2023-2024学年苏科版九年级数学上册知识点讲义.doc

专题一元二次方程知识讲解学习目标理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义会把一元二次方程化为一般形式会把一元二次方程化为一般形式会用整体思想及一元二次方程的解求代数式的值要点梳理要点一一元二次方程的有关概念一元二次方程的概念通过化简后只含有一个未知数一元并且未知数的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程特别说明识别一元二次方程必须抓住三个条件整式方程含有一个未知数未知数的最高次数是不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程缺一不可一元二次方程的一般形式一般地任何一个关于的一元二次方程都能化成形如这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中是二次项是二次项系数是一次项是一次项系数是常数项特别说明只有当时方程才是一元二次方程在求各项系数时应把一元二次方程化成一般形式指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根中考热点通过方程的解和整体思想降次求代数式的解专题一元二次方程的解法直接开平方法知识讲解学习目标掌握直接开平方法解方程会应用此判定方法解决有关问题理解解法中的降次思想直接开平方法中的分类讨论与换元思想专题11一元二次方程知识讲解学习目标理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义会把一元二次方程化为一般形式2会把一元二次方程化为一般形式3会用整体思想及一元二次方程的解求代数式的值要点梳理要点一一元二次方程的有关概念1一元二次方程的概念通过化简后只含有一个未知数一元并且未知数的最高次数是2二次的整式方程叫做一元二次方程特别说明识别一元二次方程必须抓住三个条件1整式方程2含有一个未知数3未知数的最高次数是2不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程缺一不可2一元二次方程的一般形式一般地任何一个关于x的一元二次方程都能化成形如这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中是二次项是二次项系数bx是一次项b是一次项系数c是常数项特别说明1只有当时方程才是一元二次方程2在求各项系数时应把一元二次方程化成一般形式指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号3一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根4中考热点通过方程的解和整体思想降次求代数式的解专题14一元二次方程的解法直接开平方法知识讲解学习目标掌握直接开平方法解方程会应用此判定方法解决有关问题2理解解法中的降次思想直接开平方法中的分类讨论与换元思想要点梳理直接开平方法解一元二次方程如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方另一边是非负数可以直接开平方一般地对于形如的方程根据平方根的定义可解得直接开平方法适用于解形如或形式的方程如果就可以利用直接开平方法用直接开平方法求一元二次方程的根要正确运用平方根的性质即正数的平方根有两个它们互为相反数零的平方根是零负数没有平方根直接开平方法解一元二次方程的步骤是移项使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为两边直接开平方使原方程变为两个一元二次方程解一元一次方程求出原方程的根专题一元二次方程的解法配方法知识讲解学习目标了解配方法的概念会用配方法解一元二次方程掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤通过用配方法将一元二次方程变形的过程进一步体会转化的思想方法并增强数学应用意识和能力要点梳理知识点一一元二次方程的解法配方法在比较大小中二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法配方的目的是降次把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解配方法的一般步骤可以总结为一移二除三配四开把常数项移到等号的右边方程两边都除以二次项系数方程两边都加上一次项系数一半的平方把左边配成完全平方式若等号右边为非负数直接开平方求出方程的解知识点二配方法的应用用于比较大小在比较大小中的应用通过作差法最后拆项或添项配成完全平方使此差大于零或小于零而比较出大小用于求待定字母的值配方法在求值中的应用将原等式右边变为左边配成完全平方式后再运用非负数的性质求出待定字母的取值用于求最值配方法在求最大小值时的应用将原式化成一个完全平方式后可求出最值用于证明配方法在代数证明中有着广泛的应用我们学习二次函数后还会知道配方法在要点梳理直接开平方法解一元二次方程如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方另一边是非负数可以直接开平方一般地对于形如x2aa0的方程根据平方根的定义可解得x1x2直接开平方法适用于解形如x2p或mxa2pm0形式的方程如果p0就可以利用直接开平方法用直接开平方法求一元二次方程的根要正确运用平方根的性质即正数的平方根有两个它们互为相反数零的平方根是零负数没有平方根直接开平方法解一元二次方程的步骤是移项使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1两边直接开平方使原方程变为两个一元二次方程解一元一次方程求出原方程的根专题16一元二次方程的解法配方法知识讲解学习目标1了解配方法的概念会用配方法解一元二次方程2掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤3通过用配方法将一元二次方程变形的过程进一步体会转化的思想方法并增强数学应用意识和能力要点梳理知识点一一元二次方程的解法4545配方法在比较大小中二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法配方的目的是降次把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解1配方法的一般步骤可以总结为一移二除三配四开2把常数项移到等号的右边3方程两边都除以二次项系数4方程两边都加上一次项系数一半的平方把左边配成完全平方式5若等号右边为非负数直接开平方求出方程的解知识点二配方法的应用1用于比较大小在比较大小中的应用通过作差法最后拆项或添项配成完全平方使此差大于零或小于零而比较出大小2用于求待定字母的值配方法在求值中的应用将原等式右边变为0左边配成完全平方式后再运用非负数的性质求出待定字母的取值3用于求最值配方法在求最大小值时的应用将原式化成一个完全平方式后可求出最值4用于证明配方法在代数证明中有着广泛的应用我们学习二次函数后还会知道配方法在二次函数中也有着广泛的应用特别说明配方法在初中数学中占有非常重要的地位是恒等变形的重要手段是研究相等关系讨论不等关系的常用技巧是挖掘题目当中隐含条件的有力工具同时对后期学习二次函数有着重要的作用同学们一定要把它学好专题一