2006年信利杯全国初中数学竞赛试题

2006年"信利杯"全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号内，不填、多填或错填得零分。） 1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪。刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ） （A）36 （B）37 （C）55 （D）90 2、已知m=1+ ，n=1- ，且（7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，则a的值等于（ ） （A）-5 （B）5 （C）-9 （D）9 3、RtΔABC的三个顶点A、B、C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴。若斜边上的高为h，则（ ） （A）h＜1 （B）h=1 （C） 1＜h＜2 （D）h＞2 4、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分......如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） 　　（A）2004 （B） 2005 （C）2006 （D）2007 5、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上， 连结DP，DP交AC于点Q，若QP=QO，则 的值为（ ） （A）2-1 （B）2 （C）+ （D）+2 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6、已知a、b、c为整数，且a+b=2006，c-a=2005。若a＜b，则a+b+c的最大值为 7、如图，面积为a-c的正方形DEFG内接于面积 为1的正三角形ABC，其中a、b、c是整数，且b不 能被任何质数的平方整除，则的值等于 8、正五边形广场ABCDE的周长为2000米。甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿 方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分。那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上。 9、[x]表示不超过x的最大整数，如[3.2 ] =3, 已知正整数n小于2006,且[]+[]= [] ,则这样的n有 个. 10、小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码，小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 。 三、 解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11、已知，为互质的正整数，且≤8，-1 ＜＜ -1 （1） 试写出一个满足条件的； （2） 求所有满足条件的。 12、设a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式 b2+c2=2a2+16a+14， （1） bc= a2－4a-5 （2） 求a的取值范围。 13、如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B。过点A作PB的平行线，交⊙O于点C。连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于K。求证：PE·AC=CE·KB 14、2006个都不等于119的正整数a1，a2，a3 ，... a2006 排列成一行数，其中任意连续若干项之和各都不等于119，求a1+ a2+ a3+... + a2006的最小值。 　　　　　　2006年"信利杯"全国初中数学竞赛试题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B D 5013 - 104 334 282500 1、 解：因为4和9的最小公倍数为36，19+36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是55。 2、 解：由已知可得m2-2m=1，n2-2n=1。又 （7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8， 所以（7+a）（3-7）=8， 解得a= -9。 3、 解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|＜|a| ），则点B的坐标为（-a，a2），由勾股定理，得 AC2=（c-a）2+（c2-a2）2 BC2=（c+a）2+（c2-a2）2 AC2+BC2=AB2， 所以 （a2-c2）2= a2-c2 。 由于a2＞c2 ，所以a2-c2 =1。故斜边AB上高h= a2-c2 =1。 4、 解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加3600，于是，剪过k次后，可得（k+1）个多边形，这些多边形的内角形和为（k+1）×3600。 因为这（k+1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为 34×（62-2）×1800=34×60×1800， 其余多边形有（k+1）-34=k-33（个），而这些多边形的内角和不少于（k-33）×1800。所以（k+1）×3600≥34×60×1800+（k-33）×1800 ，解得k≥2005。 当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论，先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形......如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形。再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形，于是共剪了58+33+33×58=2005（刀）。 5、 解：设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，则QC=r+m，QA=r-m，在⊙O中，根据相交弦定理，得QA·QC=QP·QD。 即（r+m）（r-m）=m·QD， 所以 QD=。连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2，， 即（）2=r2+m2 解得m=r。 所以，===+2 6、 解：由a+b=2006，c-a=2005，得 a+b+c=a+4011。 因为a+b=2006，a＜b，a为整数，所以，a的最大值为1002。 于是，a+b+c的最大值为5013。 7、解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则m2= 由ΔADG∽ΔABC，可得 =, 解得x=（2-3）m。于是 x2=（2-3）2m2=28-48， 由题意，a=28，b=3，c=48，所以= - 8、解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了46×=368x米。于是 368（x-1）+800-400（x-1）＞400， 且（368x+800）-400x≤400， 所以，12.5≤x＜13.5 故x=13,此时t==104. 9、 解：设[]=m，则=m+α，0≤α＜1， 当0≤α＜时， =2m+2α，[] =2m。 根据[]+[]= []得 2m+m=3m+3α，α=0， 此时，n=6m＜2006，1≤m≤334。 当≤α＜1时，=2m+2α， []=2m+1， 由[]+[]= []得， 2m+1+m=3m+3α α=与≤α＜1不合，舍去。 故这样的n有334个。 10、 解：设原来电话号码的六位数为，则经过两次升位后电话号码的八位数为。根据题意，有81×==。 记x=b×104+c×103+d×102+e×10+f，于是 81×a×105+81x=208×105+a×106+x， 解得x=1250×（208－71a）。 因为0≤x≤105 ，所以0≤1250×（208-71a）＜105 故＜a≤。 因为a为整数，所以a=2，于是 x=1250×（208-71×2）=82500。 所以，小明家原来的电话号码为82500。 11、解：（1）写出、、、、、、中的任一个即可。 （2）因为x= ，a、b为互质的正整数，且a≤8，所以 -1＜＜-1 即（-1）a＜b＜（-1）a 当a=1时，（-1）×1＜b＜（-1）×1，这