押题密卷03（九省联考模式）-2024届高考数学（含解析）.doc

 【本试卷共19小题，满分150分。考试用时120分钟】  注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2024•邵阳模拟）一组数据：11，30，31，25，20，32，41的第30百分位数为（　　） A．30 B．31 C．25 D．20 2．（2024•长春模拟）经过A（1，1），B（﹣1，1），C（0，2）三个点的圆的方程为（　　） A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝1 3．（2024•绵阳模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝1，S4＝3S3+1，则a3＝（　　） A．18 B．14 C．9 D．27 4．（2024•蚌埠模拟）已知双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)，直线y＝﹣2x是双曲线C的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（　　） A．54 B．53 C．52 D．5 5．（2024•晋城二模）已知圆锥的侧面积为12π，它的侧面展开图是圆心角为2𝜋3的扇形，则此圆锥的体积为（　　） A．62𝜋 B．162𝜋3 C．63𝜋 D．163𝜋3 6．（2024•丰台区二模）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　） A．𝑓(𝑥)=1|𝑥| B．f（x）＝2x+2﹣x C．f（x）＝sinx D．f（x）＝tanx 7．（2024•厦门模拟）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（　　） A．120 B．210 C．211 D．216 8．（2024•黔南州二模）已知椭圆𝐸：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎＞𝑏＞0)的左焦点为F，过焦点F作圆x2+y2＝b2的一条切线l交椭圆E的一个交点为A，切点为Q，且𝑂𝐴→+𝑂𝐹→=2𝑂𝑄→（O为坐标原点），则椭圆E的离心率为（　　） A．53 B．33 C．63 D．32 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2024•南宁模拟）若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（　　）
A．M＝{0，2，4，6}，N＝{4} B．M＝{x|x2＜1}，N＝{x|x＞﹣1} C．𝑀={𝑥|𝑦=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥}，𝑁={𝑦|𝑦=𝑒𝑥+1𝑒𝑥} D．M＝{（x，y）|x2＝y2}，N＝{（x，y）|y＝x} 10．（2024•河南模拟）函数f（x）是定义域为R的非常值函数，且f（2x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，函数y＝f（x﹣1）关于直线x＝3对称，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）为奇函数 B．f（x+4）＝f（x） C．f（4+x）＝f（﹣x） D．f（1﹣x）＝﹣f（x） 11．（2024•益阳模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sinA：sinB：sinC＝2：3：4，则下列结论中正确的是（　　） A．（a+b）：（b+c）：（c+a）＝5：6：8 B．△ABC为钝角三角形 C．若a+b+c＝18．则△ABC的面积是615 D．若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R＝16r 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．（2024•广州二模）已知复数𝑧=2𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃1+𝑖(𝜃∈𝑅)的实部为0，则tan2θ＝　 　． 13．（2024•大连一模）在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把△AEB，△AFD和△EFC折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P﹣AEF，如图2所示，则三棱锥P﹣AEF外接球的表面积是　 　；过点M的平面截三棱锥P﹣AEF外接球所得截面的面积的取值范围是　 　．
