1958年全国统一高考数学试卷

1958年全国统一高考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、解答题（共9小题，共100分） 1．求二项式（1+2x）5展开式中x3的系数． 考点： 二项式定理。 专题： 计算题。 分析： 利用二项展开式的通项公式求出第r=1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数． 解答： 解：设求的项为Tr+1=C5r（2x）r=C5r2rxr今r=3， ∴T4=C5323x3=80x3． 故答案为80x3 点评： 本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 2．求证：cosx
． 考点： 三角函数恒等式的证明。 专题： 证明题。 分析： 首先观察等式的两边可联想到要用三角函数倍角公式sin2x=2sinxcosx，然后把题中右边的sin8x一步步转化，即可得到左边． 解答： 证明：由倍角公式sin2x=2sinxcosx， 故sin8x=2sin4xcos4x=4sin2xcos2xcos4x=8sinxcosxcos2xcos4x， 所以
=cosx•cos2x•cos4x， 故
得证． 点评： 此题主要考查三角函数恒等式的证明问题，和对倍角公式sin2x=2sinxcosx的记忆和应用，在做此类题的时候要注意分析等式两边的形式再求证． 3．如图，已知AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，切线BF交AD的延长线于F，若AB=10，CD=8，则切线BF的长是 　5　．
考点： 与圆有关的比例线段。 专题： 计算题。 分析： 根据题意，易证△ABF∽△AED，利用对应边成比例关系即可求解． 解答： 解：连接OD， AB⊥CD于E，根据垂径定理得到DE=4， 在直角△ODE中，根据勾股定理得到OE=3，因而AE=8， 易证△ABF∽△AED，得到
=
=
， 解得BF=5． 故答案为：5．
点评： 本题考查的与圆有关的比例线段．本题运用了切线的性质定理，垂径定理，得到三角形相似，从而根据相似三角形的对应边的比相等求解． 4．求证：正四面体ABCD中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．
考点： 棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系。 专题： 证明题。 分析： 因为ABCD是正四面体，各个面都是等边三角形，取BC的中点E，则有AE⊥BC，DE⊥BC，从而有BC⊥平面AED，易得结论． 解答： 证明：因为ABCD是正四面体， 各个面都是等边三角形， 取BC的中点E ∴AE⊥BC，DE⊥BC ∴BC⊥平面AED， 而AD⊂平面AED， ∴BC⊥AD， 同理可证AB⊥DC，AC⊥DB． 点评： 本题主要考查正四面体的结构特征，主要涉及了线线垂直，线面垂直的转化，属中档题． 5．求解sinx=
． 考点： 弦切互化。 专题： 计算题。 分析： 根据齐次式的运算法则，求出tanx，然后求出结果． 解答： 解：∵
， ∴
，
．（k为整数） 所以方程的解集为：
点评： 本题考查弦切互化，考查计算能力，是基础题． 6．如图，已知AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，切线BF交AD的延长线于F，若AB=10，CD=8，则切线BF的长是　5　．
考点： 圆的切线的性质定理的证明。 专题： 计算题。 分析： 根据题意，易证△ABF∽△AED，利用对应边成比例关系即可求解． 解答： 解：连接OD， AB⊥CD于E，根据垂径定理得到DE=4， 在直角△ODE中，根据勾股定理得到OE=3，因而AE=8， 易证△ABF∽△AED，得到
=
=
， 解得BF=5． 故填：5．
点评： 本题运用了切线的性质定理，垂径定理，得到三角形相似，从而根据相似三角形的对应边的比相等求解． 7．设有二同心圆，半径为R，r（R＞r），今由圆心O作半径交大圆于A，交小圆于A'，由A作直线AD垂直大圆的直径BC，并交BC于D；由A'作直线A'E垂直AD，并交AD于E，已知∠OAD=α，求OE的长．
考点： 与圆有关的比例线段。 专题： 计算题。 分析： 欲求OE的长，将其放在直角三角形ODE中，就是要求OD和DE的长，其中DE=AD﹣AE，故先求出AD和AE，它们都可以在直角三角形中解得． 解答： 解：在直角△OAD中，有 OD=Rsinα，AD=Rcosα ∵在直角△A'AE中，有 AE=（R﹣r）cosα ∴DE=AD﹣AE =Rcosα﹣（R﹣r）cosα=rcosα． ∴OE=
． 故所求OE的长为：
． 点评： 此题中要通过计算直角三角形中的边角关系求解．根据直角三角形的性质进行