2023年山西省重点中学高考数学联考试卷（含解析）.doc

第页共页年山西省重点中学高考数学联考试卷一单选题本大题共小题共分在每小题列出的选项中选出符合题目的一项已知集合则已知复数满足则已知一个足球场地呈南北走向在一次进攻时某运动员从点处开始带球沿正北方向行进米到达处再转向北偏东方向行进了米到达处然后起脚射门则两点的距离为米米米米已知抛物线的焦点为准线为点在上过作的垂线垂足为若为原点则到的距离为有一个棱柱形状的石料底面是边长为的等边三角形该石料侧棱垂直于底面若可以将该石料打磨成四个半径为的石球则至少需要打磨掉的石料废料的体积为已知向量其中若则现有甲乙两组数据每组数据均由六个数组成其中甲组数据的平均数为方差为乙组数据的平均数为方差为若将这两组数据混合成一组则新的一组数据的方差为已知椭圆的上顶点为过点且不与轴重合的直线与的另一个交点为其中过作的垂线交轴于点若则的斜率二多选题本大题共小题共分在每小题有多项符合题目要求已知等比数列的公比为前项积为若则第1页共20页2023年山西省重点中学高考数学联考试卷一单选题本大题共8小题共400分在每小题列出的选项中选出符合题目的一项1已知集合11986011990911990923119909244222442已知复数11991111199112满足1199111311991122119894则1199111119911233263563已知一个足球场地呈南北走向在一次进攻时某运动员从119860点处开始带球沿正北方向行进16米到达119861处再转向北偏东60方向行进了24米到达119862处然后起脚射门则119860119862两点的距离为87米810米32米819米4已知抛物线119862119909221199011199101199010的焦点为119865准线为119897点11987511990901在119862上过119875作119897的垂线垂足为119876若119875119874119875119876119874为原点则119865到119897的距离为12465有一个棱柱形状的石料底面是边长为6的等边三角形该石料侧棱垂直于底面若可以将该石料打磨成四个半径为3的石球则至少需要打磨掉的石料废料的体积为21643120587216163120587270163120587270431205876已知向量11988612119887119888119900119904120579119904119894119899120579其中12057902120587若119886119887119886则119905119886119899120579323367现有甲乙两组数据每组数据均由六个数组成其中甲组数据的平均数为3方差为5乙组数据的平均数为5方差为3若将这两组数据混合成一组则新的一组数据的方差为3544558已知椭圆1198721199092311991021的上顶点为119860过点119860且不与119910轴重合的直线119897与119872的另一个交点为11986111990911199101其中11990910过119861作119897的垂线交119910轴于点119862若11986111986223则119897的斜率1198962333332二多选题本大题共4小题共200分在每小题有多项符合题目要求9已知等比数列119886119899的公比为1199021199020前119899项积为119879119899若119879711987961198798则011990211198791311198791411987914111987915第页共页已知函数的图象关于点对称且存在使得在上单调递增则下列选项正确的是的最小正周期在上单调递增函数的图象不可能关于点对称函数在内不存在极值点已知椭圆的左右焦点分别为直线与椭圆交于两点其中点在点的左侧记面积为则时的最大值为当时点的横坐标为已知函数则下列说法正确的是若在上单调递增则若设的解集为则若有两个极值点且则若则过仅能做曲线的一条切线三填空题本大题共小题共分两篮球运动员在球衣号分别为的四件球衣中各随机选一件则选的是偶数号球衣的不同选法共有种已知直线过定点则的最小值为若在圆上存在一点使得过点作圆的切线长为则的取值范围为若曲线与曲线存在公切线则的取值范围为四解答题本大题共小题共分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第2页共20页10已知函数119891119909sin1205961199091205931541205963120593在1199050使得119891119909在12058731199051205873119905上单调递增则下列选项正确的是119891119909的最小正周期11987981205871521205873119891119909在12058731205876上单调递增函数119891119909的图象不可能关于点7120587100对称函数119891119909在01205872内不存在极值点11已知椭圆11986211990928119910241的左右焦点分别为11986511198652直线11991011990511990502与椭圆119862交于119860119861两点其中点119860在点119861的左侧记1198601198611198651面积为119878则119865111986011986511198614211986011986511198611198651时1199053119878的最大值为22当119865111986011986521205873时点119860的横坐标为43312已知函数119891119909119909111989011990911198861199091则下列说法正确的是若119891119909在119877上单调递增则1198861若01198861的解集为119898119899119899119898则1198991198982若119891119909有两个极值点11990911199092且119909221199091则119886119890119897119899220若1198861则过03仅能做曲线119910119891119909的一条切线三填空题本大题共4小题共200分13119860119861两篮球运动员在球衣号分别为68918的四件球衣中各随机选一件则119860选的是偶数号球衣的不同选法共有种14已知直线11988611990921198871199101011988601198870过定点21则11198862119887的最小值为15若在圆1198621199092119910211990321199030上存在一点119875使得过点119875作圆1198721199092211991021的切线长为2则119903的取值范围为16若曲线1199101198861199091199090与曲线1199102119897119899119909存在公切线则119886的取值范围为四解答题本大题共6小题共700分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第页共页本小题分在中角所对的边分别为已知且的周长为证明求面积的最大值本小题分已知数列各项均为正数且若求的前项和若为等比数列且不为等比数列求的值本小题分一对夫妻计划进行为期天的自驾游已知两人均能驾驶车辆且约定在任意一天的旅途中全天只由其中一人驾车另