14．（2024•宝山区二模）某区域的地形大致如图1，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位O的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描． 假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地A1AnBnB1； 假设2：视探照灯为点M，且距离地面20米； 假设3：探照灯M照射在地面上的光斑是椭圆． 当探照灯M以某一俯角从AkAk+1侧扫描到BkBk+1侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环Sk（k＝1，2，3，…）．由此，通过调整M的俯角，逐次扫描形成扇环S1、S2、S3…． 第一次扫描时，光斑的长轴为EF，|OE|＝30米，此时在探照灯M处测得点F的俯角为30°（如图2）．记|AkAk+1|＝dk，经测量知|A1An|＝80米，且{dk}是公差约为0.1米的等差数列，则至少需要经过 　 　次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（2024•江苏模拟）甲、乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分．已知甲在每局中获胜、平局、负的概率均为13，且各局比赛结果相互独立． （1）若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率； （2）规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望． 16．（15分）（2024•陕西模拟）已知函数f（x）＝xlnx+ax． （1）讨论函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性； （2）当a＝﹣3时，证明：f（x）≥﹣x2﹣2． 17．（15分）（2024•南宁模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，𝐴𝐵=2𝑃𝐴=2𝑃𝐵=2，𝐸是CD中点． （1）证明：平面PBC⊥平面PAE． （2）求二面角D﹣AP﹣E的余弦值．
18．（17分）（2024•拉萨二模）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的两点A，B的横坐标分别为−4，8，|𝐴𝐵|=65． （1）求抛物线C的方程； （2）若过点Q（0，8）的直线l与抛物线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由． 19．（17分）（2024•西山区模拟）我们把a0+a1x+a2x2+…+anxn＝0（其中an≠0，n∈N*）称为一元n次多项式方程． 代数基本定理：任何复系数一元n（n∈N*）次多项式方程（即a0，a1，a2，…，an为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元n（n∈N*）次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）． 那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元n（n∈N*）次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积． 即𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+⋯+𝑎𝑛𝑥𝑛=𝑎𝑛(𝑥−𝛼1)𝑘1(𝑥−𝛼2)𝑘2⋯(𝑥−𝛼𝑚)𝑘𝑚，其中k，m∈N*，k1+k2+…+km＝n，α1，α2，…，αm为方程a0+a1x+a2x2+…+anxn＝0的根． 进一步可以推出：在实系数范围内（即a0，a1，a2，…，an为实数），方程a0+a1x+a2x2+…+anxn＝0的有实数根，则多项式a0+a1x+a2x2+…+anxn必可分解因式．例如：观察可知，x＝1是方程x3﹣1＝0的一个根，则（x﹣1）一定是多项式x3﹣1的一个因式，即x3﹣1＝（x﹣1）（ax2+bx+c），由待定系数法可知，a＝b＝c＝1． （1）解方程：x3﹣2x+1＝0； （2）设f（x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3，其中a0，a1，a2，a3∈R+，且a0+a1+a2+a3＝1． （i）分解因式：x﹣（a0+a1x+a2x2+a3x3）； （ii）记点P（x0，y0）是y＝f（x）的图象与直线y＝x在第一象限内离原点最近的交点．求证：当a1+2a2+3a3≤1时，x0＝1．   一．选择题（共8小题） 1．【答案】C 【解答】解：将这组数据从小到大排序为：11，20，25，30，31，32，41， 因为7×30%＝2.1，所以这组数据的第30百分位数为25． 故选：C． 2．