押题密卷01（九省联考模式）-2024届高考数学（含解析）.doc

 【本试卷共19小题，满分150分。考试用时120分钟】  注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2024•呼和浩特模拟）已知集合A＝{3a，2+a}，集合B＝{a，1}，且A∩B＝{1}，则a＝（　　） A．0或1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．0 2．（2024•莲湖区校级模拟）设z在复平面内对应的点为（1，﹣2），则𝑧𝑧+𝑖在复平面内对应的点为（　　） A．(−14，34) B．(14，−34) C．(−12，32) D．(−12，−32) 3．（2024•海口模拟）已知b＞0，设甲：a﹣b＞1，乙：𝑎−𝑏＞1，则（　　） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 4．（2024•安庆模拟）已知线段AB是圆O的一条长为4的弦，则𝐴𝑂→⋅𝐴𝐵→=（　　） A．4 B．6 C．8 D．16 5．（2024•江苏模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝5，a1+S11＝46，则a3•a10是{an}中的（　　） A．第28项 B．第29项 C．第30项 D．第32项 6．（2024•厦门模拟）已知𝑠𝑖𝑛(𝛼−𝜋6)=35，则𝑠𝑖𝑛(2𝛼+𝜋6)=（　　） A．1825 B．−1825 C．725 D．−725 7．（2024•鄠邑区三模）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝2，则f（1）+f（2）+⋯+f（20）＝（　　） A．0 B．105 C．210 D．225 8．（2024•双鸭山三模）已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|=83|AF1|，且cos∠F1BF2=14，则双曲线C的离心率为（　　） A．53 B．2 C．43 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2024•云南模拟）(𝑥+2𝑥)7的展开式中，下列结论正确的是（　　） A．展开式共7项 B．x项系数为280 C．所有项的系数之和为2187 D．所有项的二项式系数之和为128 10．（2024•蚌埠模拟）已知函数𝑓(𝑥)=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴＞0，𝜔＞0，|𝜑|＜𝜋2)的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为4π，则（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为π B．点(3𝜋8，0)为曲线y＝f（x）的一个对称中心 C．直线𝑥=2𝜋3为曲线y＝f（x）的一条对称轴 D．函数f（x）在区间[3𝜋4，𝜋]上单调递增 11．（2024•大庆模拟）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为线段A1D上的一个动点，则下列说法正确的是（　　） A．BP⊥AD B．BP∥平面CB1D1 C．设BP与CD所成的角为α，则α的最大值为𝜋4 D．当棱锥A1﹣PAB1体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为12π 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．（2024•赤峰模拟）若连续抛两次骰子得到的点数分别为a，b，则点P（a，b）在直线a+b＝7上的概率为　 　． 13．（2024•哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模）在△ABC中，BC＝26，S△ABC=22𝐴𝐵→⋅𝐴𝐶→，则△ABC外接圆半径为　 　． 14．（2024•吕梁一模）A，B分别是函数f（x）＝2x+emx﹣ln（emx+x﹣1）和g（x）＝x图象上的动点，若对任意的m＞0，都有|AB|≥a恒成立，则实数a的最大值为　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（2024•三台县校级模拟）乒乓球，被称为中国的“国球”．