一人休息若前一天由丈夫驾车则下一天继续由丈夫驾车的概率为由妻子驾车的概率为妻子不能连续两天驾车已知第一天夫妻双方驾车的概率均为求在刚开始的三天中妻子驾车天数的概率分布列和数学期望设在第天时由丈夫驾车的概率为求数列的通项公式本小题分如图在三棱锥中平面平面证明求二面角的余弦值本小题分已知双曲线的焦距为过左焦点的直线与的左半支交于两第3页共20页17本小题100分在119860119861119862中角119860119861119862所对的边分别为119886119887119888已知1198601205873且119860119861119862的周长为61证明1198871198881241198871198882求119860119861119862面积的最大值18本小题120分已知数列119886119899各项均为正数119886111198861198991119886119899且1198861198992119886119899119886211988611989911198991198731若11988622求119886119899的前119899项和1198781198992若11988611989912119886119899为等比数列且119886119899不为等比数列求1198862的值19本小题120分一对夫妻计划进行为期60天的自驾游已知两人均能驾驶车辆且约定在任意一天的旅途中全天只由其中一人驾车另一人休息若前一天由丈夫驾车则下一天继续由丈夫驾车的概率为14由妻子驾车的概率为34妻子不能连续两天驾车已知第一天夫妻双方驾车的概率均为121求在刚开始的三天中妻子驾车天数的概率分布列和数学期望2设在第119899天时由丈夫驾车的概率为119901119899求数列119901119899的通项公式20本小题120分如图在三棱锥119875119860119861119862中平面119875119860119861平面119860119861119862119875119861119860119862119861119860451198611198751198611198622211986011986111证明1198601198611198751198622求二面角119860119875119862119861的余弦值21本小题120分已知双曲线1198621199092119886211991021198872111988601198870的焦距为8过左焦点119865的直线与119862的左半支交于119860119861两第页共页点过作直线的垂线垂足分别为且当垂直于轴时求的标准方程设点判断是否存在使得为定值若存在求出的值若不存在说明理由本小题分设函数其中若且在区间单调递减在区间单调递增求的最小值证明对任意正数仅存在唯一零点第4页共20页点过119860119861作直线1198971199091的垂线垂足分别为119872119873且当119860119861垂直于119909轴时119872119873121求119862的标准方程2设点1198752310判断是否存在1199050使得11198751198721199051119875119873119905为定值若存在求出119905的值若不存在说明理由22本小题120分设函数11989111990911989711989911990921199092119909119886119887119909其中11988601198871198771若11988614且119891119909在区间0119905单调递减在区间119905单调递增求119905的最小值2证明对任意正数119886119887119891119909仅存在唯一零点第页共页答案和解析答案解析解则故选分别将两个集合中的元素表示出来再求并集本题考查集合的运算考查一元二次不等式的解法属于基础题答案解析解则故故选根据已知条件结合复数模公式即可求解本题主要考查复数模公式属于基础题答案解析解如图根据题意可知由余弦定理可得解得米故选根据条件作出示意图利用余弦定理求解本题考查了余弦定理在解三角形中的应用属于基础题答案解析解根据抛物线的几何性质及题意可得第5页共20页答案和解析答案119860解析解11986011990911990923119909则11986011986124故选119860分别将两个集合中的元素表示出来再求并集本题考查集合的运算考查一元二次不等式的解法属于基础题答案119862解析解1199111311991122119894则119911222125故11991111199112119911111991123535故选119862根据已知条件结合复数模公式即可求解本题主要考查复数模公式属于基础题答案119863解析解如图根据题意可知1198601198611611986111986224119860119861119862120由余弦定理可得11986011986221198601198612119861119862221198601198611198611198621198881199001199041201622422162412解得119860119862819米故选119863根据条件作出示意图利用余弦定理求解本题考查了余弦定理在解三角形中的应用属于基础题答案119862解析解根据抛物线的几何性质及题意可得119875119865119875119876119875119874第页共页又且解得到准线的距离为故选根据抛物线的几何性质及题意可得从而建立的方程解方程即可得解本题考查抛物线的几何性质方程思想属中档题答案解析解底面是边长为的等边三角形则等边三角形有内切圆且内切圆的半径为可知四个石球均与正三棱柱的三个侧面相切需要石料的高为则石料的体积为四个石球的体积为至少需要打磨掉的石料废料的体积为故选由已知可得所需正三棱柱的最大高度再由棱柱体积减去四个球的体积得答案本题考查多面体的内切球考查多面体体积的求法是中档题答案解析解向量其中则即两边同时除以得故选利用向量的数量积运算得到再利用三角恒等变换求解即可第6页共20页又11987511986511990121119875119874119909021且11990902211990111990121211990111199010解得1199014119865到准线119897的距离为1199014故选119862根据抛物线的几何性质及题意可得119875119865119875119876119875119874从而建立119901的方程解方程即可得解本题考查抛物线的几何性质方程思想属中档题答案119861解析解底面是边长为6的等边三角形则等边三角形有内切圆且内切圆的半径为3可知四个石球均与正三棱柱的三个侧面相切需要石料的高为42383则石料的体积为12663283216四个石球的体积为44312058733163至少需要打磨掉的石料废料的体积为216163故选119861由已知可得所需正三棱柱的最大高度再由棱柱体积减去四个球的体积得答案本题考查多面体的内切球考查多面体体积的求法是中档题答案119861解析解向量11988612119887119888119900119904120579119904119894119899120579其中12057902120587119886119887119886119888119900119904120579211990411989411989912057912223则cos212057921199041198941198