电磁场教案

1教案课程电磁场与电磁波内容第1章矢量分析课时8学时教师赵玲玲2课题矢量分析科目电磁场与电磁波课时6学时教师赵玲玲授课班级时间学年第学期教学目的与要求知识目标理解矢量与标量的定义矢量的代数运算关系理解标量场与矢量场的概念复习直角坐标系圆柱坐标系和球面坐标系这三个最常用的正交坐标系以及三种坐标系中单位矢量之间的关系理解矢量函数的通量与散度5定义高斯散度定理了解其应用6理解矢量函数的环量与旋度7定义斯托克斯定理了解其应用8理解标量函数的方向导数与梯度9格林公式及其应用10亥姆霍兹定理及其意义能力目标根据学生已具备的关于矢量和坐标系等方面数学知识进一步引导学生对数学知识的应用和拓展培养学生的想象力及利用所学知识分析总结问题的能力情感目标引导学生将抽象的数学分析与现实物理世界尽可3能融合激发学生对理论学习的热情概述电磁场理论着重于研究电磁现象及其场的基本规律其中所涉及到的一些物理量如电场强度磁场强度等都具有确切的物理意义当对这些物理量的描述与空间坐标或方向性有关时通常需要使用矢量来描述它们这些矢量在空间的分布就构成了所谓的矢量场为了后面各章学习方便本章首先介绍在分析矢量场时所需要的一些矢量代数和场的相关知识教学重点矢量的通量与散度矢量的环流与旋度标量的梯度等概念教学难点矢量的通量与散度矢量的环流与旋度标量的梯度等概念的理解和计算教学方法讲述法演示法发现法讨论法教学环境教室教学准备课件教学过程1复习提问2引入新课3讲解新课4归纳总结5布置作业学时分配矢量代数正交坐标系标量场矢量场2学时通量散度高斯定理环流旋度斯托克斯定理2学时4方向导数梯度格林公式亥姆霍兹定理2学时习题课2学时小计8学时教学环节教学过程5复习引入新课讲述新课多媒体课件展示第1章矢量分析提示本章的重点内容提问什么叫矢量矢量和标量的关系多媒体课件展示1矢量代数1矢量和标量的定义以及表示2矢量的加法和减法3矢量的标积4矢量的矢积5常用的矢量运算恒等式设置悬念激发探究提问什么叫场场由什么构成你对场的认识是怎样的场有大小和方向吗如何描述多媒体课件展示直角坐标系圆柱坐标系和球面坐标系在这里我们将要说明标量场用空间和时间变量的标量函数表示而矢量场则用空间和时间变量的矢量函数表示然而首先要明确的是本章所说的场是什么从我们对本章内容的研究观点来看这里所说的场是指某种物理量在空间的分布具有标量特征的物理量在空间的分布是标量场具有矢量特征的物理量在空间的分布是矢量场场是物理量的分布应服从因果律其因称之为场源场都是由场源产生的场源场的环境这三者之间的关系可用一组微分方程描述电磁场及其源的关系的方程就是被称为麦克斯韦方程组它是一组矢量偏微分方程组多媒体课件展示用矢量线来描述场6提问在不同坐标系中场如何描述引导学生能与电磁波的运行进行联想吗多媒体课件展示12正交坐标系1直角坐标系2圆柱坐标系3球坐标系4三种坐标系之间的相互转换5坐标系中单位矢量的概念提问三种坐标系中单位矢量之间的关系是什么样的多媒体课件展示13矢量函数的通量与散度为了研究矢量场的空间变化情况我们需要引入矢量场的散度divergence的概念矢量函数的散度是一个标量函数它表示矢量场中任意一点处通量对体积的变化率即描述了通量源的强度因此在具体讨论散度之前必须先从通量的概念入手矢量场中曲面上取一个面元因为ds很小在面元上的矢量可看作相等方向也可看作相同那么称为矢量穿过的通量flux记作提问表示了什么物理意义又表示了什么物理意义现象观察矢量的投影设问为什么要将矢量投影到曲面的法线方向7结论矢量场也称为通量面密度矢量引导学生想象水流结论流过某个截面积的流量就是通量设问如果想要知道水流流过这个截面积时的分布情况怎么办呢引出散度divergence记作div即1div表示在场中任意一点处通量对体积的变化率也可看作在该点处一个单位体积通过的通量它表示了场中各点的场与通量源的关系2当div0时表明该点存在正源是