑎𝑛} 为等差数列， {𝑏𝑛} 为等比数列， 𝑎1=𝑏1=1,𝑎5=5(𝑎4−𝑎3),𝑏5=4(𝑏4−𝑏3) ．
（Ⅰ）求 {𝑎𝑛} 和 {𝑏𝑛} 的通项公式；
（Ⅱ）记 {𝑎𝑛} 的前 𝑛 项和为 𝑆𝑛 ，求证： 𝑆𝑛𝑆𝑛+2<𝑆𝑛+12(𝑛∈𝑁∗) ；
（Ⅲ）对任意的正整数 𝑛 ，设 𝑐𝑛={(3𝑎𝑛−2)𝑏𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛+2,𝑛为奇数,𝑎𝑛−1𝑏𝑛+1,𝑛为偶数. 求数列 {𝑐𝑛} 的前2n项和．
20.已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑘ln𝑥(𝑘∈𝑅) ， 𝑓′(𝑥) 为 𝑓(𝑥) 的导函数．
（Ⅰ）当 𝑘=6 时，
（i）求曲线 𝑦=𝑓(𝑥) 在点 (1,𝑓(1)) 处的切线方程；
（ii）求函数 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓′(𝑥)+9𝑥 的单调区间和极值；
（Ⅱ）当 𝑘⩾−3 时，求证：对任意的 𝑥1, 𝑥2∈[1,+∞) ，且 𝑥1>𝑥2 ，有 𝑓′(𝑥1)+𝑓′(𝑥2)2>𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2 ．
答案解析部分
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】 C
【考点】交集及其运算，补集及其运算
【解析】【解答】由题意结合补集的定义可知： ∁U𝐵={−2,−1,1} ，则 𝐴∩(∁U𝐵)={−1,1} .
故答案为：C.
【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
2.【答案】 A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，一元二次不等式的解法
【解析】【解答】求解二次不等式 𝑎2>𝑎 可得： 𝑎>1 或 𝑎<0 ，
据此可知： 𝑎>1 是 𝑎2>𝑎 的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
3.【答案】 A
【考点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】由函数的解析式可得： 𝑓(−𝑥)=−4𝑥𝑥2+1=−𝑓(𝑥) ，则函数 𝑓(𝑥) 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，CD不符合题意；
当 𝑥=1 时， 𝑦=41+1=2>0 ，B不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
4.【答案】 B
【考点】频率分布直方图，用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】根据直方图，直径落在区间 [5.43,5.47) 之间的零件频率为： (6.25+5.00)×0.02=0.225 ，
则区间 [5.43,5.47) 内零件的个数为： 80×0.225=18 .
故答案为：B.
【分析】根据直方图确定直径落在区间 [5.43,5.47) 之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.
5.【答案】 C
【考点】球的体积和表面积
【解析】【解答】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 𝑅=(23)2+(23)2+(23)22=3 ，
所以，这个球的表面积为 𝑆=4𝜋𝑅2=4𝜋×32=36𝜋 .
故答案为：C.
【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
6.【答案】 D
【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 𝑎=30.7>1 ，
𝑏=(13)−0.8=30.8>30.7=𝑎 ，
𝑐=log0.70.8<log0.70.7=1 ，
所以 𝑐<1<𝑎<𝑏 .
故答案为：D.
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出 𝑎,𝑏,𝑐 的大小关系.