992120579221199041198941198991205791198881199001199041205793119888119900119904212057931199041198941198992120579即21198881199001199042120579sin212057922119904119894119899120579119888119900119904120579两边同时除以cos2120579得tan212057922119905119886119899120579201199051198861198991205792201199051198861198991205792故选119861利用向量的数量积运算得到11988811990011990412057921199041198941198991205793再利用三角恒等变换求解即可第页共页本题考查了向量的数量积运算三角恒等变换的运用属于中档题答案解析解根据题意甲组数据的平均数为方差为乙组数据的平均数为方差为则两组数据混合后新数据的平均数则新数据的方差故选根据题意由分层抽样中数据方差的计算公式计算可得答案本题考查数据的方差的计算注意方差的计算公式属于基础题答案解析解由题意可得直线的方程为将直线方程代入椭圆方程可得所以则因为过作的垂线交轴于点所以所在直线方程为令则所以点又因为所以整理化简可得解得因为所以故选根据题意得出直线方程将直线方程与椭圆方程联立求出点的坐标再根据题意求出所在直线方程求出点的坐标利用两点间距离公式即可求解本题考查求椭圆的离心率考查运算求解能力属中档题答案解析解因为等比数列的公比为则所以正确错误第7页共20页本题考查了向量的数量积运算三角恒等变换的运用属于中档题答案119863解析解根据题意甲组数据的平均数为3方差为5乙组数据的平均数为5方差为3则两组数据混合后新数据的平均数1199096365124则新数据的方差1198782612534261235425故选119863根据题意由分层抽样中数据方差的计算公式计算可得答案本题考查数据的方差的计算注意方差的计算公式属于基础题答案119862解析解由题意可得直线119897的方程为119910119896119909119896119896将直线方程代入椭圆方程可得131198962119909261198961199090所以11990916119896131198962则1199101611989621311989621131198962131198962因为过119861作119897的垂线交119910轴于点119862所以119861119862所在直线方程为11991011198961199096119896131198962131198962131198962令1199090则119910531198962131198962所以点1198620531198962131198962又因为11986111986223所以61198961311989622531198962131198962131198962131198962212整理化简可得911989643119896220解得119896213因为119896故选119862根据题意得出直线方程将直线方程与椭圆方程联立求出点119861的坐标再根据题意求出119861119862所在直线方程求出点119862的坐标利用两点间距离公式即可求解本题考查求椭圆的离心率考查运算求解能力属中档题答案119860119862解析解因为等比数列119886119899的公比为1199020119879711987961198798则119886710所以0正确错误第页共页正确错误故选由已知结合等比数列的性质分析各选项即可判断本题主要考查了等比数列的性质的应用属于基础题答案解析解对于故正确对于若存在使在上单调递增则由正弦型曲线的性质得即在上不一定单调故错误对于是的对称中心也是的对称中心不是的对称中心故正确对于函数的极值为的最值是的对称中心的最值点为函数在内存在极值点故错误故选对于依据周期的定义计算的范围可判断对于的单调增区间在距对称中心前后内令求出的范围可判断结果对于的每个对称中心间隔为计算对称中心的范围判断是否在此范围内即可对于的极值点为依据周期的范围计算极值点的范围判断是否在内可得结果第8页共20页1198791311988611198862119886121198861311988671411198791411988611198862119886121198861311988614119886711988687正确错误故选119860119862由已知结合等比数列的性质分析各选项即可判断本题主要考查了等比数列的性质的应用属于基础题答案119860119862解析解对于1198601541205963119879212058712059681205871521205873故正确对于119861若存在1199050使119891119909在12058731199051205873119905上单调递增则由正弦型曲线的性质得1199051198794即1199051205876119891119909在12058731205876上不一定单调故错误对于11986212058730是119891119909的对称中心120587311989611987920119896119885也是119891119909的对称中心1205873119879212058715012058731198791205875120587312058733119879271205871521205873120587321198791112058715120587212058737120587100不是119891119909的对称中心故正确对于119863函数119891119909的极值为119891119909的最值12058730是119891119909的对称中心119891119909的最值点为1199091205873211989911198794119899119885120587311987941205875120587612058733119879412058715120587601205872函数119891119909在01205872内存在极值点故错误故选119860119862对于119860依据周期的定义计算2120587120596的范围可判断对于119861119891119909的单调增区间在距对称中心前后1198794内令1199051198794求出119905的范围可判断结果对于119862119891119909的每个对称中心间隔为1198961198792119896119885计算119891119909对称中心的范围判断7120587100是否在此范围内即可对于119863119891119909的极值点为1199091205873211989911198794119899119885依据周期的范围计算极值点的范围判断是否在01205872内可得结果第页共页本题考查三角函数的图象和性质单调性对称性等基础知识考查运算求解能力是中档题答案解析解由椭圆可得由对称性可知故正确的坐标分别为设若时可得解得故错误直线与椭圆交于两点两点的坐标分别为当且仅当即时取等号故正确设当时设则由余弦定理可得又又解得故正确故选由对称性可得进而可得可判断设求得向量的数量积求解可判断两点的坐标分别为可得利用基本不等式可求最大值判断设则由余弦定理可得的值进而可得可求进而可得的横坐标判断本题考