元二次方程的解法公式法知识讲解学习目标理解一元二次方程求根公式的推导过程了解公式法的概念能熟练应用公式法解一元二次方程通过求根公式的推导培养学生数学推理的严密性及严谨性渗透分类的思想要点梳理知识点一公式法解一元二次方程一般地对于一元二次方程如果那么方程的两个根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式利用求根公式我们可以由一元二方程的系数的值直接求得方程的解这种解方程的方法叫做公式法一元二次方程求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程的过程公式法解一元二次方程的具体步骤方程化为一般形式一般化为正值确定公式中的值注意符号求出的值若则把和的值代入公式即可求解若则方程无实数根知识点二一元二次方程根的判别式式子叫做方程根的判别式通常用希腊字母表示它即方程有两个不相等的实数根一元二次方程方程有两个相等的实数根根的判别式方程无实数根专题一元二次方程的解法因式分解法知识讲解学习目标正确理解因式分解法的实质熟练运用因式分解法解一元二次方程通过求根公式的推导培养学生数学推理的严密性及严谨性渗透分类的思想要点梳理知识要点一因式分解法解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程的步骤二次函数中也有着广泛的应用特别说明配方法在初中数学中占有非常重要的地位是恒等变形的重要手段是研究相等关系讨论不等关系的常用技巧是挖掘题目当中隐含条件的有力工具同时对后期学习二次函数有着重要的作用同学们一定要把它学好专题18一元二次方程的解法公式法知识讲解学习目标1理解一元二次方程求根公式的推导过程了解公式法的概念能熟练应用公式法解一元二次方程2通过求根公式的推导培养学生数学推理的严密性及严谨性渗透分类的思想要点梳理知识点一公式法解一元二次方程一般地对于一元二次方程ax2bxc0a0如果b24ac0那么方程的两个根为x这个公式叫做一元二次方程的求根公式利用求根公式我们可以由一元二方程的系数abc的值直接求得方程的解这种解方程的方法叫做公式法一元二次方程求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2bxc0a0的过程公式法解一元二次方程的具体步骤方程化为一般形式ax2bxc0a0一般a化为正值确定公式中abc的值注意符号求出b24ac的值若b24ac0则把abc和b4ac的值代入公式即可求解若b24ac0则方程无实数根知识点二一元二次方程根的判别式式子b24ac叫做方程ax2bxc0a0根的判别式通常用希腊字母表示它即b24ac0方程ax2bxc0a0有两个不相等的实数根一元二次方程0方程ax2bxc0a0有两个相等的实数根根的判别式0方程ax2bxc0a0无实数根专题111一元二次方程的解法因式分解法知识讲解学习目标正确理解因式分解法的实质熟练运用因式分解法解一元二次方程2通过求根公式的推导培养学生数学推理的严密性及严谨性渗透分类的思想要点梳理知识要点一因式分解法解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程的步骤将方程右边化为将方程左边分解为两个一次式的积令这两个一次式分别为得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程它们的解就是原方程的解常用的因式分解法提取公因式法公式法平方差公式完全平方公式十字相乘法等特别说明能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点方程的一边是另一边可以分解成两个一次因式的积用分解因式法解一元二次方程的理论依据两个因式的积为那么这两个因式中至少有一个等于用分解因式法解一元二次方程的注意点必须将方程的右边化为方程两边不能同时除以含有未知数的代数式解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题它是首选知识要点二换元法解一元二次方程解数学题时把某个式子看成一个整体用一个变量去代替它从而使问题得到简化这叫换元法换元的实质是转化关键是构造元和设元理论依据是等量代换目的是变换研究对象将问题移至新对象的知识背景中去研究从而使非标准型问题标准化复杂问题简单化变得容易处理我们常用的是整体换元法是在已知或者未知中某个代数式几次出现而用一个字母来代替它从而简化问题当然有时候要通过变形才能发现把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程从而达到降次的目的专题一元二次方程根与系数关系知识讲解学习目标掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用要点梳理一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是那么注意它的使用条件为也就是说对于任何一个有实数根的一元二次方程两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商一元二次方程的根与系数的关系的应用将方程右边化为将方程左边分解为两个一次式的积令这两个一次式分别为得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程它们的解就是原方程的解常用的因式分解法提取公因式法公式法平方差公式完全平方公式十字相乘法等特别说明1能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点方程的一边是0另一边可以分解成两个一次因式的积2用分解因式法解一元二次方程的理论依据两个因式的积为0那么这两个因式中至少有一个等于03用分解因式法解一元二次方程的注意点必须将方程的右边化为0方程两边不能同时除以含有未知数的代数式4解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题它是首选知识要点二换元法解一元二次方程1解数学题时把某个式子看成一个整体用一个变量去代替它从而使问题得到简化这叫换元法换元的实质是转化关键是构造元和设元理论依据是等量代换目的是变换研究对象将问题移至新对象的知识背景中去研究从而使非标准型问题标准化复杂问题简单化变得容易处理2我们常用的是整体换元法是在已知或者未知中某个代数式几次出现而用一个字母来代替它从而简化问题当然有时候要通过变形才能发现把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程从而达到降次的目的专题114一元二次方程根与系数关系知识讲解学习目标掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用要点梳理一元二次方程的根与系数的关系1一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是那么注意它的使用条件为a00也就是说对于任何一个有实数根的一元二次方程两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商一元二次方程的根与系数的关系的应用专题用一元二次方程解决问题知识讲解学习目标通过分析具体问题中的数量关系建立方程模型并解决实际问题总结运用方程解决实际问题的一般步骤通过列方程解应用题进一步提高逻辑思维能力分析问题和解决问题的能力要点梳理要点一列一