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高中数学学科测试试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 总分 得分 评卷人 得　分 一．单选题（共__小题） 1．设集合P={x|x=2k-1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0•y0，则（　　） A．a∈P，b∈Q B．a∈Q，b∈P C．a∈P，b∈P D．a∈Q，b∈Q 2．用C（A）表示非空集合A中元素个数，定义A*B=
，若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}且A*B=1，则实数a的所有取值为（　　） A．0 B．0，-
C．0，2
D．-2
，0，2
3．设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3-a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为（　　） A．78 B．76 C．84 D．83 4．已知集合M={m∈R|m≤
}，a=
+
，则（　　） A．{a}∈M B．a∉M C．{a}是M的真子集 D．{a}=M 5．下列各式：①1∈{0，1，2}；②∅⊆{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2004}；④{0，1，2}⊆{0，1，2}；⑤{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．设A={y|y=-1+x-2x2}，若m∈A，则必有（　　） A．m∈{正有理数} B．m∈{负有理数} C．m∈{正实数} D．m∈{负实数} 7．已知集合A={1，2，3}，则B={x-y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（　　） A．9 B．5 C．3 D．1 8．设集合
，m=20.5，则下列关系中正确的是（　　） A．m⊊P B．m∉P C．m∈P D．m⊆P 9．设M={a}，则下列写法正确的是（　　） A．a=M B．a∈M C．a⊆M D．a
M 10．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论： ①2013∈[3]； ②-2∈[2]； ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④当且仅当“a-b∈[0]”整数a，b属于同一“类”． 其中，正确结论的个数为．（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．下列六个关系式：①{a，b}⊆{b，a}②{a，b}={b，a}③0=∅④0∈{0}⑤∅∈{0}⑥∅⊆{0}其中正确的个数为（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 12．设集合P={x|x2+x-6=0}，则集合P的元素个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 13．已知集合A={a}，则下列各式正确的是（　　） A．a
A B．a∈A C．a∉A D．a=A 评卷人 得　分 二．简答题（共__小题） 14．若集合{x，y，x}={1，2，3}，且下列三个关系：①x=1；②y≠1③z=2有且只有一个是正确的，求符合条件的有序数组（x，y，z） 15．S1、S2、S3为非空整数集合，对应1、2、3的任意一个排列i、j、k，若x∈Si，y∈Sj，则y-x∈Sk （1）证明：3个集合中至少有两个相等 （2）3个集合中是否可能有两个集合无公共元素？ 16．已知集合A={x∈R|x2+2x+a=0}． （1）若A中只有一个元素，求实数a的值，并求出这个元素； （2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 17．已知集合A={0，2a-1，a2}，B={a-5，1-a，9}，分别求符合下列条件的a的值． （1）9∈（A∩B）； （2）{9}=A∩B． 18．当a，b在实数范围内变化时，函数f（x）=acosx+bsinx的全体记为集合M． （1）求证：当a1=a2，b1=b2（a1，a2，b1，b2∈R）不同时成立时，f1（x）=a1cosx+b1sinx和f2（x）=a2cosx+b2sinx是集合M中的两个不同的元素； （2）若f0（x）=a0cosx+b0sinx∈M，对任意t∈R，函数f0（x+t）的全体记为集合A，证明：A⊆M． 19．设M=a{a|a=x2-y2，x，y∈Z}． （1）求证：2k+1∈M，（其中k∈Z）； （2）求证：4k-2∉M，（其中k∈Z） （3）属于M的两个整数，其积是否属于M． 20．已知集合A={x|x=3n+1，n∈Z}，B={x|x=3n+2，n∈Z}，M={x|x=6n+3，n∈Z}，对于任意a∈A，b∈B，是否一定有a+b=m且m∈M？  