7.【答案】 D
【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为 (1,0) ，所以直线 𝑙 的方程为 𝑥+𝑦𝑏=1 ，即直线的斜率为 −𝑏 ，
又双曲线的渐近线的方程为 𝑦=±𝑏𝑎𝑥 ，所以 −𝑏=−𝑏𝑎 ， −𝑏×𝑏𝑎=−1 ，因为 𝑎>0,𝑏>0 ，解得 𝑎=1,𝑏=1 ．
故答案为：D．
【分析】由抛物线的焦点 (1,0) 可求得直线 𝑙 的方程为 𝑥+𝑦𝑏=1 ，即得直线的斜率为-b，再根据双曲线的渐近线的方程为 𝑦=±𝑏𝑎𝑥 ，可得 −𝑏=−𝑏𝑎 ， −𝑏×𝑏𝑎=−1 即可求出 𝑎,𝑏 ，得到双曲线的方程．
8.【答案】 B
【考点】三角函数的周期性及其求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的最值
【解析】【解答】因为 𝑓(𝑥)=sin(𝑥+𝜋3) ，所以周期 𝑇=2𝜋𝜔=2𝜋 ，故①正确；
𝑓(𝜋2)=sin(𝜋2+𝜋3)=sin5𝜋6=12≠1 ，故②不正确；
将函数 𝑦=sin𝑥 的图象上所有点向左平移 𝜋3 个单位长度，得到 𝑦=sin(𝑥+𝜋3) 的图象，
故③正确.
故答案为：B.
【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
9.【答案】 D
【考点】函数的图象，根的存在性及根的个数判断，函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】注意到 𝑔(0)=0 ，所以要使 𝑔(𝑥) 恰有4个零点，只需方程 |𝑘𝑥−2|=𝑓(𝑥)|𝑥| 恰有3个实根
即可，
令 ℎ(𝑥)= 𝑓(𝑥)|𝑥| ，即 𝑦=|𝑘𝑥−2| 与 ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)|𝑥| 的图象有 3 个不同交点.
因为 ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)|𝑥|={𝑥2,𝑥>01,𝑥<0 ，
当 𝑘=0 时，此时 𝑦=2 ，如图1， 𝑦=2 与 ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)|𝑥| 有 2 个不同交点，不满足题意；
当 𝑘<0 时，如图2，此时 𝑦=|𝑘𝑥−2| 与 ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)|𝑥| 恒有 3 个不同交点，满足题意；
当 𝑘>0 时，如图3，当 𝑦=𝑘𝑥−2 与 𝑦=𝑥2 相切时，联立方程得 𝑥2−𝑘𝑥+2=0 ，
令 𝛥=0 得 𝑘2−8=0 ，解得 𝑘=22 （负值舍去），所以 𝑘>22 .
综上， 𝑘 的取值范围为 (−∞,0)∪(22,+∞) .
故答案为：D.
【分析】由 𝑔(0)=0 ，结合已知，将问题转化为 𝑦=|𝑘𝑥−2| 与 ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)|𝑥| 有3个不同交点，分 𝑘=0,𝑘<0,𝑘>0 三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分，
10.【答案】 3-2i
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 8−𝑖2+𝑖=(8−𝑖)(2−𝑖)(2+𝑖)(2−𝑖)=15−10𝑖5=3−2𝑖 .
故答案为：3-2i.
【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.
11.【答案】 10
【考点】二项式定理
【解析】【解答】因为 (𝑥+2𝑥2)5 的展开式的通项公式为 𝑇𝑟+1=𝐶5𝑟𝑥5−𝑟(2𝑥2)𝑟=𝐶5𝑟⋅2𝑟⋅𝑥5−3𝑟(𝑟=0,1,2,3,4,5) ，令 5−3𝑟=2 ，解得 𝑟=1 ．
所以 𝑥2 的系数为 𝐶51×2=10 ．
故答案为：10．
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令 𝑥 的指数为2，即可求出．
12.【答案】 5
【考点】点到直线的距离公式
【解析】【解答】因为圆心 (0,0) 到直线 𝑥−3𝑦+8=0 的距离 𝑑=81+3=4 ，
由 |𝐴𝐵|=2𝑟2−𝑑2 可得 6=2𝑟2−42 ，解得 𝑟=5 ．
故答案为：5．
【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d，进而利用弦长公式 |𝐴𝐵|=2𝑟2−𝑑2 ，即可求得 𝑟 ．
13.【答案】 16；23
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 12,13 ，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为 12×13=16 ，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 (1−12)×(1−13)=13 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 23 .
故答案为： 16 ； 23 .
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
14.【答案】 4
【考点】基本不等式
【解析】【解答】 ∵𝑎>0,𝑏>0,∴𝑎+𝑏>0 ， 𝑎𝑏=1 , ∴12𝑎+1