元二次方程解应用题的一般步骤利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系解决应用题的一般步骤审题寻找数量关系和等量关系设未知数直接假设和间接假设列一元二次方程解方程检验作答要点二一元二次方程应用题的主要类型数字问题任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成数位从右至左依次分别是个位十位百位千位它们数位上的单位从右至左依次分别为数位上的数字只能是之中的数而最高位上的数不能为因此任何一个多位数都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示这也就是用多项式的形式表示了一个多位数如一个三位数个位上数为十位上数为百位上数为则这个三位数可表示为几个连续整数中相邻两个整数相差如三个连续整数设中间一个数为则另两个数分别为几个连续偶数或奇数中相邻两个偶数或奇数相差如三个连续偶数奇数设中间一个数为则另两个数分别为平均变化率问题列一元二次方程解决增长降低率问题时要理清原来数后来数增长率或降低率以及增长或降低的次数之间的数量关系如果列出的方程是一元二次方程那么应在原数的基础上增长或降低两次增长率问题平均增长率公式为为原来数为平均增长率为增长次数为专题118用一元二次方程解决问题知识讲解学习目标1通过分析具体问题中的数量关系建立方程模型并解决实际问题总结运用方程解决实际问题的一般步骤2通过列方程解应用题进一步提高逻辑思维能力分析问题和解决问题的能力要点梳理要点一列一元二次方程解应用题的一般步骤利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系2解决应用题的一般步骤审题寻找数量关系和等量关系设未知数直接假设和间接假设列一元二次方程解方程检验作答要点二一元二次方程应用题的主要类型1数字问题1任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成数位从右至左依次分别是个位十位百位千位它们数位上的单位从右至左依次分别为1101001000数位上的数字只能是0129之中的数而最高位上的数不能为0因此任何一个多位数都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示这也就是用多项式的形式表示了一个多位数如一个三位数个位上数为a十位上数为b百位上数为c则这个三位数可表示为100c10ba2几个连续整数中相邻两个整数相差1如三个连续整数设中间一个数为x则另两个数分别为x1x1几个连续偶数或奇数中相邻两个偶数或奇数相差2如三个连续偶数奇数设中间一个数为x则另两个数分别为x2x22平均变化率问题列一元二次方程解决增长降低率问题时要理清原来数后来数增长率或降低率以及增长或降低的次数之间的数量关系如果列出的方程是一元二次方程那么应在原数的基础上增长或降低两次1增长率问题平均增长率公式为a为原来数x为平均增长率n为增长次数b为增长后的量降低率问题平均降低率公式为为原来数为平均降低率为降低次数为降低后的量利润销售问题中考常考点利润销售问题中常用的等量关系利润售价进价成本总利润每件的利润总件数几何问题通过几何边角关系寻求等量关系建立方程从而求出线段的长度或角的大小专题一元二次方程全章复习与巩固知识讲解学习目标了解一元二次方程及有关概念掌握通过配方法公式法因式分解法降次解一元二次方程掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法知识要点一元二次方程的概念通过化简后只含有一个未知数一元并且未知数的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般式一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根特别说明判断一个方程是否为一元二次方程时首先观察其是否是整式方程否则一定不是一元二次方程其次再将整式方程整理化简使方程的右边为看是否具备另两个条件一个未知数未知数的最高次数为对有关一元二次方程定义的题目要充分考虑定义的三个特点不要忽视二次项系数不为增长后的量2降低率问题平均降低率公式为a为原来数x为平均降低率n为降低次数b为降低后的量3利润销售问题中考常考点利润销售问题中常用的等量关系利润售价进价成本总利润每件的利润总件数4几何问题通过几何边角关系寻求等量关系建立方程从而求出线段的长度或角的大小专题129一元二次方程全章复习与巩固知识讲解学习目标1了解一元二次方程及有关概念2掌握通过配方法公式法因式分解法降次解一元二次方程3掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法知识要点要点一一元二次方程的有关概念要点一一元二次方程的有关概念1一元二次方程的概念通过化简后只含有一个未知数一元并且未知数的最高次数是2二次的整式方程叫做一元二次方程2一元二次方程的一般式3一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根特别说明判断一个方程是否为一元二次方程时首先观察其是否是整式方程否则一定不是一元二次方程其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0看是否具备另两个条件一个未知数未知数的最高次数为2对有关一元二次方程定义的题目要充分考虑定义的三个特点不要忽视二次项系数不为0要点二一元二次方程的解法基本思想一元二次方程一元一次方程基本解法直接开平方法配方法公式法因式分解法特别说明解一元二次方程时根据方程特点灵活选择解题方法先考虑能否用直接开平方法和因式分解法再考虑用公式法要点三一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一元二次方程根的判别式一元二次方程中叫做一元二次方程的根的判别式通常用来表示即当时一元二次方程有个不相等的实数根当时一元二次方程有个相等的实数根当时一元二次方程没有实数根一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是那么注意它的使用条件为特别说明一元二次方程的根的判别式正反都成立利用其可以解决以下问题不解方程判定方程根的情况根据参系数的性质确定根的范围解与根有关的证明题一元二次方程根与系数的应用很多已知方程的一根不解方程求另一根及参数系数已知方程求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数要点二一元二次方程的解法1基本思想一元二次方程一元一次方程2基本解法直接开平方法配方法公式法因式分解法特别说明解一元二次方程时根据方程特点灵活选择解题方法先考虑能否用直接开平方法和因式分解法再考虑用公式法要点三一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1一元二次方程根的判别式一元二次方程中叫做一元二次方程的根的判别式通常用来表示即当时一元二次方程有个不相等的实数根当时一元二次方程有个相等的实数根当时一元二次方程没有实数根2一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是那么注意它的使用条件为a00特别说明1一元二次方程的根的判别式正反都成立利用其可以解决以下问题1不解方程判定方程根的情况2根据参系数的性质确定根的范围3解与根有关的证明题2一元