【答案】C 【解答】解：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0， 则1+1+𝐷+𝐸+𝐹=01+1−𝐷+𝐸+𝐹=04+2𝐸+𝐹=0，解得𝐷=0𝐸=−2𝐹=0， 则圆的一般方程为x2+y2﹣2y＝0，即x2+（y﹣1）2＝1． 故选：C． 3．【答案】C 【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q， 若a1＝1，S4＝3S3+1，则有1+q+q2+q3＝3（1+q+q2）+1， 变形可得q（1+q+q2）＝3（1+q+q2），而1+q+q2≠0，则q＝3， 故a3＝a1q2＝1×9＝9． 故选：C． 4．【答案】D 【解答】解：∵直线y＝﹣2x是双曲线C的一条渐近线， ∴𝑏𝑎=2，又c2＝a2+b2，所以𝑒=𝑐𝑎=1+(𝑏𝑎)2=5． 故选：D． 5．【答案】B 【解答】解：根据题意，设圆锥的底面半径为r，母线长为l， 圆锥的侧面积为12π，它的侧面展开图是圆心角为2𝜋3的扇形， 则有πrl＝12π，2𝜋𝑟𝑙=2𝜋3，解得r＝2，l＝6， 所以此圆锥的高ℎ=𝑙2−𝑟2=42， 所以此圆锥的体积𝑉=13𝜋×22×42=162𝜋3． 故选：B． 6．【答案】B 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，f（x）=1|𝑥|=1𝑥，𝑥＞0−1𝑥，𝑥＜0，则f（x）为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，A错误； 对于B，f（x）＝2x+2﹣x，其定义域为R，有f（﹣x）＝2x+2﹣x＝f（x），f（x）为偶函数，设t＝2x，y＝2t+2﹣t，当x＞0时，有t＞1，t＝2x在（0，+∞）上递增，y＝2t+2﹣t在（1，+∞）上递增,则f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意； 对于C，f（x）＝sinx是正弦函数，在（0，+∞）上不具有单调性，不符合题意； 对于D，f（x）＝tanx是正切函数，在（0，+∞）上不具有单调性，不符合题意． 故选：B． 7．【答案】D 【解答】解：由题意分三种情况： 第一种情况是3人各站一个台阶，有𝐴63种； 第二种情况是2人站一个台阶，另1人站另一个台阶，有𝐶32⋅𝐴62种， 第三种情况是3人站一个台阶，有𝐶33⋅𝐴61种， 所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是𝐴63+𝐶32⋅𝐴62+𝐶33⋅𝐴61=216种． 故选：D． 8．【答案】A 【解答】解：设切点Q（x0，y0），不妨取y0＞0．切线l的方程为x0x+y0y＝b2， 把F（﹣c，0）代入可得﹣cx0＝b2，解得x0=−𝑏2𝑐，∴y0=𝑏2−(−𝑏2𝑐)2=𝑏𝑐2−𝑏2𝑐， ∵𝑂𝐴→+𝑂𝐹→=2𝑂𝑄→，∴A（c﹣2×𝑏2𝑐，2×𝑏𝑐2−𝑏2𝑐）， 代入椭圆方程可得：b2(𝑐−2𝑏2𝑐)2+a2(2𝑏𝑐2−𝑏2𝑐)2=a2b2，化为𝑐2𝑎2=59， ∴e=𝑐𝑎=53． 故选：A． 二．多选题（共3小题） 9．【答案】ACD 【解答】解：由题中韦恩图可得N⊆M， 对于A，M＝{0，2，4，6}，N＝{4}，N⊆M，故A正确； 对于B，M＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|x＞﹣1}，M⊆N，故B错误； 对于C，M＝{x|y＝logax}＝{x|x＞0}，N＝{y|y=𝑒𝑥+1𝑒𝑥≥2𝑒𝑥⋅1𝑒𝑥=2}，N⊆M，故C正确； 对于D，M＝{（x，y）|x2＝y2}＝{（x，y）|y＝x或y＝﹣x}，N＝{（x，y）|y＝x}，N⊆M，故D正确． 故选：ACD． 10．【答案】BC 【解答】解：由函数y＝f（x﹣1）关于直线x＝3对称，可得函数f（x）关于直线x＝2对称，即f（4+x）＝f（﹣x），故选项C正确， 由f（2x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，可得f（2x﹣1）+f[2（2﹣x）﹣1]＝0， 即f（2x﹣1）+（3﹣2x）＝0，以2x代换x则f（x﹣1）+（3﹣x）＝0， 所以f（x）关于点（1，0）对称，可得f（x）+f（2﹣x）＝0，即f（2﹣x）＝﹣f（x）， 结合f（x+2）＝f（2﹣x）可得 f（x+2）＝﹣f（x）， 所以fx（+4）＝f（x+2）+2]＝﹣f（x+2）＝f（x），故选项B正确； 所以f（x）是周期函数，且周期为4，其图象不仅关于x＝2对称，还关于点（1，0）对称， 所以不关于点（0，0）和（12，0）对称，所以f（x）不是奇函数，f（x）+f（1﹣x）≠0，故选项A、D错误． 故选：BC． 11．【答案】BD 【解答】解：因为sinA：sinB：sinC＝2：3：4，由正弦定理可得a：b：c＝2：3：4， 设a＝2x，b＝3x，c＝4x，则（a+b）：（b+c）：（c+a）＝5x：7x：6x＝5：7：6，A错误； 由题意可知，C为最大角，因为a2+b2﹣c2＝4x2+9x2﹣16x2＝﹣3x2＜0，故C为钝角，B正确； 若a+b+c＝18，则a＝4，b＝6，c＝8，cosC=𝑎2+𝑏2