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上传于：2024-07-05
2015年高考文数真题试卷（安徽卷）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设i是虚数单位，则复数（1-i）（1+2i)=（）
A．3+3i B．-1+3i C．3+i D．-1+i
2．设全集∪=1.2.3.4.5.6，𝐴=1.2，𝐵=2.3.4，则𝐴∩𝐶𝑈𝐵=（）
A．{1，2，5，6} B．{1}
C．{2} D．{1，2，3，4，}
3．（2020高二上·农安期末）设p：x<3，q：-10，b<0，c>0，d>0 B．a>0，b<0，c<0，d>0
C．a<0，b<0，c<0，d>0 D．a>0，b>0，c>0，d<0
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卡相应的位置
10．1𝑔52+21𝑔2−12−1= 。
11．在△ABC中，𝐴𝐵=6，∠𝐴=75°，∠𝐵=45°，则AC= 。
12．已知数列𝑎𝑛中，𝑎1=1，𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+12𝑛≥2，则数列𝑎𝑛的前9项和等于 .
13．在平面角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图像只有一个交点，则a的值为 。
14．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量𝑎→，𝑏→满足𝐴𝐵→=2𝑎→，𝐴𝐶→=2𝑎→+𝑏→，则下列结论中正确的是 。（写出所有正确结论得序号）. ①𝑎→为单位向量；②𝑏→为单位向量；③𝑎→⊥𝑏→；④𝑏→//𝐵𝐶→ ；⑤ （4𝑎→+𝑏→）⊥𝐵𝐶→。
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域
15．已知函数𝑓𝑥=sin𝑥+cos𝑥2+cos2𝑥
（1）求𝑓𝑥最小正周期；
（2）求𝑓𝑥在区间0，𝜋2上的最大值和最小值.
16．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为
40.50.50.60⋯80.90.90.100
（Ⅰ）求频率分布图中a的值；
（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（Ⅲ）从评分在
40.60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在
40.50的概率。
四、综合题
17． 已知数列𝑎𝑛是递增的等比数列，且𝑎1+𝑎4=9，𝑎2𝑎3=8，
（1）（Ⅰ）求数列𝑎𝑛的通项公式；
（2）（Ⅱ）设𝑆𝑛为数列𝑎𝑛的前n项和，𝑏𝑛=𝑎𝑛+1𝑆𝑛𝑆𝑛+1，求数列𝑏𝑛的前n项和𝑇𝑛.
18．如图，三棱锥P-ABC中，PA
⊥平面ABC，
𝑃𝐴=1.𝐴𝐵=1.𝐴𝐶=2.∠𝐵𝐴𝐶=60°.
（1）（Ⅰ）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）（Ⅱ）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求𝑃𝑀𝑀𝐶的值.
19．设椭圆E的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1𝑎>𝑏>0,点O为坐标原点，点A的坐标为（a,0）,点B的坐标为（0，b）,点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为510.
（Ⅰ）求E的离心率e;
（Ⅱ）设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.