二次方程根与系数的应用很多1已知方程的一根不解方程求另一根及参数系数2已知方程求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数已知方程两根求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程要点四列一元二次方程解应用题列方程解实际问题的三个重要环节一是整体地系统地审题二是把握问题中的等量关系三是正确求解方程并检验解的合理性利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系解决应用题的一般步骤审审题目分清已知量未知量等量关系等设设未知数有时会用未知数表示相关的量列根据题目中的等量关系列出方程解解方程注意分式方程需检验将所求量表示清晰验检验方程的解能否保证实际问题有意义答写出答案切忌答非所问常见应用题型数字问题平均变化率问题利息问题利润销售问题形积问题等特别说明列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题列方程然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决专题圆及有关概念知识讲解学习目标理解圆的本质属性经历探索点与圆的位置关系的过程会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系了解圆及其有关概念理解弦弧半圆优弧劣弧同心圆等圆等弧等与圆有关的概念理解概念之间的区别和联系要点梳理要点一圆的定义第一定义如图在一个平面内线段绕它固定的一个端点旋转一周另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆固定的端点叫做圆心线段叫做半径以点为圆心的圆记作读作圆特别说明圆心确定圆的位置半径确定圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线第二定义圆心为半径为的圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合特别说明定点为圆心定长为半径圆指的是圆周而不是圆面3已知方程两根求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程要点四列一元二次方程解应用题1列方程解实际问题的三个重要环节一是整体地系统地审题二是把握问题中的等量关系三是正确求解方程并检验解的合理性2利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系3解决应用题的一般步骤审审题目分清已知量未知量等量关系等设设未知数有时会用未知数表示相关的量列根据题目中的等量关系列出方程解解方程注意分式方程需检验将所求量表示清晰验检验方程的解能否保证实际问题有意义答写出答案切忌答非所问4常见应用题型数字问题平均变化率问题利息问题利润销售问题形积问题等特别说明列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题列方程然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决专题21圆及有关概念知识讲解学习目标1理解圆的本质属性经历探索点与圆的位置关系的过程会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系2了解圆及其有关概念理解弦弧半圆优弧劣弧同心圆等圆等弧等与圆有关的概念理解概念之间的区别和联系要点梳理要点一圆的定义第一定义如图在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆固定的端点O叫做圆心线段OA叫做半径以点O为圆心的圆记作O读作圆O特别说明圆心确定圆的位置半径确定圆的大小确定一个圆应先确定圆心再确定半径二者缺一不可圆是一条封闭曲线第二定义圆心为O半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合特别说明定点为圆心定长为半径圆指的是圆周而不是圆面强调在一个平面内是非常必要的事实上在空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面一个闭合的曲面点和圆的三种位置关系由于平面上圆的存在就把平面上的点分成了三个集合即圆内的点圆上的点和圆外的点这三类点各具有相同的性质和判定方法设的半径为点到圆心的距离为则有要点二与圆有关的概念弦弦连结圆上任意两点的线段叫做弦直径经过圆心的弦叫做直径弦心距圆心到弦的距离叫做弦心距特别说明直径是圆中通过圆心的特殊弦也是圆中最长的弦即直径是弦但弦不一定是直径弧弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧简称弧以为端点的弧记作读作圆弧或弧半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧每一条弧都叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣弧小于半圆的弧叫做劣弧特别说明半圆是弧而弧不一定是半圆无特殊说明时弧指的是劣弧同心圆与等圆圆心相同半径不等的两个圆叫做同心圆圆心不同半径相等的两个圆叫做等圆同圆或等圆的半径相等等弧在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫做等弧特别说明等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中不能忽视圆中两平行弦所夹的弧相等专题圆的对称性垂径定理知识讲解学习目标理解圆的对称性掌握垂径定理及其推论利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明要点梳理知识点一垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论强调在一个平面内是非常必要的事实上在空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面一个闭合的曲面点和圆的三种位置关系由于平面上圆的存在就把平面上的点分成了三个集合即圆内的点圆上的点和圆外的点这三类点各具有相同的性质和判定方法设的半径为点到圆心的距离为则有要点二与圆有关的概念1弦弦连结圆上任意两点的线段叫做弦直径经过圆心的弦叫做直径弦心距圆心到弦的距离叫做弦心距特别说明直径是圆中通过圆心的特殊弦也是圆中最长的弦即直径是弦但弦不一定是直径2弧弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧简称弧以AB为端点的弧记作读作圆弧AB或弧AB半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧每一条弧都叫做半圆优弧大于半圆的弧叫做优弧劣弧小于半圆的弧叫做劣弧特别说明半圆是弧而弧不一定是半圆无特殊说明时弧指的是劣弧3同心圆与等圆圆心相同半径不等的两个圆叫做同心圆圆心不同半径相等的两个圆叫做等圆同圆或等圆的半径相等4等弧在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫做等弧特别说明等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