高中数学学科测试试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 总分 得分 评卷人 得　分 一．单选题（共__小题） 1．设集合P={x|x=2k-1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0•y0，则（　　） A．a∈P，b∈Q B．a∈Q，b∈P C．a∈P，b∈P D．a∈Q，b∈Q 答案：A 解析： 解：∵x0∈P，y0∈Q， 设x0=2k-1，y0=2n，n，k∈Z， 则x0+y0=2k-1+2n=2（n+k）-1∈P， x0y0=（2k-1）（2n）=2（2nk-n），故x0y0∈Q． 故a∈P，b∈Q， 故选A． 2．用C（A）表示非空集合A中元素个数，定义A*B=
，若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}且A*B=1，则实数a的所有取值为（　　） A．0 B．0，-
C．0，2
D．-2
，0，2
答案：D 解析： 解：由于（x2+ax）（x2+ax+2）=0等价于x2+ax=0①或x2+ax+2=0②， 又由A={1，2}，且A*B=1， ∴集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合， 1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根， ∴a=0； 2°集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根， 即
， 解得a=±2
， 综上所述a=0或a=±2
， 故选：D． 3．设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3-a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为（　　） A．78 B．76 C．84 D．83 答案：D 解析： 解：从集合S中任选3个元素组成集合A，一个能组成C93个， 其中A={1，2，9}不合条件，其它的都符合条件， 所以满足条件的集合A的个数C93-1=83． 故选D． 4．已知集合M={m∈R|m≤
}，a=
+
，则（　　） A．{a}∈M B．a∉M C．{a}是M的真子集 D．{a}=M 答案：C 解析： 解：

； ∴
，即a＜
； ∴a∈M，且存在
∈M，但
∉{a}； ∴{a}是M的真子集． 故选：C． 5．下列各式：①1∈{0，1，2}；②∅⊆{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2004}；④{0，1，2}⊆{0，1，2}；⑤{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：A 解析： 解：：①1∈{0，1，2}，元素与集合之间用属于符号，故正确； ②∅⊆{0，1，2}；空集是任何集合的子集，正确 ③{1}∈{0，1，2004}；集合与集合之间不能用属于符号，故不正确； ④{0，1，2}⊆{0，1，2}，集合本身是集合的子集，故正确 ⑤{0，1，2}={2，0，1}，根据集合的无序性可知正确； 故选：A 6．设A={y|y=-1+x-2x2}，若m∈A，则必有（　　） A．m∈{正有理数} B．m∈{负有理数} C．m∈{正实数} D．m∈{负实数} 答案：D 解析： 解：y=
； ∴若m∈A则m＜0，所以m∈{负实数}． 故选D． 7．已知集合A={1，2，3}，则B={x-y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（　　） A．9 B．5 C．3 D．1 答案：B 解析： 解：∵A={1，2，3}，B={x-y|x∈A，y∈A}， ∴x=1，2，3，y=1，2，3． 当x=1时，x-y=0，-1，-2； 当x=2时，x-y=1，0，-1； 当x=3时，x-y=2，1，0． 即x-y=-2，-1，0，1，2．即B={-2，-1，0，1，2}共有5个元素． 故选：B． 8．设集合
，m=20.5，则下列关系中正确的是（　　） A．m⊊P B．m∉P C．m∈P D．m⊆P 答案：C 解析： 解：∵集合
=
， m=20.5=
，则m∈P． 故选C． 9．设M={a}，则下列写法正确的是（　　） A．a=M B．a∈M C．a⊆M D．a