查椭圆的几何性质考查运算求解能力属中档题答案第9页共20页本题考查三角函数的图象和性质单调性对称性等基础知识考查运算求解能力是中档题答案119860119862119863解析解由椭圆11986211990928119910241可得1198862211988721198882由对称性可知119860119865111986111986521198651119860119865111986111986111986521198651119861211988642故正确11986511198652的坐标分别为2020设1198601199091199051198611199091199051198601198651211990911990511986111986512119909119905若11986011986511198611198651时可得11986011986511198611198651411990921199052482119905211990520解得119905233故错误直线11991011990511990502与椭圆119862交于119860119861两点119860119861两点的坐标分别为8211990521199058211990521199051198781211986011986111988912282119905211990582119905211990524119905211990524119905221199052222当且仅当41199052119905即1199052时取等号故正确设119860119909119910119909当119865111986011986521205873时11986011986521198651119860211988642设1198601198651119898则1198601198652119899由余弦定理可得119898211989922119898119899cos120587342119898119899221198981198991198981198994211989811989916311987811986011986511198652121198981198991199041198941198991205873433又12211988811991011987811986011986511198652433119910233又11990928119910241解得119909433故正确故选119860119862119863由对称性可得11986011986511198611198652进而可得11986511198601198651119861119861119865211986511198612119886可判断119860设119860119909119905119861119909119905求得向量的数量积求解可判断119861119860119861两点的坐标分别为821199052119905821199052119905可得11987812119860119861119889122821199052119905利用基本不等式可求最大值判断119862设1198601198651119898则1198601198652119899由余弦定理可得119898119899的值进而可得12211988811991011987811986011986511198652433可求119910进而可得119860的横坐标判断119863本题考查椭圆的几何性质考查运算求解能力属中档题答案119860119862119863第页共页解析解对于因为函数在上单调递增所以恒成立即恒成立记则因为当时当时所以函数在上单调递增在上单调递减因此函数在处取得最大值所以即故正确对于由得等价于即当时又故所以当时无解故的解集为此时当时故错误对于因为函数有两个极值点且所以有两个零点即方程有两个解为设则当时当时即函数在上单调递增在上单调递减因此函数在处取得最大值令则解得此时即方程有两个解为等价于与有两个交点作出两函数图象如图所示由图象可得第10页共20页解析解对于1198601198911199091199091198901199091119886因为函数119891119909在119877上单调递增所以1198911199090恒成立即1198861199091198901199091恒成立记1198921199091199091198901199091则119886119892119909119898119886119909因为11989211990911199091198901199091当1199090当1199091时119892119909所以函数119892119909在1上单调递增在1上单调递减因此函数119892119909在1199091处取得最大值11989211所以1198861即1198861故正确对于119861由119891119909119886119897得119909111989011990911198861199091等价于1199091111989011990911198860即11990911198901198861198901199090当1199091时119886119890119909所以11198901199091119897119899119886无解故1198911199091198861的解集为11119897119899119886此时119899119898111989711989911988612119897119899119886当1错误对于119862因为函数119891119909有两个极值点11990911199092且119909221199091所以1198911199091199091198901199091119886有两个零点11990911199092即方程1198861199091198901199091有两个解为11990911199092设1198921199091199091198901199091则11989211990911199091198901199091当1199090当1199091时119892119909单调递减因此函数119892119909在1199091处取得最大值11989211令119909221199091则11990911198901199091111990921198901199092121199091119890211990911解得11990911198971198992此时11988611990911198901199091111989711989921198901198971198992111989011989711989922即11988611989011989711989922方程1198861199091198901199091有两个解为11990911199092等价于119910119886与1199101199091198901199091有两个交点作出两函数图象如图所示由图象可得0第页共页解得故正确对于时设图象上一点则故过点的切线方程为将代入上式得整理得设则设则由可得令可得所以在上单调递减在上单调递增所以所以所以函数单调递增又即方程在区间有唯一解所以存在唯一一条过的切线故正确故选对函数求导利用导数研究函数的最值判断化简不等式利用符号法解不等式从而求解区间长度范围判断结合图象和函数的零点判断利用导数的几何意义建立方程判断方程根的个数即可判断本