中不能忽视圆中两平行弦所夹的弧相等专题23圆的对称性垂径定理知识讲解学习目标1理解圆的对称性2掌握垂径定理及其推论3利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明要点梳理知识点一垂径定理1垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧2推论平分弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧特别说明垂径定理是由两个条件推出两个结论即这里的直径也可以是半径也可以是过圆心的直线或线段知识点二垂径定理的推论根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论平分弦该弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧特别说明在垂径定理及其推论中过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧在这五个条件中知道任意两个就能推出其他三个结论注意过圆心平分弦作为题设时平分的弦不能是直径专题确定圆的条件知识讲解学习目标理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆并能掌握这个结论掌握过不在同一直线上的三点作圆的方法了解三角形的外接圆三角形的外心等概念要点梳理知识点一确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆经过三角形三个顶点可以画一个圆并且只能画一个这个三角形叫做这个圆的内接三角形知识点二相关概念外心外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点它到三角形三个顶点的距平分弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧特别说明1垂径定理是由两个条件推出两个结论即2这里的直径也可以是半径也可以是过圆心的直线或线段知识点二垂径定理的推论根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论平分弦该弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧特别说明在垂径定理及其推论中过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧在这五个条件中知道任意两个就能推出其他三个结论注意过圆心平分弦作为题设时平分的弦不能是直径专题27确定圆的条件知识讲解学习目标1理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆并能掌握这个结论2掌握过不在同一直线上的三点作圆的方法3了解三角形的外接圆三角形的外心等概念要点梳理知识点一确定圆的条件1不在同一条直线上的三个点确定一个圆2经过三角形三个顶点可以画一个圆并且只能画一个这个三角形叫做这个圆的内接三角形知识点二相关概念外心外接圆1经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心2三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点它到三角形三个顶点的距离相等三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点专题圆周角知识讲解学习目标了解并圆周角的概念识别圆周角理解圆周角定理及其推论能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题要点梳理知识点一定义顶点在圆上角的两边都与圆相交的角两条件缺一不可知识点二定理在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等都等于这条弧所对的圆心角的一半知识点三推论在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等直径半圆所对的圆周角是直角度的圆周角所对的弦为直径知识点四常见辅助线有直径可构成直角有度圆周角可构成直径找圆心的方法作两个度圆周角所对两弦交点知识点五圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的对角互补任意一个外角等于它的内对角知识点六补充知识点两条平行弦所夹的弧相等圆的两条弦在圆外相交时所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半在圆内相交时所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半同弧所对的在弧的同侧圆内部角最大其次是圆周角最小的是圆外角专题圆的对称性弧弦圆心角关系知识讲解学习目标了解圆心角的概念掌握在同圆或等圆中三组量两个圆心角两条弦两条弧只要有一组量相等就可以推出其它两组量对应相等及其它们在解题中的应用要点梳理圆心角定义如图所示的顶点在圆心像这样顶点在圆心的角叫做圆心角离相等3三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点专题29圆周角知识讲解学习目标1了解并圆周角的概念识别圆周角2理解圆周角定理及其推论能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题要点梳理知识点一定义顶点在圆上角的两边都与圆相交的角两条件缺一不可知识点二定理在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等都等于这条弧所对的圆心角的一半知识点三推论1在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等2直径半圆所对的圆周角是直角90度的圆周角所对的弦为直径知识点四常见辅助线有直径可构成直角有90度圆周角可构成直径找圆心的方法作两个90度圆周角所对两弦交点知识点五圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的对角互补任意一个外角等于它的内对角知识点六补充知识点1两条平行弦所夹的弧相等圆的两条弦1在圆外相交时所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半2在圆内相交时所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半3同弧所对的在弧的同侧圆内部角最大其次是圆周角最小的是圆外角专题213圆的对称性弧弦圆心角关系知识讲解学习目标了解圆心角的概念掌握在同圆或等圆中三组量两个圆心角两条弦两条弧只要有一组量相等就可以推出其它两组量对应相等及其它们在解题中的应用要点梳理圆心角定义如图所示AOB的顶点在圆心像这样顶点在圆心的角叫做圆心角定理在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦也相等推论在同圆或等圆中如果两条弧相等那么它们所对的圆心角相等所对的弦也相等在同圆或等圆中如果两条弦相等那么它们所对的圆心角相等所对的弧也相等在同圆或等圆中圆心角的度数等于它所对弧的度数特别说明一个角要是圆心角必