1981年全国统一高考数学试卷(文科)

1981年全国统一高考数学试卷（文科） 　 一、解答题（共9小题，满分100分） 1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B． 　 2．（8分）（1981•北京）化简：
． 　 3．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果． 　 4．（10分）（1981•北京）求函数f（x）=sinx+cosx在区间（﹣π，π）上的最大值． 　 5．（10分）（1981•北京）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明．
　 6．（10分）（1981•北京）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，﹣1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标． 　 7．（17分）设1980年底我国人口以10亿计算． （1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？ （2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？
　 8．（15分）（1981•北京）ABCD﹣A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：截面ACB1⊥对角面DBB1D1．
　 9．（18分）（1981•北京）（1）设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为
，求k的值． （2）以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形，当这三角形的面积为9时，求P的坐标．
　 1981年全国统一高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 　 一、解答题（共9小题，满分100分） 1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B． 考点： 交集及其运算；并集及其运算． 分析： 根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B，又由有理数、无理数的定义，可得A∩B． 解答： 解：（1）根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B=R， （2）有理数、无理数的定义，没有一个数既是有理数又是无理数， 则A∩B=Φ． 点评： 本题结合实数的分类与有理数、无理数的关系，考查集合间的交集、并集的运算，是概念类型的试题，难度较小． 　 2．（8分）（1981•北京）化简：
． 考点： 方根与根式及根式的化简运算． 专题： 计算题． 分析： 利用指数幂的运算法则，把原式转化为
，由此能求出其结果． 解答： 解：原式=
=
=
． 点评： 本题考查指数幂的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用． 　 3．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果． 考点： 组合及组合数公式；排列及排列数公式． 专题： 计算题；阅读型． 分析： （1）由题意知本题是一个从四个元素中选两个元素的问题，只要用排列数表示出来即可，列举时注意可以按照一定的顺序进行，比如先写出包含A的，再写包含B的去掉重复的． （2）本题和前一个问题是有一定的区别的，上一问选正、副班长各一人包括选出来，安排谁当什么，而本题只是选出三个人即可，与顺序无关． 解答： 解：（1）选举种数A42=12（种）所有可能的选举结果： AB、AC、AD、BC、BD、CD、 BA、CA、DA、CB、DB、DC． （2）选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD． 点评： 排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素． 　 4．（10分）（1981•北京）求函数f（x）=sinx+cosx在区间（﹣π，π）上的最大值． 考点： 三角函数的最值． 专题： 计算题． 分析： 把函数f（x）的解析式提取
，然后利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用周期公式T=
求出函数的周期，得到（﹣π，π）为函数的一个周期，根据正弦函数的最大值为1得到f（x）的最大值即可． 解答： 解：f（x）=
（sinxcos
+cosxsin
）=
， 所以f（x）以
为振幅，以2π为周期，区间（﹣π，π）恰好是f（x）的一个周期的定义区间， 故f（x）在区间上取得最大值
． 点评： 考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值，会求正弦函数的周期和最大值． 　 5．（10分）（1981•北京）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明．
考点： 正弦定理． 专题： 证明题． 分析： 先写出正弦定理，然后证明．先分别作BC、AC边上的高线，根据三角形的面积公式分别表示出以BC、AC、AB为底边的面积，然后根据同一个三角形的面积相等得到等式
，最后同时除以
可得证． 解答： 解：
． 证：引AD垂直BC于D；引BE垂直CA的延长线于E． 设△ABC的面积为S，则
=
；

∴
， 将上式除以
，得：
． 点评： 本题主要考查正弦定理的证明．属基础题． 　 6．（10分）（1981•北京）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，﹣1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标． 考点： 直线和圆的方程的应用；中点坐标公式． 专题： 计算题． 分析： 本题可利用正方形在平面坐标系中中心的性质，对角线的斜率乘积为﹣1，进行解题，联立方程，求解即可． 解答： 解：设AC中点为M（x，y），则有
，∴M（x，y）=M（1，2）． 又设AC斜率为k，则k=3，因此得BD的斜率为
． 故有直线BD的方程：
， 又以M点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=10 （2） 解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（﹣2，3）． （注：用复数法解亦可） 点评： 本题考查学生对于直线和坐标系的运用，及直线垂直，中点的关系等，是中档题． 　 7．（17分）设1980年底我国人口以10亿计算． （1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？ （2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？
考点： 数列的应用． 专题： 应用题． 分析： （1）由题意知所求人口数x（亿）x=10×（1.02）20，两边取对数可的答案． （2）设人口每年