某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示： 乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计 男 40 56 女 24 总计 100 （1）补全2×2列联表，并判断我们能否有99%的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？ （2）为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为13，女乒乓球爱好者获胜的概率为14，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X，求X的分布列和数学期望． P（χ2≥k） 0.05 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：𝜒2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑． 16．（15分）（2024•辽宁模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，AC＝AA1＝2，𝐴𝐵=1，𝐵𝐶=3，点E为线段AC的中点． （1）求证：AB1∥平面BEC1； （2）若∠𝐴1𝐴𝐶=𝜋3，求二面角A﹣BE﹣C1的余弦值．
17．（15分）（2024•双鸭山三模）已知函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣2ax2+4ax（a＞0）． （1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）若f（x）恰有三个零点，求a的取值范围． 18．（17分）（2024•西宁二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，1）是抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的一点，直线l交C于A，B两点． （1）若直线l过C的焦点，求𝑂𝐴→⋅𝑂𝐵→的值； （2）若直线PA，PB分别与y轴相交于M，N两点，且𝑂𝑀→⋅𝑂𝑁→=1，试判断直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 19．（17分）（2024•新县校级模拟）对于数列A：a1，a2，…，an（n≥3），定义变换T，T将数列A变换成数列T（A）：a2，a3，…，an，a1，记T1（A）＝T（A），Tm（A）＝T（Tm﹣1（A）），m≥2． 对于数列A：a1，a2，…，an与B：b1，b2，…，bn，定义A•B＝a1b1+a2b2+…+anbn． 若数列A：a1，a2，…，an（n≥3）满足ai∈{﹣1，1}（i＝1，2，…，n），则称数列A为ℜn数列． （1）若A：﹣1，﹣1，1，﹣1，1，1，写出T（A），并求A•T2（A）； （2）对于任意给定的正整数n（n≥3），是否存在ℜn数列A，使得A•T（A）＝n﹣3？若存在，写出一个数列A，若不存在，说明理由； （3）若ℜn数列A满足Tk（A）•Tk+1（A）＝n﹣4（k＝1，2，…，n﹣2），求数列A的个数．   一．选择题（共8小题） 1．【答案】C 【解答】解：由题意，3a＝1或2+a＝1，解得a＝0或﹣1，经检验，均符合题意． 故选：C． 2．【答案】C 【解答】解：依题意得z＝1﹣2i， 所以𝑧𝑧+𝑖=1+2𝑖1−𝑖=(1+2𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)=−1+3𝑖2=−12+32𝑖， 则𝑧𝑧+𝑖在复平面内对应的点为(−12，32)． 故选：C． 3．【答案】B 【解答】解：根据题意，当甲：a﹣b＞1成立时，可能a＝3，b＝1，此时𝑎−𝑏＜1，不能推出乙成立； 反之，当乙：𝑎−𝑏＞1成立时，可得𝑎＞1+𝑏，两边平方得a＞1+2𝑏+b，移项得a﹣b＞1+2𝑏＞1，可以推出甲成立． 综上所述，甲是乙的必要不充分条件． 故选：B． 4．【答案】C 【解答】解：已知线段AB是圆O的一条长为4的弦， 所以𝐴𝑂→⋅𝐴𝐵→=|𝐴𝑂→||𝐴𝐵→|⋅𝑐𝑜𝑠＜𝐴𝑂→，𝐴𝐵→＞=12|𝐴𝐵→||𝐴𝐵→|=12|𝐴𝐵→|2=2×4=8． 故选：C． 5．【答案】C 【解答】解：等差数列{an}中，a5＝a1+4d＝5，a1+S11＝12a1+55d＝46， 解得d＝﹣2，a1＝13，所以an＝13﹣2（n﹣1）＝15﹣2n， 则a3•a10＝9×（﹣5）＝﹣45， 令15﹣2n＝﹣45，则n＝30， 故是数列{an}的第30项． 