大学生数学竞赛试题

首届全国大学生数学竞赛 计算下列各题(1) 求极限
. (2) 计算
，其中
为下半球面
的上侧，
. (3) 现要设计一个容积为
的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积
元，而侧面的材料费为单位面积
元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) 已知
在
内满足
，求
. 二、（10分）求下列极限(1)
； (2)
, 其中
. 三、（10分）设
在
点附近有定义，且在
点可导，
. 求
. 四、（10分）设
在
上连续，无穷积分
收敛. 求
.五、（12分）设函数
在
上连续，在
内可微，且
. 证明：(1) 存在
使得
；(2) 存在
使得
. 六、（14分）设
为整数，
.证明: 方程
在
内至少有一个根. 七、（12分）是否存在
中的可微函数
使得
？若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明. 八、(12分)设
在
上一致连续，且对于固定的
，当自然数
时
. 证明: 函数序列
在
上一致收敛于0.