须具备顶点在圆心这一特征注意定理中不能忽视同圆或等圆这一前提弦弧圆心角弦心距的关系在同圆或等圆中弦弧圆心角弦心距等几何量之间是相互关联的即它们中间只要有一组量相等例如圆心角相等那么其它各组量也分别相等即相对应的弦弦心距以及弦所对的弧也分别相等如果它们中间有一组量不相等那么其它各组量也分别不等专题四点共圆知识讲解学习目标理解四点共圆的定义掌握判断四点共圆的基本方法并用于解决证明和计算问题要点梳理四点共圆常用的方法有对角互补的四边形四点共圆外角等于内对角的四边形四点共圆同底同侧的顶角相等的两个三角形四点共圆到定点的距离等于定长的四个点四点共圆专题直线和圆的位置关系知识讲解学习目标理解直线与圆的三种位置关系会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系要点梳理直线和圆的三种位置关系2定理在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦也相等3推论在同圆或等圆中如果两条弧相等那么它们所对的圆心角相等所对的弦也相等在同圆或等圆中如果两条弦相等那么它们所对的圆心角相等所对的弧也相等在同圆或等圆中圆心角的度数等于它所对弧的度数特别说明1一个角要是圆心角必须具备顶点在圆心这一特征2注意定理中不能忽视同圆或等圆这一前提4弦弧圆心角弦心距的关系在同圆或等圆中弦弧圆心角弦心距等几何量之间是相互关联的即它们中间只要有一组量相等例如圆心角相等那么其它各组量也分别相等即相对应的弦弦心距以及弦所对的弧也分别相等如果它们中间有一组量不相等那么其它各组量也分别不等专题216四点共圆知识讲解学习目标理解四点共圆的定义掌握判断四点共圆的基本方法并用于解决证明和计算问题要点梳理四点共圆常用的方法有1对角互补的四边形四点共圆2外角等于内对角的四边形四点共圆3同底同侧的顶角相等的两个三角形四点共圆4到定点的距离等于定长的四个点四点共圆专题218直线和圆的位置关系知识讲解学习目标理解直线与圆的三种位置关系会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系要点梳理直线和圆的三种位置关系相交直线与圆有两个公共点时叫做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线相切直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线唯一的公共点叫做切点相离直线和圆没有公共点时叫做直线和圆相离直线与圆的位置关系的判定和性质直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢由于圆心确定圆的位置半径确定圆的大小因此研究直线和圆的位置关系就可以转化为直线和点圆心的位置关系下面图中直线与圆心的距离小于半径图中直线与圆心的距离等于半径图中直线与圆心的距离大于半径如果的半径为圆心到直线的距离为那么特别说明这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定专题切线性质和判定定理知识讲解学习目标理解并掌握切线的判定和性质运用切线的性质定理和判定定理进行证明或求值要点梳理圆的切线定义圆的切线是指一直线若与一圆有交点且只有一个交点那么这条直线就是圆的切线要点一切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的判定方法定义直线和圆有唯一公共点时这条直线就是圆的切线定理和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线判定定理经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的判定定理中强调两点一是直线与圆有一个交点二是直线与过交点的半径垂直缺一不可要点二切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径特别说明切线和圆只有一个公共点切线和圆心的距离等于圆的半径相交直线与圆有两个公共点时叫做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线相切直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线唯一的公共点叫做切点相离直线和圆没有公共点时叫做直线和圆相离直线与圆的位置关系的判定和性质直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢由于圆心确定圆的位置半径确定圆的大小因此研究直线和圆的位置关系就可以转化为直线和点圆心的位置关系下面图中直线与圆心的距离小于半径图中直线与圆心的距离等于半径图中直线与圆心的距离大于半径如果的半径为圆心到直线的距离为那么特别说明这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定专题221切线性质和判定定理知识讲解学习目标1理解并掌握切线的判定和性质2运用切线的性质定理和判定定理进行证明或求值要点梳理圆的切线定义圆的切线是指一直线若与一圆有交点且只有一个交点那么这条直线就是圆的切线要点一切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的判定方法1定义直线和圆有唯一公共点时这条直线就是圆的切线2定理和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线3判定定理经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的判定定理中强调两点一是直线与圆有一个交点二是直线与过交点的半径垂直缺一不可要点二切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径特别说明1切线和圆只有一个公共点2切线和圆心的距离等于圆的半径切线垂直于过切点的半径经过圆心垂直于切线的直线必过切点经过切点垂直于切线的直线必过圆心专题切线长定理知识讲解学习目标了解切线长定义理解三角形的内切圆及内心的定义掌握切线长定理利用切线长定理解决相关的计算和证明要点梳理要点一切线长概念经过圆外一点作圆的切线这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长特别说明切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长不是切线的长的简称切线是直线而非线段要点二切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线它们的切线长相等这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角特别说明切线长定理包含两个结论线段相等和角相等圆外切四边形的性质圆外切四边形的两组对边之和相等要点三三角形的内切圆三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内心三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心特别说明任何一个三角形都有且只有一个内切圆但任意一个圆都有无数个外切三角形解决三角形内心的有关问题时面积法是常用的即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