1965年全国统一高考数学试卷

1965年全国统一高考数学试卷 　 一、解答题（共8小题，满分100分） 1．（14分）如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积．
　 2．（14分）在A处的甲船测得乙船在北偏西49°48′的B处，以速度22里/小时向正北方向行驶，甲船立即从A处出发，以速度26里/小时向北偏西α度的方向沿直线驶去追赶乙船，问α是多大角度时，经过一段时间甲船能够在某C处恰好与乙船相遇？（lg2.2=0.3424，lg2.6=0.4150）
　 3．（14分）把地球看作半径为R的球，设A、B两地纬度相同，都是α度，它们的经度相差β度（0＜β≤180°），求A、B两地之间的球面距离． 　 4．（14分）（1）证明|sin2x|≤2|sinx|；（x为任意值） （2）已知n为任意正整数，用数学归纳法证明|sinnx|≤n|sinx|．（x为任意值） 　 5．（14分）已知一点P的坐标是（4，﹣2），直线L的方程是y﹣x+5=0，曲线C的方程是
，求经过P点而与L垂直的直线和曲线C的交点的坐标． 　 6．（14分）当P是什么实数时，方程x2+px﹣3=0与方程x2﹣4x﹣（p﹣1）=0有一公共根？ 　 7．（16分）已知抛物线y2=2x． （1）在抛物线上任取二点P1（x1，y1），P2（x2，y2），经过线段P1P2的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点P3，证明△P1P2P3的面积为
； （2）经过线段P1P3、P2P3的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于Q1、Q2，试将△P1P3Q1与△P2P3Q2的面积和用y1，y2表示出来； （3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一系列的三角形，由此设法求出线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积．
　 8．（1）已知a，b，c为实数，证明a，b，c均为正整数的充要条件是
； （2）已知方程x3+px2+qx+r=0的三根α，β，γ都是实数，证明α，β，γ是一个三角形的三边的充要条件是
． 　  1965年全国统一高考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、解答题（共8小题，满分100分） 1．（14分）如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积．
考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题． 分析： 由题可知图表示的是一个正六棱锥，根据其体积公式求解即可． 解答： 解：二视图表示的是一个正六棱锥， 其棱长为2a． 底面边长为a， 故底面积
， 棱锥的高
， 故正六棱锥的体积，
， =
． 点评： 本题考查学生的空间想象能力，是基础题． 　 2．（14分）在A处的甲船测得乙船在北偏西49°48′的B处，以速度22里/小时向正北方向行驶，甲船立即从A处出发，以速度26里/小时向北偏西α度的方向沿直线驶去追赶乙船，问α是多大角度时，经过一段时间甲船能够在某C处恰好与乙船相遇？（lg2.2=0.3424，lg2.6=0.4150）
考点： 解三角形的实际应用． 专题： 应用题． 分析： 先设经过x小时后甲船在C处追上以船，则根据题意可知BC=22x，AC=26x进而根据正弦定理得
，两边取对数，求得α 解答： 解：设经过x小时后， 甲船在C处追上以船， 则BC=22x（里） AC=26x（里） 由正弦定理
， 即
∴
， 取对数得lgsin（49°48′﹣α）=lg22+lgsin49°48′
， 49°48′﹣α=40°15′， ∴α=49°48′﹣40°15′=9°33′． 点评： 本题主要考查了正弦定理在实际中的应用．属基础题． 　 3．（14分）把地球看作半径为R的球，设A、B两地纬度相同，都是α度，它们的经度相差β度（0＜β≤180°），求A、B两地之间的球面距离． 考点： 球面距离及相关计算． 专题： 计算题；综合题． 分析： 画出图形，由于A、B两地纬度相同，都是α度，先求纬圆半径，通过经度相差β度，解出AB距离，求出AB的球心角，然后求其球面距离． 解答： 解：A、B两地之间的球面距离为过A、B所作之大圆的圆弧AB的长， 设其长为L，且设∠AOB=θ 过A、B作平面O1AB⊥NS（极轴）， 此平面与球面交成圆O1． 设其半径为r，由已知，∠AO1B=β． 设C、D分别为赤道平面上与点A、B同经度之两点， 则由已知，∠AOC=∠BOD=α． 在过A、B的大圆上有
由此可知，只需求出θ即可． 在圆O1中，线段AB=
， 又在过A、C的大圆中，因为∠OO1A=90°， ∠OAO1=α，所以r=Rcosα 代入上式，可得线段AB=