20．已知函数𝑓𝑥=𝑎𝑥𝑥+𝑟2𝑎>0.𝑟>0，
（1）（Ⅰ）求𝑓𝑥的定义域，并讨论𝑓𝑥的单调性；
（2）（Ⅱ）若𝑎𝑥=400，求𝑓𝑥在0.+∞内的极值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为（1-i）（1+2i）=1+2i-i-21−𝑖1+2𝑖=1+2𝑖−𝑖−2𝑖2=3+𝑖，故选C。
【分析】在应用复数的乘法运算公式时，一定要注意−2𝑖2的运算结果，本题很好的考查了考生的基本运算能力。
2．【答案】B
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】∵𝐶𝑈𝐵=1.5.6，∴𝐴∩𝐶𝑈𝐵=1，∴选B。
【分析】学生在求𝐶𝑈𝐵时，切不可遗漏，造成解答错，本题考查聊考生的基本运算能力。
3．【答案】C
【知识点】充分条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】∵𝑝：𝑥<3，𝑞：−1<𝑥<3，∴𝑞⇒𝑝，但p≠q，∴p是q成立的必要不充分条件，故选C. 【分析】在判断充分、必要条件时，考生一定要作好三个步骤：①𝑝⇒𝑞是否成立；②𝑞⇒𝑝，是否成立；③形成结论，本题考查了考生的逻辑分析能力。
4．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】选项A：y=lnx的定义域为0.+∞故y=lnx不具备奇偶性，故A错误；选项B：𝑦=𝑥2+1是偶函数，但𝑦=𝑥2+1=0无解，即不存在零点，故B错误；选项C：y=sinx是奇函数，故C错；选项D：y=cosx是偶函数，且𝑦=cos𝑥=0⇒𝑥=𝜋2+𝑘𝜋，𝑘∈𝑧，故D项正确。 【分析】在判断函数的奇偶性时，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(x0网与f(-x)的关系；在判断函数零点时，可分两种情况：①函数图象与X轴是否有交点；②令f(x)＝0是否有解；本题考查考生的综合分析能力。
5．【答案】A
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】根据题意做出约束条件确定的可行域，如下图：
令z=-2x+y ⇒y=-2x-z，可知在途中A（1，1）处，z=-2x+y取到最大值-1，故选A。
【分析】在解决简单的线性规划问题时，考生作图和确定可行域一定要细心，本题考查了考生的数形结合能力和基本运算能力。
6．【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】执行第一次循环体：𝑎=33,𝑛=2,此时|a-1.414|=|1.5-1.414|=0.086≥0.005；执行第二次循环体；𝑎=75,𝑛=3，此时|a-1.414|=|1.4-1.414|=0.014≥0.005；执行第三次循环体：𝑎=1712,𝑛=4，此时|a-1.414|＜0.005，此时不满足，判断条件，输出n=4，故选B： 【分析】考生在解决程序框图以及循环结构时，首先要明确循环的条件，其次在计算的过程中要细心本题还考查了考生的计算能力。
7．【答案】D
【知识点】待定系数法求直线方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】∵直线3x+4y=b与圆心为（1，1），半径为1的圆相切，∴|3+4−𝑏|32+42=1⇒𝑏=2或12，故选D。 【分析】在解决直线与圆的位置关系问题时，有两种方法；方法一是代数法：将直线方程与圆的方程联立，消元，得到关于x（或y）的一元二次方程，通过判断△＞0；△=0；△＜0来确定直线与圆的位置关系；方法二是几何法：主要是利用圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，然后再将d与圆的半径r进行判断，若d＞r则相离；若d＝r则相切；若d＜r则相交；本题考查考生的综合分析能力和运算能力.