半即为三角形的面积为三角形的周长为内切圆的半径三角形的外心与内心的区别名称确定方法图形性质外心三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点外心不一定在三角形内部3切线垂直于过切点的半径4经过圆心垂直于切线的直线必过切点5经过切点垂直于切线的直线必过圆心专题224切线长定理知识讲解学习目标了解切线长定义理解三角形的内切圆及内心的定义掌握切线长定理利用切线长定理解决相关的计算和证明要点梳理要点一切线长概念经过圆外一点作圆的切线这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长特别说明切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长不是切线的长的简称切线是直线而非线段要点二切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线它们的切线长相等这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角特别说明切线长定理包含两个结论线段相等和角相等圆外切四边形的性质圆外切四边形的两组对边之和相等要点三三角形的内切圆三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内心三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心特别说明任何一个三角形都有且只有一个内切圆但任意一个圆都有无数个外切三角形解决三角形内心的有关问题时面积法是常用的即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半即为三角形的面积为三角形的周长为内切圆的半径三角形的外心与内心的区别名称确定方法图形性质外心三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点外心不一定在三角形内部内心三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点到三角形三边距离相等分别平分内心在三角形内部专题圆的切线证明方法专题知识讲解在圆这一章中圆与直线的位置关系很重要直线与圆有三种位置关系分别为相离相切与相交尤其是相切不仅要掌握基本定义外还需要掌握切线的性质定理与判定定理证明切线的方法有四种我们需要熟练掌握两种证明切线的技巧其中有三种思路也需要理解方法一有点点在圆上连线证垂直已知切点该点在未确定前不能称之为切点即当直线与圆有公共点时选择作半径即连接圆心与该公共点证明垂直常见证明垂直的思路有三种思路一利用两个锐角互余证明垂直思路二利用全等证明垂直思路三利用勾股定理的逆定理证明垂直思路四利用等腰三角形的性质证明垂直这三种思路在证明垂直时能经常用到当选择用作半径证垂直时可以考虑用这三种思路方法二无点点不确定在圆上作垂直证相等当切点未知时选择作半径即过圆心作直线的垂线证明垂线段的长度等于圆的半径专题弧长及扇形的面积知识讲解学习目标通过复习圆的周长圆的面积公式探索的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并应用这些公式解决问题能准确计算组合图形的面积要点梳理要点一弧长公式内心三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点到三角形三边距离相等分别平分内心在三角形内部专题227圆的切线证明方法专题知识讲解在圆这一章中圆与直线的位置关系很重要直线与圆有三种位置关系分别为相离相切与相交尤其是相切不仅要掌握基本定义外还需要掌握切线的性质定理与判定定理证明切线的方法有四种我们需要熟练掌握两种证明切线的技巧其中有三种思路也需要理解方法一有点点在圆上连线证垂直已知切点该点在未确定前不能称之为切点即当直线与圆有公共点时选择作半径即连接圆心与该公共点证明垂直常见证明垂直的思路有三种思路一利用两个锐角互余证明垂直思路二利用全等证明垂直思路三利用勾股定理的逆定理证明垂直思路四利用等腰三角形的性质证明垂直这三种思路在证明垂直时能经常用到当选择用作半径证垂直时可以考虑用这三种思路方法二无点点不确定在圆上作垂直证相等当切点未知时选择作半径即过圆心作直线的垂线证明垂线段的长度等于圆的半径专题233弧长及扇形的面积知识讲解学习目标1通过复习圆的周长圆的面积公式探索n的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并应用这些公式解决问题2能准确计算组合图形的面积要点梳理要点一弧长公式半径为的圆中的圆心角所对的弧长圆的周长公式的圆心角所对的圆的弧长公式弧是圆的一部分特别说明对于弧长公式关键是要理解的圆心角所对的弧长是圆周长的即公式中的表示圆心角的倍数故和都不带单位为弧所在圆的半径弧长公式所涉及的三个量弧长圆心角度数弧所在圆的半径知道其中的两个量就可以求出第三个量要点二扇形面积公式扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形扇形面积公式半径为的圆中的圆心角所对的扇形面积公式特别说明对于扇形面积公式关键要理解圆心角是的扇形面积是圆面积的在扇形面积公式中涉及三个量扇形面积扇形半径扇形的圆心角知道其中的两个量就可以求出第三个量扇形面积公式可根据题目条件灵活选择使用它与三角形面积公式有点类似可类比记忆扇形两个面积公式之间的联系专题圆锥的侧面积知识讲解半径为R的圆中1360的圆心角所对的弧长圆的周长公式2n的圆心角所对的圆的弧长公式弧是圆的一部分特别说明1对于弧长公式关键是要理解1的圆心角所对的弧长是圆周长的即2公式中的表示1圆心角的倍数故和180都不带单位R为弧所在圆的半径3弧长公式所涉及的三个量弧长圆心角度数弧所在圆的半径知道其中的两个量就可以求出第三个量要点二扇形面积公式1扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形2扇形面积公式半径为R的圆中n的圆心角所对的扇形面积公式特别说明1对于扇形面积公式关键要理解圆心角是1的扇形面积是圆面积的2在扇形面积公式中涉及三个量扇形面积S扇形半径R扇形的圆心角知道其中的两个量就可以求出第三个量3扇形面积公式可根据题目条件灵活选择使用它与三角形面积公式有点类似可类比记忆4扇形两个面积公式之间的联系专题237圆锥的侧面积知识讲解学习目标理解圆锥的有关概念掌握圆锥的侧面展开图理解并掌握圆锥的侧面积计算方法要点梳理要点一圆锥的概念以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥该直角边叫圆锥的轴要点二圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线圆锥的母线长为底面半径为侧面展开图中的扇形圆心角为则圆锥的侧面积圆锥的全面积特别说明扇形的半径就是圆锥的母线扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长因此要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的专题圆中的几何模型隐形圆专题知识讲解隐形圆是中考选择题和填空题中常考题题目往往以动态问题出现有点线的运动或者图形的折叠多数学生基本没有思路一头雾水从而无法解答隐形圆常见的有以下几种形式