1962年全国统一高考数学试卷

1962年全国统一高考数学试卷 　 一、解答题（共10小题，共100分） 1．（10分）某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%） 　 2．（10分）求（1﹣2i）5的实部． 　 3．（10分）解方程lg（x﹣5）+lg（x+3）﹣2lg2=lg（2x﹣9）． 　 4．（10分）求
的值． 　 5．（10分）如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠BAC=　_________　度．
　 6．（10分）解方程组
并讨论a取哪些实数时，方程组 （1）有不同的两实数解； （2）有相同的两实数解； （3）没有实数解． 　 7．（10分）已知D为△ABC内的一点，AB=AC=1，∠BAC=63°，∠BAD=33°，∠ABD=27°，求DC（精确到小数点后两位，sin27°=0.4540）．
　 8．（10分）已知ABCD，A'B'C'D'都是正方形（如图），而A'、B'、C'、D'分别把AB、BC、CD、DA分为m：n，设AB=1． （1）求A'B'C'D'的面积； （2）求证A'B'C'D'的面积不小于
．
　 9．（10分）由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作这正方体的对角线A1C的垂线，垂足为E，证明A1E：EC=1：2．
　 10．（10分）求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内． 　  1962年全国统一高考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、解答题（共10小题，共100分） 1．（10分）某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%） 考点： 函数模型的选择与应用． 专题： 应用题． 分析： 先设平均每年增长x%，则得（1+x%）2=1+21%，求得x的值，再计算第一年的产量是第三年的产量的百分之几即得结果． 解答： 解：设平均每年增长x%， 则得（1+x%）2=1+21%，x=10． 又
， 故该工厂平均每年比上一年增长10%，第一年的产量是第三年的产量的83%． 点评： 本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型． 　 2．（10分）求（1﹣2i）5的实部． 考点： 复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义． 分析： 因为所给的代数式次数比较高，所以题目不会让我们直接展开运算，要用二项式定理来整理，又有i的特点知它的偶次方为实数，得到结果． 解答： 解：∵（1﹣2i）5的实部是由包含i的零次方及包含i的偶次方的各项所组成， 由二项式定理知 所求之实部为C50+C52（﹣2i）2+C54（﹣2i）4=41． 点评： 复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目． 　 3．（10分）解方程lg（x﹣5）+lg（x+3）﹣2lg2=lg（2x﹣9）． 考点： 对数的运算性质． 分析： 先根据对数运算性质求出x，再根据对数的真数一定大于0检验即可． 解答： 解：
，
， x2﹣10x+21=0， x=3，x=7． 当x=3时，使x﹣5＜0，2x﹣9＜0无意义， 故不是原方程的解，原方程的解为x=7． 点评： 本题主要考查对数的运算性质和对数函数的定义域问题．属基础题． 　 4．（10分）求
的值． 考点： 反三角函数的运用；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 计算题． 分析： 根据题意，设arcsin
=α，可得α的范围，由反三角函数的定义，可得sinα=
，根据同角三角函数的基本关系，可得cosα=
；而sin（2arcsin
）=sin2α，由二倍角公式，计算可得答案． 解答： 解：设arcsin
=α，（0°＜α＜90°）， 则sinα=
，根据同角三角函数的基本关系，可得cosα=
； 则sin（2arcsin
）=sin2α=2sinαcosα=
． 点评： 本题考查反三角函数的运用，这类题目的易错点是反三角函数的范围，应特别注意． 　 5．（10分）如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠BAC=　20　度．
考点： 圆的切线的性质定理的证明． 专题： 计算题． 分析： 由三角形内切定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线．利用内角和定理先求得∠OBC+∠OCB=80°，所以可知∠OBC+∠OCB=
（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入此关系式即可求得∠BAC的值． 解答： 解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB=180°﹣100°=80°，而∠OBC+∠OCB=
（∠ABC+∠ACB）=80°， ∴∠ABC+∠ACB=160°， ∴∠BAC=180°﹣160°=20°． 故答案为20． 点评： 本题通过三角形内切圆，考查切线的性质．属于基础题． 　 6．（10分）解方程组
并讨论a取哪些实数时，方程组 （1）有不同的两实数解； （2）有相同的两实数解； （3）没有实数解． 考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系． 专题： 综合题． 分析： （1）将第二个方程代入第一个方程得到关于y的二次方程，利用二次方程的求根公式求出两个根，将求出的根代入第二个方程求出方程组的解． （2）由（1）当通过代入消元得到的二次方程有两个不等实根即判别式大于0时，方程组有两个实数解；当判别式等于0时，方程组有相等的两实数解； （3）当判别式小于0时，方程组无解． 解答： 解：由②得x=y﹣a③ 将③代入①得y2﹣4（（y﹣a）﹣2y+1=0， y2﹣6y（4a+1）=0，
，
． 即方程组的解为

即：（1）当2﹣a＞0，即a＜2时，方程组有不同的两实数解； （2）当2﹣a=0，即a=2时，方程组有相同的两实数解； （3）当2﹣a＜0，即a＞2时，方程组没有实数解． 点评： 本题考查代入消元求方程组组的解的方法、考查将方程组的解的问题转化为二次方程解的问题． 　 7．（10分）已知D为△ABC内的一点，AB=AC=1，∠BAC=63°，∠BAD=33°，∠ABD=27°，求DC（精确到小数点后两位，sin27°=0.4540）．
考点： 正弦定理；余弦定理． 专题： 计算题． 分析： 结合题意，在△ADC中，若AD可求，则DC可求，而AD可在△ABD中利用正弦定理求得． 解答： 解：∠ADB=180°﹣（33°+27°）=120°， 根据正弦定理，得
， 又∠CAD=63°﹣33°=30°， 由余弦定理可得 DC2=AD2+