8．【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如下图所示：
其中侧面PAC⊥底面ABC，且 △PAC≌ △ABC，由三视图中所给数据可知：PA=PC=AB=BC= 2，取AC中点O，连接PO，PB，则Rt △POB中，PO=BO=1 ⇒PB= 2，∴𝑆=2·34·2+12·2·2=2+3，故选C。 【分析】在利用空间几何体的三视图求几何体的体积或者表面积时，一定要正确还原几何体的直观图然后再利用体积或表面积公式求之；本题主要考查了考生的空间想象力和基本运算能力。
9．【答案】A
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】由函数f(x)的图象可知a＞0，令𝑥=0⇒𝑑=0，又𝑓'(𝑥)=3𝑎𝑥2+2𝑏𝑥+𝑐，可知𝑥1，𝑥2是𝑓'𝑥=0的两根，由图可知𝑥1>0，𝑥2>0，∴𝑥1+𝑥2=−2𝑏3𝑎>0𝑥1𝑥2=𝑐3𝑎>0⇒𝑏<0𝑐<0，故A正确。 【分析】本题主要是考查考生利用函数图象研究函数的性质，在研究函数的性质时要结合函数的单调性、奇偶性、零点、以及极值等函数的特征去研究，本题考查了考生的数形结合能力。
10．【答案】-1
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】原式=1g5-1g2+21g-2=1g5-2=1-2=-1. 【分析】本题主要考查考生的基本运算能力，熟练掌握对数运算公式和指数幂运算公式是解决本题的关键。
11．【答案】2
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】由正玄定理可知：𝐴𝐵sin180°−75°+45°=𝐴𝐶sin45°⇒6sin60°=𝐴𝐶sin45°⇒𝐴𝐶=2。
【分析】熟练掌握正玄定理的使用条件是解决本题的关键，本题考查了考生的运算能力。
12．【答案】27
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵：𝑛≥2，𝑎𝑛=𝑎𝑛−1=12，且𝑎2=𝑎1+12，
∴𝑎𝑛是以𝑎1为首项，12为公差的等差数列，∴𝑆9=9×19×82×12=9+18=27。
【分析】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键，这需要考生平时多加积累，同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用，考查了考生的基本运算能力。
13．【答案】−12
【知识点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】在同一直角坐标系内，作出y=2a与y=|x-a|-1的大致图像，如下图：
由题意，可知
2𝑎=−1⇒𝑎=−12.
【分析】本题根据题意作出函数y=|x-a|-1的大致图像是结局本题的关键，本题主要考查学生的数形结合的能力。
14．【答案】①，④，⑤
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】∵等边三角形△ABC的边长为2，𝐴𝐵→=2𝑎→，∴|𝐴𝐵→|=2𝑎→=2⇒|𝑎→|=1，故①正确；
∵𝐴𝐶→=𝐴𝐵→+𝐵𝐶→=2𝑎→+𝐵𝐶→，∴𝐵𝐶→=𝑏→⇒|𝑏→|=2，故②错误，④正确；由于𝐴𝐵·=2𝑎，·𝐵𝐶·=𝑏·⇒𝑎·与𝑏·夹角为120°，故③错误；又∵4𝑎→+𝑏→·𝐵𝐶→=4𝑎→+𝑏→·𝑏→=4𝑎→·𝑏→+|𝑏→|2=4×1×2×−12+4=0，∴4𝑎·+𝑏·⊥𝐵𝐶·，故⑤ 正确。因此，正确编号是①，④，⑤。
【分析】熟练掌握平面向量的单位向量、共线（平行、垂直、平面向量的加法等基本概念和基本性质是解决本题的关键之所在，同时本题考查了考⑤生的综合分析问题的能力以及数形结合的能力。
15．【答案】（1）解∵𝑓𝑥=sin𝑥+cos𝑥2+cos2𝑥=𝑓𝑥=sin2𝑥+cos2𝑥+2sin𝑥cos𝑥+cos2𝑥=1+sin2𝑥+cos2𝑥=2sin2𝑥+𝜋4+1,所以函数𝑓𝑥的最小正周期为：𝑇=2𝜋2=𝜋。
（2）解：由（I）得计算结果，𝑓𝑥＝2sin2𝑥+𝜋4+1当𝑥∈0，𝜋2时,2𝑥+𝜋4∈𝜋4，5𝜋4由正弦函数𝑦=sin𝑥在𝜋4，5𝜋4上的图象知，当2𝑥+𝜋4=𝜋2,即𝑥=𝜋8时，𝑓𝑥取最大值2+1；当2𝑥+𝜋4=5𝜋4，即𝑥=𝜋4时，𝑓𝑥取最小值0。
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】熟练掌握三角函数的同角的基本关系和恒等变换公式以及三角函数𝑦=𝐴sin𝜔𝑥+𝜑+𝐵的性质是解决本题的关键，考查了考生的基本运算能力，
16．【答案】答案：（I）0.006；（II）0.4；（III）110.
【知识点】频率分布直方图；