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值利用导数研究曲线上某点的切线方程考查运算求解能力属于难题答案解析解选的是偶数号球衣的选法有种从选完后剩余的件球衣中选件的选法有种则选的是偶数号球衣的不同选法共有种故答案为根据分步乘法法则直接得出答案第11页共20页解得11989011989711989922正确对于1198631198861时11989111990911990911198901199091119909111989111990911990911989011990911设119891119909图象上一点119905119891119905则119891119905119905111989011990511199051故过点119905119891119905的切线方程为11991011990511198901199051119905111990511989011990511119909119905将03代入上式得3119905111989011990511199051119905119890119905110119905整理得41198901199051119905211990510设1199054119890119905111990521199051则1199054119890119905121199051设1198981199054119890119905121199051则119898119905411989011990512由1198981199050可得1199051ln12令119898119905所以119898119905在1ln12上单调递减在1ln12上单调递增所以1198981199051198981ln122119897119899210所以1199050所以函数119905单调递增又14119890210即方程41198901199051119905211990510在区间10有唯一解所以存在唯一一条过03的切线故正确故选119860119862119863对函数求导利用导数研究函数的最值判断119860化简不等式利用符号法解不等式从而求解区间长度范围判断119861结合图象和函数的零点判断119862利用导数的几何意义建立方程判断方程根的个数即可判断119863本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值利用导数研究曲线上某点的切线方程考查运算求解能力属于难题答案9解析解119860选的是偶数号球衣的选法有3种119861从119860选完后剩余的3件球衣中选1件的选法有3种则119860选的是偶数号球衣的不同选法共有339种故答案为9根据分步乘法法则直接得出答案第页共页本题考查了排列组合的应用属于基础题答案解析解由题意得则当且仅当且即时取等号故答案为由题意得然后利用乘法结合基本不等式即可求解本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用属于基础题答案解析解由圆可得圆心半径设过点作圆的切线的切点为则由圆可得圆心半径为在圆上存在一点使则即的取值范围为故答案为设过点作圆的切线的切点为则可得由题意可得求解即可本题考查切线长定理考查最短距离与最大距离问题属中档题答案解析解设公切线与曲线的切点为与曲线的切点为第12页共20页本题考查了排列组合的应用属于基础题答案642解析解由题意得21198862119887111988601198870则1119886211988721198862119887119886411988641198871198876211988711988641198861198876221198871198864119886119887642当且仅当21198871198874119886119887且211988621198871即119886212119887222时取等号故答案为642由题意得21198862119887111988601198870然后利用乘1法结合基本不等式即可求解本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用属于基础题答案2323解析解由圆1198721199092211991021可得圆心11987220半径1198771设过点119875作圆119872的切线的切点为119873则119875119873211987511987222123由圆1198621199092119910211990321199030可得圆心11986200半径为119903在圆1198621199092119910211990321199030上存在一点119875使1198751198732则21199031198751198721199032即2119903311990322311990323119903的取值范围为2323故答案为2323设过点119875作圆119872的切线的切点为119873则1198751198732可得1198751198723由题意可得21199031198751198721199032求解即可本题考查切线长定理考查最短距离与最大距离问题属中档题答案21198900解析解设公切线与曲线1198911199091198861199091199090的切点为11990911198861199091与曲线1198921199092119897119899119909的切点为11990922119897119899119909211989111990911988611990921198921199092119909第页共页在处的切线方程为同理可得在处的切线方程为由题意可知即方程组消去整理得设则令解得当时单调递减当时单调递增又即的取值范围为故答案为设公切线与曲线的切点为与曲线的切点为利用导数的几何意义可求出在处的切线方程为同理可得在处的切线方程为由题意可得消去整理得设则求导得到的单调性和最值进而求出的取值范围本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程考查了利用导数研究函数的单调性和最值属于中档题第13页共20页119910119891119909在1199091199091处的切线方程为11991011988611990912119909119909111988611990911198861199091211990921198861199091同理可得119910119892119909在1199091199091处的切线方程为11991021199092119909211989711989911990922由题意可知119886119909122119909221198861199091211989711989911990922即11988611990912211990921198861199091119897119899119909211198861199091221199092119886119909111989711989911990921方程组消去1199091整理得11988611990921198971198991199092122设1198971198991199092119905119886119905119905211198901199052令1198861199050解得1199051当1199050119886119905单调递增11988611990511989811989411989