押题密卷04（九省联考模式）-2024届高考数学（含解析）.doc

 【本试卷共19小题，满分150分。考试用时120分钟】  注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2024•河北模拟）若zi+z＝1+3i，则z𝑧=（　　） A．2 B．1 C．5 D．5 2．（2024•吕梁模拟）已知角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边经过点(−3，1)，则𝑡𝑎𝑛(𝛼−𝜋6)=（　　） A．−3 B．−33 C．33 D．3 3．（2024•天津模拟）若𝑎=𝑙𝑜𝑔131.9，b＝log215.8，c＝22.01，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 4．（2024•天津模拟）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上一点，且C1P＝2PC．设三棱锥P﹣D1DB的体积为V1，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V，则𝑉1𝑉的值为（　　）
A．12 B．13 C．16 D．18 5．（2024•全国模拟）已知向量𝑎→=(−2，4)，𝑏→=(1，𝑡)，若𝑎→与𝑏→共线，则向量𝑎→+𝑏→在向量𝑗→=(0，1)上的投影向量为（　　） A．𝑗→ B．−𝑗→ C．2𝑗→ D．−2𝑗→ 6．（2024•安庆模拟）已知函数f（x）＝ax|x|的图象经过点（2，8），则关于x的不等式9f（x）+f（4﹣x2）＜0的解集为（　　） A．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） B．（﹣4，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） D．（﹣1，4） 7．（2024•南宁模拟）如果方程F（x，y）＝0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程F（x，y）＝0中，把y看成x的函数y＝y（x），则方程可看成关于x的恒等式F（x，y（x））＝0，在等式两边同时对x求导，然后解出y′（x）即可，例如，求由方程x2+y2＝1所确定的隐函数的导数y'，将方程x2+y2＝1的两边同时对x求导，则2x+2y•y′＝0（y＝y（x）是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得𝑦'=−𝑥𝑦(𝑦≠0)，那么曲线xy+lny＝2在点（2，1）处的切线方程为（　　） A．x﹣3y+1＝0 B．x+3y﹣5＝0 C．3x﹣y﹣5＝0 D．2x+3y﹣7＝0 8．（2024•宝山区二模）数列{an}中，Sn是其前n项的和，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称数列{an}为“某数列”．现有如下两个命题： ①等比数列{2n}为“某数列”； ②对任意的等差数列{an}，总存在两个“某数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn+cn． 则下列选项中正确的是（　　） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2024•厦门模拟）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足：f（x+y）＝f（x）+f（y）+12，且𝑓(12)=0，当x＞0时，f（x）＞f（0），则（　　） A．𝑓(0)=−12 B．𝑓(−1)=−32 C．f（x）为R上的减函数 D．𝑓(𝑥)+12为奇函数 10．（2024•大庆模拟）已知点𝑃(1，2)是双曲线C：3x2﹣y2＝1上一点，过P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，则下列说法正确的是（　　） A．双曲线的渐近线方程为𝑦=±3𝑥 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C．|𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵|=13 D．△PAB的面积为316 11．（2024•河北一模）投掷一枚质地不均匀的硬币，已知出现正面向上的概率为p，记An表示事件“在n次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（　　） A．A2与𝐴2是互斥事件 B．𝑃(𝐴2)=𝑝2 C．P（An+1）＝（1﹣2p）P（An）+p D．P（A2n）＞P（A2n+2） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．（2024•天津模拟）在(𝑥3−2𝑥)8的展开式中，x3的系数为　 　． 13．（2024•绵阳模拟）底面半径为4的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为1，母线长为3的圆锥，则所得圆台的侧面积为　 　． 14．（2024•新郑市校级一模）已知函数f（x）＝（x2﹣6x+m）（ex﹣3+e3﹣x﹣n）的四个零点是以0为首项的等差数列，则m+n＝　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（2024•西宁一模）在△ABC中，𝐴𝐵=33，𝐴𝐶=53，𝐵𝐶=73． （1）求A的大小； （2）求△ABC内切圆的半径． 16．（15分）（2024•香河县校级模拟）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的菱形，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，A1A＝3． （1）求证：平面A1BD⊥平面ABCD； （2）求直线DC1与平面A1DC所成角的正弦值．