发出能量线的当div0时表明该点存在负源是吸收通量线的当div0时表明该点无源另外div与所取的体积形状无关因为当0时所有的尺寸都趋于03引入一个矢性微分算子称为哈密顿算子WRHamiltonoperator即于是散度在直角坐标系下的表示式可以写成4高斯散度定理该定理用数学表达式可描述为8其意义是任意矢量函数的散度在场中任意一个体积内的体积分等于该矢量函数在限定该体积的闭合面的法线分量沿闭合面的面积分亦即一个矢量通过一闭合面的通量等于该矢量的散度对该闭合面所包围的体积的体积分多媒体课件展示14矢量函数的环量与旋度提问对于磁场在任意曲面内都有似乎是无源的其场又是如何产生的呢事实上它只是没有通量源其场就是由旋涡源产生的要讨论旋涡源所形成的场就需要讨论矢量场的旋度rotation要讨论矢量函数的旋度必须先引入环量的概念提问什么叫环量引导学生想象水流中的漩涡引出环量在矢量场中取任意一闭合路径矢量函数沿闭合路径的线积分称为矢量沿闭合曲线的环量是闭合路径上的线元矢量即路径上的切向长度矢量为该点处与的夹角因此提示学生注意上式中又出现了和点乘解释其物理意义结论环量是一个代数量标量其大小和正负与矢量场的分布有9关而且与所取积分环绕方向有关环量表示绕线旋转趋势的大小设问如果想要知道漩涡的分布情况怎么办呢结论环量只能描述闭合路径内是否存在漩涡源而不能描述场中某一具体点的性质和分布规律若要进一步地描述这些规律就需要引入旋度引出旋度rotation记作rot当面元矢量与旋涡轴方向相重合时极限值为最大值也就是该矢量的模这个矢量称为的旋度记作rot2引入一个矢性微分算子称为哈密顿算子WRHamiltonoperator即3rot4斯托克斯定理一个矢量函数的环量等于该矢量函数的旋度对该闭合曲线所包围的任意曲面的积分该定理用数学表达式可描述为105旋度的性质任何一个矢量的旋度的散度恒等于0用数学公式可表示为6旋度运算符合如下规则7数学上将称为拉普拉斯Laplace算子并且有在直角坐标系中结论旋度表示旋涡源与其产生的场之间的关系如果在矢量场空间场的旋度处处等于则这种场称为无旋场或保守场如静电场重力场但在无旋场中散度必不为否则将无任何场存在散度表示通量源与其产生的场之间的关系如果在矢量场空间场的散度处处为则这种场称为管形场或无散场在实际的物理世界中通常都存在着由通量源和旋涡源共同产生的矢量场如运动电荷所产生的场当然也可能会在有限的区域内存在着既无散又无旋的无源矢量场这种场被称为调和场多媒体课件展示15标量函数的方向导数与梯度11提问如何对标量场进行分析能否利用上述的通量与散度环量与璇度分析标量场在什么条件下矢量场才可以标量来描述呢先引导学生观察等值面图124再向学生分析等值面的性质标量场中每一点都有一个等值面通过且只有一个也就是说等值面充满整个标量场所在的空间且互不相交引出方向导数Derivative方向导数表达式为提问函数沿哪个方向的变化率最大呢最大变化率又是多少呢引出梯度Graduate记作gradgrad1矢量的方向就是函数uxyz变化率最大的方向其大小正好是这个最大变化率的数值因此我们把矢量称作函数uxyz在给定点处的梯度梯度可表示为grad2标量函数的梯度有如下性质1一个标量函数的梯度是一个矢量函数梯度的方向就是函数变化率最大的方向即与等值面垂直的法向方向并且数值增大的方12向梯度的模等于函数在该点的最大变化率的数值2在标量场中任意一点处的梯度垂直于过该点的等值面且指向函数u增大的方向3函数在给定点处沿任意方向的方向导数等于函数的梯度在方向上的投影即cos4梯度的重要性质梯度的旋度恒等于0其数学表达式为rotgrad03梯度运算有如下规则多媒体课件展示16格林公式格林公式又称格林定理是矢量分析中的重要公式在电磁场理论中在研究解的唯一性和电磁辐射及电磁波传播等问题中经常用到第一格林公式13第二格林公式多媒体课件展示17亥姆霍兹定理