911988612119890又119886102119890119886即119886的取值范围为21198900故答案为21198900设公切线与曲线1198911199091198861199091199090的切点为11990911198861199091与曲线1198921199092119897119899119909的切点为119909221198971198991199092利用导数的几何意义可求出119910119891119909在1199091199091处的切线方程为11991011988611990912119909119909111988611990911198861199091211990921198861199091同理可得119910119892119909在1199091199091处的切线方程为11991021199092119909211989711989911990922由题意可得1198861199091221199092119886119909111989711989911990921消去1199091整理得11988611990921198971198991199092122设1198971198991199092119905和最值进而求出119886的取值范围本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程考查了利用导数研究函数的单调性和最值属于中档题第页共页答案证明在中由余弦定理可得即又因为所以整理可得所以得证解由可知所以当且仅当时取等号所以或因为所以则所以故面积的最大值为解析利用余弦定理和三角形周长即可求解结合的结论和基本不等式得出然后利用三角形面积公式即可求解本题考查了余弦定理和三角形的面积公式属于中档题答案解数列是等差数列等差数列的公差为为等比数列是等比数列即即联立得解得解析由题意得利用等差数列的性质可得数列是等差数列即可得出答案第14页共20页答案证明1在119860119861119862中由余弦定理可得1198862119887211988822119887119888119888119900119904119860即11988621198872119888211988711988811988711988823119887119888又因为1198861198871198886所以6119887119888211988711988823119887119888整理可得124119887119888119887119888所以119887119888124119887119888得证解2由1可知119887119888124119887119888所以1198871198881242119887119888当且仅当119887119888时取等号所以1198871198886或1198871198882因为119887119888则1198871198884所以119878119860119861119862121198871198881199041198941198991198603443故119860119861119862面积的最大值为3解析1利用余弦定理和三角形周长即可求解2结合1的结论和基本不等式得出1198871198884然后利用三角形面积公式即可求解本题考查了余弦定理和三角形的面积公式属于中档题答案解111988622119886119899211988611989911988621198861198991119886119899211988611989921198861198991数列119886119899是等差数列11988611等差数列119886119899的公差为11198861198991119899111989911987811989911989911989912211988611989912119886119899为等比数列119886221198861119886321198862119886421198863是等比数列1198863211988622119886221198861119886421198863即1198863241198863119886241198862211988621198864211988631198862211988611198864411988631198861119886111198863241198863119886241198862211988621198864211988631198862211988644119886311988611989921198861198991198862119886119899111988631198861119886221198864119886211988621198863即119886311988622111988641198862321198862联立得11988622124119886221119886241198862211988621198862321198862211988622111988622119886232119886241198862211211988624解得119886252解析1由题意得119886119899211988611989921198861198991利用等差数列的性质可得数列119886119899是等差数列即可得出答案第页共页由题意得是等比数列即利用数列的递推式可得联立求解即可得出答案本题考查数列的求和考查转化思想考查逻辑推理能力和运算能力属于中档题答案解假设妻子在开始的三天驾车的天数为由题意的取值为故的概率分布列为第天时丈夫驾车的概率为则第天为丈夫驾车的概率为所以故是以为首项为公比的等比数列所以即通项公式为解析假设妻子在开始的三天驾车的天数为的取值为计算对应概率写出分布列计算期望即可第天由丈夫驾车则第天为丈夫驾车的概率为构造是以为首项为公比的等比数列写出通项公式即可本题考查离散型随机变量的应用等比数列通项公式的应用属于中档题第15页共20页2由题意得119886221198861119886321198862119886421198863是等比数列即1198863211988622119886221198861119886421198863利用数列的递推式可得119886311988622111988641198862321198862联立求解即可得出答案本题考查数列的求和考查转化思想考查逻辑推理能力和运算能力属于中档题答案解1假设妻子在开始的三天驾车的天数为119883由题意119883的取值为012119875119883012141414112811987511988311211414123411412143411214143431128119875119883211198751198830119875119883134故119883的概率分布列为11988301211987511283112834119864119883011281311282342231282第119899天时丈夫驾车的概率为119875119899则第1198991天为丈夫驾车的概率为1198751198991141198751198991119875119899134119875119899所以1198751198991473411987511989947119875112故11987511989947是以1247114为首项34为公比的等比数列所以11987511989947114341198991即通项公式为11987