故选：C． 6．【答案】C 【解答】解：𝑠𝑖𝑛(2𝛼+𝜋6)=𝑠𝑖𝑛[𝜋2+2(𝛼−𝜋6)]=𝑐𝑜𝑠[2(𝛼−𝜋6)]=1−2𝑠𝑖𝑛2(𝛼−𝜋6)=725． 故选：C． 7．【答案】C 【解答】解：根据题意，因为f（x）是奇函数，所以f（x）+f（﹣x）＝0， 由f（x）+f（2﹣x）＝2，可得f（x+2）+f（﹣x）＝2，变形可得f（x+2）﹣f（x）＝2， f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，则有f（2）＝2，f（4）＝4，…，f（20）＝20， 又由f（x）+f（2﹣x）＝2，令x＝1可得，f（1）+f（1）＝2，则f（1）＝1， 则f（3）＝3，f（5）＝5，…，f（19）＝19， 则f（1）+f（2）+⋯+f（20）＝1+2+⋯+20＝210． 故选：C． 8．【答案】B 【解答】解：已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点． 连接AF2，BF2， 由双曲线的定义可得：|AF2|﹣|AF1|＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝2a， 又|AB|=83|AF1|，不妨设|AF1|＝3t，则|AB|＝8t， 则|BF1|＝11t，|BF2|＝11t﹣2a，|AF2|＝2a+3t， 又cos∠F1BF2=14，则（2a+3t）2＝（8t）2+（11﹣2a）2−2×(8𝑡)×(11𝑡−2𝑎)×14， 解得：𝑡=4𝑎11，即|BF1|＝4a，|BF2|＝2a， 又cos∠F1BF2=14，则(2𝑐)2=(4𝑎)2+(2𝑎)2−2×(4𝑎)×(2𝑎)×14， 即c2＝4a2，即𝑐𝑎=2． 故选：B．
二．多选题（共3小题） 9．【答案】BCD 【解答】解：选项A：因为n＝7，所以展开式共有8项，故A错误， 选项B：展开式的一次项为𝐶73𝑥4(2𝑥)3=35×8𝑥=280𝑥，故B正确， 选项C：令x＝1，则所有项的系数和为（1+2）7＝2187，故C正确， 选项D：所有项的二项式系数和为27＝128，故D正确． 故选：BCD． 10．【答案】ACD 【解答】解：由图可知A＝2，连接ED，BC， 则根据三角函数图象的对称性， 可知阴影部分的面积等于平行四边形EBCD的面积， 易知EB＝T，所以4×T＝4π，T＝π，故A正确； 可得ω=2𝜋𝑇=2𝜋𝜋=2，所以f（x）＝2sin（2x+φ）， 因为函数f（x）的图象过点（0，1），可得1＝2sinφ，即sinφ=12， 又点（0，1）位于f（x）的递增区间，所以φ＝2kπ+𝜋6，k∈Z， 因为|φ|＜𝜋2，所以当k＝0时，φ=𝜋6，则f（x）＝2sin（2x+𝜋6）， 可得f（3𝜋8）＝2sin（2×3𝜋8+𝜋6）＝2sin11𝜋12≠0，故B错误； 可得f（2𝜋3）＝2sin（2×2𝜋3+𝜋6）＝2sin3𝜋2=−2，为最小值，故直线𝑥=2𝜋3为曲线y＝f（x）的一条对称轴，C正确； 若x∈[3𝜋4，𝜋]，可得2x+𝜋6∈[5𝜋3，13𝜋6]⊂[3𝜋2，5𝜋2]，可得函数f（x）＝2sin（2x+𝜋6）在区间[3𝜋4，𝜋]上单调递增，D正确． 故选：ACD．
11．【答案】BCD 【解答】解：如图（1），当点P与D重合时， 在正方形ABCD中，BP与AD所成的角是45°，故A错误； 如图（2），在正方体中，因为BD∥B1D1，BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD， 所以B1D1∥平面A1BD，同理可得：B1C∥平面A1BD， 因为B1D1∩B1C＝B1，所以平面D1B1C∥平面A1DB， 因为BP⊂平面A1DB，所以BP∥平面CB1D1，故B正确；
如图（3），因为AB∥CD，所以BP与CD所成的角为∠PBA， 因为AB⊥平面A1ADD1，所以AB⊥AP，所以𝑡𝑎𝑛∠𝑃𝐵𝐴=𝑃𝐴𝐴𝐵， 当点P与A1（或D）重合时tan∠PBA最大，此时∠PBA最大，易得∠𝑃𝐵𝐴=𝜋4，故C正确； 如图（3），因为𝑉𝐴1−𝑃𝐴𝐵1=𝑉𝑃−𝐴𝐴1𝐵1，所以当点P与D重合时三棱锥A1﹣PAB1体积最大，此时三棱锥的外接球即为正方体的外接球，设外接球半径为R， 则（2R）2＝22+22+22，所以R2＝3，所以该三棱锥外接球的表面积为12π，故D正确． 故选：BCD． 三．填空题（共3小题） 12．【答案】16． 【解答】解：连续抛两次骰子得到的点数分别为a，b