提问用散度和旋度是否能唯一地确定一个矢量场呢分析散度和旋度的区别矢量场的散度是一个标量函数而矢量场的旋度却是一个矢量函数散度表示场中某点的通量密度它是场中任一点通量源强度的量度而旋度表示场中某点的最大环量强度它是场中任一点处旋涡源强度的量度从散度公式可知它取决于场分量对x的偏导数对y的偏导数以及对z的偏导数所以散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定而由旋度公式可知它取决于分量对yz的偏导数和对xz的偏导数以及14归纳总结对yx的偏导数所以旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定以上比较说明散度表示矢量场中各点的场与通量源的关系而旋度表示场中各点场与旋涡源的关系因此场的散度和旋度一旦给定就意味着场的通量源和旋涡源都确定了既然场总是由源所激发的通量源和旋涡源的确定便意味着场已确定因而必然导致下述亥姆霍兹定理给出的结论亥姆霍兹定理根据前面几节的讨论可知一个矢量场的散度和旋度说明了矢量场所具有的性质而且可以证明在有限区域V内的任一矢量场由它的散度旋度和边界条件即限定区域V的闭合面S上矢量场的分布唯一地确定这就是亥姆霍兹定理矢量场的分类矢量场可以根据散度和旋度分为无旋场无源场和有旋有源场本章小结若一个物理量既有大小又有方向则它是一个矢量在直角坐标系中矢量可表示为的单位矢量为其中为矢量的模矢量穿过曲面的通量为矢量在某点的散度定义为15矢量的散度是标量表示从该点散发的通量体密度它描述了该点的通量源强度在直角坐标系中高斯散度定理散度的性质旋度的散度恒等于零于是当一个矢量的散度恒为零时该矢量可以表示为另一个矢量的旋度3矢量沿闭合曲线的线积分称为沿该曲线的环量矢量在某点的旋度定义为矢量的旋度还是矢量其大小表示了是最大环量面密度它描述了场中旋涡源的强度在直角坐标系中斯托克斯定理旋度的性质梯度的旋度恒等于零于是当一个矢量的旋度恒为零时该矢量可以表示成一个标量函数的梯度4标量在某点沿方向的变化率称为沿该方向的方向导数标量在该点的梯度与方向导数的关系为标量的梯度是一个矢量它的大小和方向就是该点最大变化率的大小和方向在直角坐标系中16标量场中相同值的点构成等值面在等值面的法线方向上值变化最快因此梯度的方向也就是等值面的法线方向该法线方向单位矢量可表示为5算子是一个兼有矢量和微分运算作用的矢性微分运算符号可看作两个矢量的标量积在场的分析中定义为的散度计算时先按标量积规则展开再作微分运算可看作两个矢量的矢量积在场的分析中定义为的旋度计算时先按矢量积规则展开再作微分运算可看作与相乘将定义为梯度在直角坐标系xyz中在柱坐标系中在球坐标系中为一矢量场若再对求散度则称为标量函数u的拉普拉斯运算并记作即197可看作是一个标量算符称为拉普拉斯算符也是一个微分算符17并且在直角坐标系中有在直角坐标系中可表示为矢量场的拉普拉斯运算定义为可以证明在直角坐标系下注意当算子作用在标量函数上时称为标性拉普拉斯运算当作用在矢量函数时称为矢性拉普拉斯运算两者是不同的两种二阶微分运算在圆柱坐标系下拉普拉斯算符表示式为在球面坐标系下拉普拉斯算符表示式为6亥姆霍兹定理总结了矢量场的共同性质矢量场由它的散度和它的旋度以及边界条件唯一地确定矢量的散度和矢量的旋度各对应于矢量场的一种源所以分析矢量18布置作业场时总是从研究它的散度和旋度着手散度方程和旋度方程构成微分形式的矢量场的基本方程也可以从矢量穿过封闭的通量和沿闭曲线的环量去研究矢量场从而得到积分形式的基本方程课后思考矢量是如何表示的通量和散度的物理意义是什么环量和璇度的物理意义是什么方向导数和梯度的物理意义是什么高斯散度定理的物理意义是什么斯托克斯定理的物理意义是什么哈密顿算子的运算关系是什么拉普拉斯算符的运算关系是什么与的运算关系是什么含义是什么10亥姆霍兹定理告诉我们什么问题