511989947114341198991111989960解析1假设妻子在开始的三天驾车的天数为119883119883的取值为012计算对应概率写出分布列计算期望即可2第119899天由丈夫驾车119875119899则第1198991天为丈夫驾车的概率为1198751198991141198751198991119875119899134119875119899构造11987511989947是以1247114为首项34为公比的等比数列写出通项公式即可本题考查离散型随机变量的应用等比数列通项公式的应用属于中档题第页共页答案解证明如图作垂足为连接且是等腰直角三角形又又由余弦定理得平面又平面平面平面且平面平面平面平面又平面以为原点建立空间直角坐标系如图则则设平面的法向量为则取得设平面的法向量则取得设二面角的平面角为由图知是锐角解析作垂足为可得又可得平面根据线面垂直的性质即可证明第16页共20页答案解1证明如图作119875119874119860119861垂足为119874连接119862119874119875119874119861119874且11987511986111986045119875119861119874是等腰直角三角形又119875119861221198741198611198741198752又1198611198622211986211986111987445由余弦定理得1198621198742119861119874211986211987421198611198622119874119861119874119862119874119875119874119862119874119874119861平面119875119874119862又119875119862平面1198751198741198621198741198611198751198621198601198611198751198622平面119875119860119861平面119860119861119862且平面119875119860119861平面119860119861119862119860119861119875119874119860119861119875119874平面119875119860119861119875119874平面119860119861119862又119874119862平面119860119861119862119875119874119874119862以119874为原点建立空间直角坐标系如图则119860100119862020119875002则119862119860120119862119861220119862119875022设平面119860119875119862的法向量为119898119909119910119911则119898119862119860119909211991001198981198621198612119909211991021199110取1199092得119898211设平面119861119875119862的法向量119899119886119887119888则119899119862119861211988621198870119899119862119875211988721198880取1198861得119899111设二面角119861119875119862119860的平面角为120579由图知120579是锐角119888119900119904120579119898119899119898119899211411111223解析1作119875119874119860119861垂足为119874可得119874119861119874119862又119875119874119861119874可得119874119861平面119875119874119862根据线面垂直的性质即可证明第页共页以为原点建立空间直角坐标系求出两个平面的法向量即可求二面角的余弦值本题考查线面垂直线线垂直的判定与性质二面角的余弦值等基础知识考查运算求解能力是中档题答案解由题意可得可得所以设则当与轴垂直时因为则所以解得所以双曲线的标准方程为由可知设直线的方程为联立得所以因为直线与双曲线左支相交于两点所以解得因为所以且所以同理可得第17页共20页2以119874为原点建立空间直角坐标系119874119909119910119911求出两个平面的法向量即可求二面角的余弦值本题考查线面垂直线线垂直的判定与性质二面角的余弦值等基础知识考查运算求解能力是中档题答案解1由题意可得21198888可得1198884所以1198862119887216设1198601199091119910111986111990921199102则1198721119910111987311199102当119860119861与119909轴垂直时因为11986011986111987211987312则119910111991026所以1611988623611988721解得119886211988723所以双曲线119862的标准方程为1199092411991021212由1可知1198721119910111987311199102设直线119860119861的方程为1199091198981199104联立1199091198981199104119909241199102121得311989821119910224119898119910360所以1205492411989824311989821361441198982144011991011199102241198983119898211199101119910236311989821119909111990921198981199101119910281198982411989831198982188311989821119909111990921198981199101411989811991024119898211991011199102411989811991011199102161198982363119898214119898241198983119898211612119898216311989821因为直线119860119861与双曲线左支相交于两点所以119909111990920解得33119875119872232119910121199101212因为11990912411991012121所以1199101212311990912且1199091所以11987511987231199091同理可得11987511987331199092第页共页所以整理得所以所以因为为定值所以或解得或解析由题意可得解得则设当与轴垂直时当与轴垂直时可得将代入双曲线的方程可得解得即可得出答案由可知设直线的方程为联立双曲线的方程结合韦达定理可得由直线与双曲线左支相交于两点得解得计算再化简即可得出答案本题考查曲线的方程直线与双曲线的相交问题解题中需要一定的计算能力属于中档题答案解当时则设则令得或所以在上单调递增在上单调递减在上单调递增又当时存在使得及所以在和上单调递减在和上单调递增第18页共20页所以111987511987211990511198751198731199051311990911199051311990921199051311989811991011199054313119898119910211990543整理得11