一个闯关游戏式”教学案例.docx

一个“闯关游戏式”教学案例 江苏省苏州市高新区第一中学（215011）吴鹏  一、设计缘起 闯关小游戏是以闯关获胜为目的flash小游戏的通称,玩家通过熟练的操作技巧，通过游戏中设置的各种关卡考验，最终完成游戏目标。将闯关小游戏和数学课堂结合起来又会如何呢？笔者一次复习课中在所带的理科实验班做了尝试，过程如下。 二、设计方案 已知数列{an}满足a1=3,a2=6,an=an－1－an－2(n∈N,n≥3)。 （1）求数列的前几项，直到你能发现规律为止； （2）这种规律用数学语言可描述为； （3）据此规律, a2013应为； （4）证明你发现的规律； （5）猜想数列{an}的一个通项公式。 如果你觉得猜想有一些困难的话,请思考（6）并亲手作实验。 （6）在直角坐标系中描出点An(n,an)(n=1,2,…,6,…),然后用光滑的曲线将点列连结,你见过类似的曲线吗? （7）现在你能猜想数列{an}的通项公式吗?你能证明吗? 如果以上（1）-（7）关,有哪一关受阻,请直接跳到第(8)关。 （8）设α=1－3i2,β=1+3i2,以α、β为两根的一元二次方程是x2=； （9）第（8）中的方程称为an=an－1－an－2的特征方程,则用α、β可将an表示为an=an-1an-2； （10）于是{an－αan－1}是数列； （11）同理{an－βan－1}是数列； （12）通过了（8）-（11）关,求an表达式就水到渠成了,祝贺你能求得an=； 如果有兴趣的话,请继续你的旅途。 （13）在复数中,有著名的棣美佛公式(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ,这个公式可比二项式定理简洁多了； （14）你能解释（7）与（12）两个结论的等价性吗？ 三、教学实录 师：（多媒体逐步出示上述问题）。 （1）：生：计算数列{an}的前6项，便能发现规律a1=3,a2=6,a3=3,a4=－3,a5=－6,a6= －3,an+3=－an(n∈N*)。 最多计算数列{an}的前12项，即可发现规律a7=3,a8=6,a9=3,a10=－3,a11=－6,a12=－3。 因此我们猜想数列{an}的规律是:以6为周期的数列。 （2）： 生：类比函数周期性定义将猜想的规律用数学语言描述为:对任意n∈N*，都有an+6=an。 （3）： 生： a2013=a6×335+3=a3=3。 （4）： 生：（板演）由递推关系式an=an－1－an－2 an－1=an－2－an－3?an=－an－3(n≥4)。 设任意n∈N*,n+3代替上式中的n得  an+3=－an，故an+6=－an+3=－(－an）=an。 （5）： 绝大部分学生面露难色。 师：出示（6）。 设计意图：由（4）中的数列的周期性,我们联想到三角函数的周期性,于是我们可以尝试用三角函数来改造数列的项。 （6）： 师：大家先描点后连线。 生：描点连线后,发现一个令人振奋的信号:点An有可能位于正弦曲线上。 图1 师：为什么猜想位于正弦曲线上？ 生：可由特殊到一般a1=3=6·12=6sinπ6;a2=6·1=6sinπ2=6sin3π6;a3=6·12=6sin5π6;a4=6·(－12)=6sin7π6;a5=6·(－1)=6sin9π6;a6=6·(－12)=6sin11π6。于是我们猜想 an=6sin2n－16π(n∈N*)。 因此我们可用正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω0)来拟合数列{an}。 由图1可知：A=6，T2=3=πω,ω=π3，故f(x)=6sin(π3x+φ)。观察最高点坐标(2,6），代入f(x)=6sin(π3x+φ)得sin(φ+2π3)=1,φ+2π3=2kπ+π2,φ=2kπ－π6,令k=0，得φ=－π6，故f(x)=6sin(π3x-π6)=6sin2x-16π。 设计意图：子问题（5）对学生思维能力要求较高,很多学生无法顺利完成,因此我设计了一个数学实验,力求创建一个直观的情境,借助视觉感受激发联想,解决问题。 （7）：生：由于点列An(n,an)在f(x)=  6sin2x-16π上，故猜想an=6sin2n-16π(n∈N*)。 设计意图：对于猜想an=6sin2n-16π，我们想用数学归纳法来证明它。但稍加分析就能发现本题故障为递推式ak+1=ak－ak－1,牵涉三项之间的关系,仅凭ak我们无法导出ak+1,因此必须同时假设n=k－1,n=k时,命题成立(相应的,在奠基步骤中也要增加起点n=1,n=2),但教材中没有涉及,那么如何找到一个只涉及两项的递推式呢?显然这一结论在问题（4）中,即an+6=an。 当n=1时，a1=3=6sin2·1－16π,故n=1，猜想成立； 假设n=k(k∈N,k≥1)时，猜想成立，即  ak=6sin2k－16π,当n=k+6时，ak+6=ak=  6sin2k－16π=6sin(2k－16π+2π）=  6sin2(k+6）－16π,故n=k+6时，猜想成立。 上述证明了{an}的一个子列{a6n-5}成立。同理可证其他五个子列即{a6n-4}、{a6n-3}、{a6n-2}、{a6n-1}、{a6n}也成立，从而猜想成立。 （8）：生： 由α+β=1，αβ=|α|2=1，故α，β是方程x2－x+1=0的两个虚根，所以x2=x－1。 设计意图：由an=an－1－an－2到方程x2－x+1=0的两个虚根，此处思维跨越很大，所以教师直接给出α、β，将问题的求解导向另一个方向——方程的虚根。 （9）：生：∵x2=x－1=(α+β)x－αβ,故an=(α+β)an－1－αβan－2。 （10）：生： ∵an－αan－1=β(an－1－αan－2),令bn=an－αan－1,则bn-1=an-1－αan－2，bn=βbn-1。故{bn}是以b2=a2－αa1为首项，β为公比的等比数列。即{an－αan－1}是以a2－αa1为首项，β为公比的等比数列。 （11）：同理{an－βan－1}是以a2－βa1为首项，α为公比的等比数列。 （12）：an－αan－1=(a2－αa1)βn－2①,an－βan－1=(a2－βa1)αn－2②,①×β-②×α得(β－α)an=(a2－αa1)βn－1－(a2－βa1)αn－1，β=1+3i2,α=1－3i2,a1=3,a2=6,a2－αa1=33·3+i2,a2－βa1=33·3－i2,3ian=333+i2(1+3i2)n－1 －3－i2(1－3i2)n－1,an=31+3i2(1－3i2)n－1+1－3i2(1+3i2)n－1=3(1－3i2)n－2+ (1+3i2)n－2。 设计意图：由于（10）、（11）两问已经完成了问题的化归，即将非常规数列转化成了基