在△AOB中，线段AB=
， 于是可得
=
， 所以
由此可得A、B两地之间的球面距离为
此处之角度以度为单位．
点评： 本题考查球面距离，经度不同纬度相同的一般问题，具体规律性，是中档题，好题． 　 4．（14分）（1）证明|sin2x|≤2|sinx|；（x为任意值） （2）已知n为任意正整数，用数学归纳法证明|sinnx|≤n|sinx|．（x为任意值） 考点： 数学归纳法． 专题： 证明题． 分析： （1）先利用三角函数的二倍角公式，再结合三角函数的有界性即可证明； （2）用数学归纳法证明三角问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设假设当n=k时结论成立，利用此假设结合三角函数的和角公式以及三角函数值的有界性，证明当n=k+1时，结论也成立即可． 解答： 证：（1）|sin2x|=|2sinx•cosx|=2|sinx|•|cosx|． ∵|cosx|≤1， ∴|sin2x|≤2|sinx|； （2）当n=1时，结论显然成立． 假设当n=k时结论成立， 即|sinkx|≤k|sinx|． 当n=k+1时， |sin（k+1）x| =|sinkx•cosx+coskx•sinx|≤|sinkx•cosx|+|coskx•sinx| =|sinkx|•|cosx|+|coskx|•|sinx|≤k|sinx|+|sinx| =（k+1）|sinx|． 故当n为任意正整数时，结论均成立． 点评： 本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式 设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n0）成立（奠基） 2°假设P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n0的自然数n都成立 　 5．（14分）已知一点P的坐标是（4，﹣2），直线L的方程是y﹣x+5=0，曲线C的方程是
，求经过P点而与L垂直的直线和曲线C的交点的坐标． 考点： 椭圆的应用． 专题： 计算题． 分析： 曲线C是椭圆，中心在（﹣1，1），其长轴平行于y轴，短轴平行于x轴．设直线L1过点P（4，﹣2）且垂直于直线L与曲线C相交于点A、B．L1的方程为y+2=﹣（x﹣4），解方程组
，可得到直线L1与曲线C的交点． 解答： 解：曲线C是椭圆，中心在（﹣1，1）， 其长轴平行于y轴，短轴平行于x轴 设直线L1过点P（4，﹣2）且垂直于直线L与曲线C相交于点A、B． L1的方程为y+2=﹣（x﹣4）即y=﹣x+2． 欲求L1与曲线C的交点， 解方程组
得

故直线L1与曲线C的交点为A（
，
），B（﹣1，3）． 点评： 本题考查椭圆的方程、性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用． 　 6．（14分）当P是什么实数时，方程x2+px﹣3=0与方程x2﹣4x﹣（p﹣1）=0有一公共根？ 考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系． 专题： 计算题． 分析： 先设α是它们的公共根，代入题中的两个方程消去α2，得到α和p的关系式，再代入任意一个方程解出p以及α即可． 解答： 解：设α是它们的公共根， 则
由（1），（2）消去α2， 得（p+4）α﹣（4﹣P）=0，
将（3）代入（1）， 得
， 整理后，得到p3+2p2+16p+32=0， （p+2）（p2+16）=0， ∵p2+16≠0， ∴p=﹣2代入（3）， 得
． 故当p=﹣2时， 方程x2+px﹣3=0与方程x2﹣4x﹣（p﹣1）=0有一公共根3． 点评： 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系．当两个方程有公共根时，这个公共根让这两个方程同时成立，代入可得关于公共根的两个等式．再利用这两个等式解题即可． 　 7．（16分）已知抛物线y2=2x． （1）在抛物线上任取二点P1（x1，y1），P2（x2，y2），经过线段P1P2的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点P3，证明△P1P2P3的面积为
； （2）经过线段P1P3、P2P3的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于Q1、Q2，试将△P1P3Q1与△P2P3Q2的面积和用y1，y2表示出来； （3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一系列的三角形，由此设法求出线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积．
考点： 抛物线的应用． 专题： 综合题．