198751198721199051119875119873119905311989811991011199102211990543311989821199101119910231198981199054311991011199102119905432所以1119875119872119905111987511987311990524311989822119905433119898211081198982243119898211990543119905432311989821所以111987511987211990511198751198731199056119905119898221199054331199052361198982119905432因为11198751198721199051119875119873119905为定值所以61199053119905236211990543119905432或11990543解得1199053或11990543解析1由题意可得21198888解得119888则1198862119887216设1198601199091119910111986111990921199102当119860119861与119909轴垂直时1198721119910111987311199102当119860119861与119909轴垂直时可得119910111991026将46代入双曲线的方程可得1611988623611988721解得119886119887即可得出答案2由1可知1198721119910111987311199102设直线119860119861的方程为1199091198981199104联立双曲线的方程结合韦达定理可得11991011199102119910111991021199091119909211990911199092由直线119860119861与双曲线左支相交于两点得11990911199092119909111990920解得33本题考查曲线的方程直线与双曲线的相交问题解题中需要一定的计算能力属于中档题答案解当11988614时119891119909119897119899119909211990924119909119887119909则119891119909111990941199094119887119909241199093411990921199091198871199092设1198651199094119909341199092119909119887则119865119909121199092811990912119909161199091令1198651199090得11990912或16所以119865119909在016上单调递增在1612上单调递减在12上单调递增又11986501198651211988711986516119887227当227使得1198651199051119865119905211986511990530及1198911199051119891119905211989111990530所以119891119909在01199051和11990521199053上单调递减在11990511199052和1199053上单调递增第页共页即不符合题意当时在上恒成立则存在使得所以在上单调递减在上单调递增即符合题意又则综上所述的最小值为证明设则所以当即时则单调递增又时所以存在使得所以在上单调递减在上单调递增又时时所以存在唯一的使得即当即时存在使得且所以在和上单调递增在上单调递减又当时且时所以存在使得所以在上单调递减在上单调递增第19页共20页即227当119887227时1198651199090在012上恒成立则存在11990512使得1198651199050所以119891119909在0119905上单调递减在119905上单调递增即119887227符合题意又119865119905211990513119905231198872270211990513211990523则11990523综上所述119905的最小值为232证明1198911199091119909119909119897119899119909211990931199092119886119887设119892119909119909119897119899119909211990931199092119886119887则1198921199091198971198991199096119909221198861199091所以1198921199091119909121199092119886当2119886212即11988636时1198921199090则119892119909单调递增又1199090时119892119909119909119892119909所以存在11990900使得11989211990900所以119892119909在01199090上单调递减在1199090上单调递增又1199090时119892119909119887所以存在唯一的11990911199090使得11989211990910即11989111990910当2119886212即0存在1199092036119909336使得119892119909211989211990930且111990921211990922119886所以119892119909在01199092和1199093上单调递增在11990921199093上单调递减又当11990901199093时119892119909119892119909211989711989911990926119909222119886119909211198971198991199092611990922且119909时119892119909所以存在11990900使得11989211990900所以119892119909在01199090上单调递减在1199090上单调递增第页共页又时时所以存唯一的使得即综上所述对于任意仅存在唯一的零点解析当时则设求导分析的极值进而可得的单调区间即可得出答案设求导分析单调性极值进而可得的零点即可得出答案本题考查导数的综合应用解题中需要理清思路属于中档题第20页共20页又1199090时119892119909119887所以存唯一的11990911199090使得11989211990910即11989111990910综上所述对于任意1198861198870119891119909仅存在唯一的零点解析1当11988614时119891119909119897119899119909211990924119909119887119909则11989111990941199093411990921199091198871199092设1198651199094119909341199092119909119887求导分析119865119909的极值进而可得119891119909的单调区间即可得出答案21198911199091119909119909119897119899119909211990931199092119886119887设119892119909119909119897119899119909211990931199092119886119887求导分析单调性极值进而可得119891119909的零点即可得出答案本题考查导数的综合应用解题中需要理清思路属于中档题