M 答案：B 解析： 解：因为集合M={a}，a是集合的元素，所以选项B正确；A、C、D错在a不是集合． 故选B． 10．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论： ①2013∈[3]； ②-2∈[2]； ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④当且仅当“a-b∈[0]”整数a，b属于同一“类”． 其中，正确结论的个数为．（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析： 解：①∵2013÷5=402…3，∴2013∈[3]，故①正确； ②∵-2=5×（-1）+3，∴-2∈[3]，故②错误； ③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确； ④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0， 反之也成立，故当且仅当“a-b∈[0]”整数a，b属于同一“类”．故④正确． 正确的结论为①③④． 故选：C． 11．下列六个关系式：①{a，b}⊆{b，a}②{a，b}={b，a}③0=∅④0∈{0}⑤∅∈{0}⑥∅⊆{0}其中正确的个数为（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 答案：C 解析： 解：根据集合自身是自身的子集，可知①正确； 根据集合无序性可知②正确； 根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 故选C． 12．设集合P={x|x2+x-6=0}，则集合P的元素个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析： 解：集合P={x|x2+x-6=0}， 解方程x2+x-6=0，得两根：2，-3 则集合P的元素个数是2． 故选C． 13．已知集合A={a}，则下列各式正确的是（　　） A．a
A B．a∈A C．a∉A D．a=A 答案：B 解析： 解：∵集合A={a}， ∴a∈A 故选B 评卷人 得　分 二．简答题（共__小题） 14．若集合{x，y，x}={1，2，3}，且下列三个关系：①x=1；②y≠1③z=2有且只有一个是正确的，求符合条件的有序数组（x，y，z） 答案： 解：（1）若x=1正确，则y≠1正确，不符合只有一个正确； （2）若y≠1正确，则x≠1，z≠2； ∴z=1，x=2，y=3，或z=1，x=3，y=2； （3）若z=2正确，则x≠1，y=1； ∴x=3，y=1，z=2； ∴符合条件的有序数组（x，y，z）为：（2，3，1），（3，2，1），（3，1，2）． 解析： 解：（1）若x=1正确，则y≠1正确，不符合只有一个正确； （2）若y≠1正确，则x≠1，z≠2； ∴z=1，x=2，y=3，或z=1，x=3，y=2； （3）若z=2正确，则x≠1，y=1； ∴x=3，y=1，z=2； ∴符合条件的有序数组（x，y，z）为：（2，3，1），（3，2，1），（3，1，2）． 15．S1、S2、S3为非空整数集合，对应1、2、3的任意一个排列i、j、k，若x∈Si，y∈Sj，则y-x∈Sk （1）证明：3个集合中至少有两个相等 （2）3个集合中是否可能有两个集合无公共元素？ 答案： 解：（1）证明：若x∈Si，y∈Sj，则y-x∈Sk，从而（y-x）-y=-x∈Si，所以Si中有非负元素； 由i，j，k的任意性可知三个集合中都有非负元素； 若三个集合都没有0，则取S1∪S2∪S3中最小的正整数a（由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在）； 不妨设a∈S1，取S2∪S3中的最小正整数b，并不妨设b∈S2，这时b＞a（否则b不可能大于a，只能等于a，所以b-a=0∈S3，矛盾）； 但是，这样就导致了0＜b-a＜b，且b-a∈S3，这时与b为S2∪S3中的最小正整数矛盾； ∴三个集合中必有一个集合含有0． ∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S1，则对任意x∈S2，有x-0=x∈S3； ∴S2包含于S3； 对于任意y∈S3，有y-0=y∈S2； ∴S3包含于S2，则S2=S3； 综上所述，这三个集合中必有两个集合相等； （2）可能； 比如S1={奇数}，S2={奇数}，S3={偶数}； 这时S1∩S3=∅． 解析： 解：（1）证明：若x∈Si，y∈Sj，则y-x∈Sk，从而（y-x）-y=-x∈Si，所以Si中有非负元素； 由i，j，k的任意性可知三个集合中都有非负元素； 若三个集合都没有0，则取S1∪S2∪S3中最小的正整数a（由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在）； 不妨设a∈S1，取S2∪S3中的最小正整数b，并不妨设b∈S2，这时b＞a（否则b不可能大于a，只能等于a，所以b-a=0∈S3，矛盾）； 但是，这样就导致了0＜b-a＜b，且b-a∈S3，这时与b为S2∪S3中的最小正整数矛盾； ∴三个集合中必有一个集合含有0． ∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S1，则对任意x∈S2，有x-0=x∈S3； ∴S2包含于S3； 对于任意y∈S3，有y-0=y∈S2； ∴S3包含于S2，则S2=S3； 综上所述，这三个集合中必有两个集合相等； （2）可能； 比如S1={奇数}，S2={奇数}，S3={偶数}； 这时S1∩S3=∅． 16．已知集合A={x∈R|x2+2x+a=0}． （1）若A中只有一个元素，求实数a的值，并