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纸鸳
上传于：2024-05-29
勾股定理
练习题
温故而知新：
1.勾股定理
直角三角形两条直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a+b=c.
2.勾股定理的验证
勾股定理的证明方法很多，据说已有400余种，其证明的内涵极其丰富.常用的证法是面积割补法，如图所示.
3.直角三角形的性质
两锐角互余（角的关系）、勾股定理（边的关系），30°角所对的直角边等于斜边的一半（边角关系），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用.
例1 （2013·安顺）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行（ ）
A.8米 B.10米
C.12米 D.14米
解析：小鸟飞行的最短路线如图所示为线段AB；过点A向10米高的树作垂线，垂足为C，则易知AC=8米，BC=10-4=6（米）；根据勾股定理可得
AB===10（米）.
答案：B
小结：在解决实际问题时，往往根据题意把实际问题转化为数学问题，构造直角三角形利用勾股定理来解决.有时根据需要巧设未知数，借助勾股定理列方程求解，常可使问题简便.
例2 （2013·衢州）如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为（ ）
A.3 cm B.6 cm
C.3 cm D.6 cm
解析：如图所示在图中标上字母，过点A作AD⊥BD，
垂足为D，则AD=3 cm；
因为∠ABD=30°，所以AB=2AD=6 cm；
又△ABC是等腰直角三角形，故BC=AB=6 cm，根据勾股定理可得AC===6（cm）
答案：D
小结：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，45°的直角三角形中，斜边是直角边的倍.
例3 如图所示，公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45°.求出这块草地的面积.
解析：连结BD，作CE⊥BD,交BD于E点， 构造含特殊锐角（30°或45°）的直角三角形求解.
答案：解：连结BD，作CE⊥BD,交BD于E点.
∵DC=BC，∴△BCD是等腰三角形.
∵∠BCD=120°, ∴∠BCE=60°.
又BC=10m, 则EC=BC=5m，∴BE==5m，BD=2BE=10m, ∴=EC·BD=×5×10=25（m2）.
又∠DBA=∠CBA-∠CBE=90°，∠A=45°，∴△DBA是等腰直角三角形.
∴=BD·AB=×10×10=150（m2）.
∴这块草地的面积S=+=（150+25）m2.
小结：对于本题中这类图形，适当添加辅助线，将图形切割为基本图形，再进行相关计算.
举一反三：
1.(2013·黔西南)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ）
A.5 B. C. D.5或
解析：分长为4的边为直角边和斜边两种情况考虑.
2.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
A. B.
C. D.
解析：由题意易知∠BDE=90°，在Rt△BDE中，DE=4，BE=8，根据勾股定理可得BD===.
6.（2013·湘西）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3.
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积.
解析：（1）根据角平分线的性质可知DE=CD=3；
（2）BD=BC-CD=5，S△ADB=BD·AC=×5×6=15.
例4 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.图是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为S，设第一个正方形的边长为1.请解答下列问题：
（1）S=_______；
解析：根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1.
答案：解：∵第一个正方形的边长为1，∴正方形的面积为1， 又∵直角三角形一个角为30°， ∴三角形的一条直角边为，另一条直角边就是， ∴三角形的面积为×÷2=，∴S1=1+.
（2）通过探究，用含n的代数式表示S，则S=________.
解析: 利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．
答案：解：∵第二个正方形的边长为，它的面积就是，也就是第一个正方形面积的，
同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的， ∴S2=（1+）×，依此类推，
S3=（1+）×× EMBED Equation.DSMT4 ，即S3=（1+ EMBED Equation.DSMT4 ）× ( EMBED Equation.DSMT4 ) EMBED Equation.DSMT4 ， Sn=（1+ EMBED Equation.DSMT4 ）×( EMBED Equation.DSMT4 ) EMBED Equation.DSMT4 （n为整数）．
小结：（1）勾股定理反映直角三角形三边关系即a2+b2=c2，同时也反映了以直角三角形三边为正方形的面积关系，是勾股定理的另一种表现形式；（2）从简单到复杂，从特殊到一般是探究规律型问题的一般方法.
举一反三：
4.(2013·莆田)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2,5,1,2，则最大的正方形E的面积是__________.
解析：S3=S1+S2=SA+SB+SC+SD=2+5+1+2=10.
例5 如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD的长.小萍灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
分别以AB，AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于G点，可得四边形AEGF为正方形.设AD=x,利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.
解析：由四边形AEGF为正方形及对称性质得EG=GF=AE=AD=x， BD=BE=2，CD=CF=3. BG=x-2，CG=x-3，BC=BD+CD=5，在Rt△BGC中利用勾股定理列方程求解.
答案：解:∵AD=x,则AE=EG=GF=x.
∵BD=2,DC=3,∴BE=2,CF=3.
∴BG=x-2，CG=x-3.
在Rt△BGC中，BG 2+CG 2=BC 2，
∴（x-2）2+（x-3）2=5 2,化简得x 2-5x-6=0,
即（x+1）(x-6)=0，可得x+1=0 或x-6=0.
∵x+1＞0,∴x=6,∴AD=x=6.
小结：（1）对折不改变图形的大小及形状，也就是说折叠前后的图形全等，并且成轴对称，其中折痕所在的直线即为对称轴；（2）利用方程的方法求解平面图形，是方程的一种简单应用，有时候也让我们的解题更为便捷.
3.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6 cm，
BC=8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕
为DE，则DE的长为（ ）
A.4 cm B. EMBED Equation.DSMT4 cm C.6 cm D.10 cm
解析：由折叠性质知AD=BD，设BD=x cm，则CD=（8-x）cm，
在Rt△ACD中，AC 2+CD 2=AD 2，∴62+(8-x) 2=x2,解得x= EMBED Equation.DSMT4 ；（下一步）
在Rt△ABC中，AB= EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 =10（cm）,∴ AE=BE=5cm,
∴DE= EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 （cm）.
例6 请阅读下列材料：
问题：如图甲，一圆柱的底面半径为5 dm，BC是底面直径，高AB为5 dm，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线；
路线1：侧面展开图中的线路AC，如图乙所示.
设路线1的长度为 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 =AC EMBED Equation.DSMT4 =AB EMBED Equation.DSMT4 +BC EMBED Equation.DSMT4 =5 EMBED Equation.DSMT4 +(5π) EMBED Equation.DSMT4 =25+25π EMBED Equation.DSMT4 .