17．（15分）（2024•新疆模拟）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人棋型的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为50%． （1）在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望； （2）设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为80%，求p的值． 18．（17分）（2024•海口模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴的交点为E（﹣1，0），C的焦点为F．经过点E的直线l与C分别交于A，B两点． （1）设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2＝0； （2）记△ABF与△BEF的面积分别为S1，S2，若S1＝3S2，求|AF|+|BF|． 19．（17分）（2024•福州模拟）若实数集A，B对∀a∈A，∀b∈B，均有（1+a）b≥1+ab，则称A→B具有Bernoulli型关系． （1）若集合M＝{x|x≥1}，N＝{1，2}，判断M→N是否具有Bernoulli型关系，并说明理由； （2）设集合S＝{x|x＞﹣1}，T＝{x|x＞t}，若S→T具有Bernoulli型关系，求非负实数t的取值范围； （3）当n∈N*时，证明：𝑘=1𝑛 (𝑘1+𝑘2)−1𝑘＜𝑛+58．   一．选择题（共8小题） 1．【答案】D 【解答】解：zi+z＝1+3i，则z（1+i）＝1+3i， 故𝑧=1+3𝑖1+𝑖=(1+3𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)=2+i，所以z𝑧=（2+i）（2﹣i）＝5． 故选：D． 2．【答案】A 【解答】解：由题易得：𝑡𝑎𝑛𝛼=−33，所以𝑡𝑎𝑛(𝛼−𝜋6)=𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝜋61+𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝜋6=−3． 故选：A． 3．【答案】B 【解答】解：𝑎=𝑙𝑜𝑔131.9＜𝑙𝑜𝑔131=0， b＝log215.8＜log216＝4， c＝22.01＞22＝4， 故c＞b＞a． 故选：B． 4．【答案】C 【解答】解：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上一点，且C1P＝2PC， 则𝑉1=𝑉𝑃−𝐷1𝐷𝐵=𝑉𝐵−𝐷1𝐷𝑃=13𝑆△𝐷1𝐷𝑃⋅𝐵𝐶=13⋅12𝐷𝐷1⋅𝐶𝐷⋅𝐵𝐶=16𝑉， 所以𝑉1𝑉的值为16． 故选：C． 5．【答案】C 【解答】解：由向量𝑎→=(−2，4)，𝑏→=(1，𝑡)， 若𝑎→与𝑏→共线，则﹣2t﹣4＝0，所以t＝﹣2，𝑎→+𝑏→=(−1，2)， 所以向量𝑎→+𝑏→在向量𝑗→=(0，1)上的投影向量为： (𝑎→+𝑏→)⋅𝑗→|𝑗→|⋅𝑗→|𝑗→|=(−1，2)⋅(0，1)1⋅𝑗→=2𝑗→． 故选：C． 6．【答案】C 【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ax|x|的图象经过点（2，8），则有8＝a×2×2，变形可得a＝2，则f（x）＝2x|x|，其定义域为R， 有f（﹣x）＝﹣2x|x|＝﹣f（x），则f（x）为奇函数， 同时，由于f（x）＝2x|x|=2𝑥2，𝑥≥0−2𝑥2，𝑥＜0， 易得f（x）在R上为增函数， 则9f（x）+f（4﹣x2）＜0，即f（3x）+f（4﹣x2）＜0，变形可得f（3x）＜﹣f（4﹣x2）＝f（x2﹣4）， 则有3x＜x2﹣4，解可得：x＜﹣1或x＞4，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）． 故选：C． 7．【答案】B 【解答】解：在xy+lny＝2的两边，对x求导数，可得y+xy′+1𝑦y′＝0， 代入x＝2，y＝1，可得切线的斜率为1+2k+k＝0，即k=−13， 则切线的方程为y﹣1=−13（x﹣2），化为x+3y﹣5＝0． 故选：B． 8．【答案】C 【解答】解：对于①，由等比数列{2n}可得𝑆𝑛=2𝑛+1−2， 若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则2n+1﹣2＝2m，即2n+1＝2m+2，显然不成立，故①为假命题； 对于②，设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1+(𝑛−1)𝑑=𝑛𝑎1+(𝑛−1)(𝑑−𝑎1)(𝑛∈𝑁∗)． 令bn＝na1，cn＝（n﹣1）（d﹣a1），则an＝bn+cn（n∈N*）． 下面证{bn}是“某数列”． 设{bn}的前n项和为Tn，则𝑇𝑛=𝑛(𝑛+1)2𝑎1（n∈N*）． 于是对任意的正整数n，总存在正整数m=𝑛(𝑛+1)2，使得Tn＝bn，所以{bn}是“某数列”． 同理，可证{cn}也是“H数列”． 所以对任意的等差数列{an}，总存在两个“某数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn+cn（n∈N*）成立，故②为真命题． 故选：C． 二．多选题（共3小题） 9．【答案】ABD 【解答】解：令x＝y＝0，则𝑓(0)=−12，故A正确； 令𝑥=−12，𝑦=12，则𝑓(0)=𝑓(12)+𝑓(−12)+12=−12，因为𝑓(12)=0，故𝑓(−12)=−1， 所以𝑓(−1)=2𝑓(−12)+12=−32，故B正确； 结合A，B可知，𝑓(0)=−12＞𝑓(−12)=−1，故C错误； 令y＝﹣x，则𝑓(0)+12=𝑓(𝑥)+12+𝑓(−𝑥)+12=0，故𝑓(−𝑥)+12=−[𝑓(𝑥)+12]， 故𝑓(𝑥)+12为奇函数，故D正确． 故选：ABD． 10．【答案】ABD 【解答】解：因为双曲线C：3x2﹣y2＝1的方程可化为𝑥213−𝑦2=1，所以𝑎=33，𝑏=1， 所以双曲线的渐近线方程为𝑦=±𝑏𝑎𝑥=±3𝑥，故A正确． 双曲线的右焦点(233，0)到渐近线𝑦=3𝑥的距离d=23+1=1，故B正确． 由点到直线的距离公式可得|𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵|=|3−2|2×|3+2|2=14，故C错误． 如图所示：
因为𝐾𝑂𝐴=3，所以∠AOx＝60°．在△PAD和△OBD中，∠PAD＝∠OBD＝90°， ∠PDA＝∠ODB，所以∠APD＝∠BOD＝60°， 所以𝑆△𝑃𝐴𝐵=12×|𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵|𝑠𝑖𝑛60°=12×14×32=316，故D正确． 故选：ABD． 11．【答案】ACD 【解答】解：对A，因为对立事件是互斥事件，所以A正确； 对B，𝑃(𝐴2)=𝑝2+(1−𝑝)2=2𝑝2−2𝑝+1，所以B错； 对C，由全概率公式可知𝑃(𝐴𝑛+1)=𝑃(𝐴𝑛+1|𝐴𝑛)⋅𝑃(𝐴𝑛)+𝑃(𝐴𝑛+1|𝐴𝑛)⋅𝑃(𝐴𝑛)=(1−𝑝)𝑃(𝐴𝑛)+𝑝(1−𝑃(𝐴𝑛)) ＝（1﹣2p）P（