二是四点共圆判定隐形圆满二是定弦定角点在圆上三是定点定长轨迹是圆题目具体表现为折叠问题旋转问题角度不变问题等专题平均数知识讲解学习目标了解加权平均数的意义和求法会求实际问题中一组数据的平均数体会用样本平均数估计总体平均数的思想要点梳理要点一算术平均数加权平均数一般地对于个数我们把叫做这个数的算术平均数简称平均数记作计算公式为特别说明平均数表示一组数据的平均水平反映了一组数据的集中趋势当一组数据较大时并且这些数据都在某一常数附近上下波动时一般选用简化计算公式其中为新数据的平均数为取定的接近这组数据的平均数的较整的数学习目标1理解圆锥的有关概念2掌握圆锥的侧面展开图3理解并掌握圆锥的侧面积计算方法要点梳理要点一圆锥的概念以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥该直角边叫圆锥的轴要点二圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线圆锥的母线长为底面半径为r侧面展开图中的扇形圆心角为n则圆锥的侧面积圆锥的全面积特别说明扇形的半径就是圆锥的母线扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长因此要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的专题240圆中的几何模型隐形圆专题知识讲解隐形圆是中考选择题和填空题中常考题题目往往以动态问题出现有点线的运动或者图形的折叠多数学生基本没有思路一头雾水从而无法解答隐形圆常见的有以下几种形式二是四点共圆判定隐形圆满二是定弦定角点在圆上三是定点定长轨迹是圆题目具体表现为折叠问题旋转问题角度不变问题等专题31平均数知识讲解学习目标了解加权平均数的意义和求法会求实际问题中一组数据的平均数体会用样本平均数估计总体平均数的思想要点梳理要点一算术平均数加权平均数一般地对于个数我们把叫做这个数的算术平均数简称平均数记作计算公式为特别说明平均数表示一组数据的平均水平反映了一组数据的集中趋势1当一组数据较大时并且这些数据都在某一常数附近上下波动时一般选用简化计算公式其中为新数据的平均数为取定的接近这组数据的平均数的较整的数平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动所以平均数容易受到个别特殊值的影响要点二算术平均数加权平均数若个数的权分别是则叫做这个数的加权平均数特别说明相同数据的个数叫做权越大表示的个数越多权就越重数据的权能够反映数据的相对重要程度加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式是平均数的简便运算专题中位数与众数知识讲解学习目标了解中位数和众数的意义掌握它们的求法进一步理解平均数中位数和众数所代表的不同的数据特征要点梳理要点一中位数和众数中位数的概念将一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列如果数据的个数是奇数则处于中间位置的数称为这组数据的中位数如果数据的个数是偶数则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数特别说明一组数据的中位数是唯一的一组数据的中位数不一定出现在这组数据中由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半众数的概念一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数特别说明一组数据的众数一定出现在这组数据中一组数据的众数可能不止一个如果所有数据出现的次数都一样那么这组数据就没有众数众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数要点三平均数中位数与众数的联系与区别联系平均数众数中位数都是用来描述数据集中趋势的量其中以平均数最为重要区别平均数的大小与每一个数据都有关任何一个数的波动都会引起平均数的波动当一组数据中有个别数据太高或太低用平均数来描述整体趋势则不合适用中位数或众数则较合适中位数与数据排列位置有关个别数据的波动对中位数没影响众数主要研究各数据出现的频数当一组数据中不少数据多次重复出现时可用众数来描述专题数据的集中趋势和离散程度全章复习与巩固知识讲解学习目标了解加权平均数的意义和求法会求实际问题中一组数据的平均数体会用样本平均数估计总体平均数的思想了解中位数和众数的意义掌握它们的求法进一步理解平均数中位数和众数所代表的不同的数据特征了解极差和方差的意义和求法体会它们刻画数据波动的不同特征体会用样本方差估计总体方差的思想掌握分析数据的思想和方法从事收集整理描述和分析数据得出结论的统计活动经历数据处理的基本过程体验统计与生活的联系感受统计在生活和生产中的作用养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度要点梳理2平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动所以平均数容易受到个别特殊值的影响要点二算术平均数加权平均数若个数的权分别是则叫做这个数的加权平均数特别说明1相同数据的个数叫做权越大表示的个数越多权就越重数据的权能够反映数据的相对重要程度2加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式是平均数的简便运算专题34中位数与众数知识讲解学习目标了解中位数和众数的意义掌握它们的求法进一步理解平均数中位数和众数所代表的不同的数据特征要点梳理要点一中位数和众数1中位数的概念将一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列如果数据的个数是奇数则处于中间位置的数称为这组数据的中位数如果数据的个数是偶数则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数特别说明1一组数据的中位数是唯一的一组数据的中位数不一定出现在这组数据中2由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半2众数的概念一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数特别说明1一组数据的众数一定出现在这组数据中一组数据的众数可能不止一个如果所有数据出现的次数都一样那么这组数据就没有众数2众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数要点三平均数中位数与众数的联系与区别联系平均数众数中位数都是用来描述数据集中趋势的量其中以平均数最为重要区别平均数的大小与每一个数据都有关任何一个数的波动都会引起平均数的波动当一组数据中有个别数据太高或太低用平均数来描述整体趋势则不合适用中位数或众数则较合适中位数与数据排列位置有关个别数据的波动对中位数没影响众数主要研究各数据出现的频数当一组数据中不少数据多次重复出现时可用众数来描述专题310数据的集中趋势和离散程度全章复习与巩固知识讲解学习目标1了解加权平均数的意义和求法会求实际问题中一组数据的平均数体会用样本平均数估计总体平均数的思想2了解中位数和众数的意义掌握它们的求法进一步理解平均数中位数和众数所代表的不同的数据特征3了解极差和方差的意义和求法体会它们刻画数据波动的不同特征体会用样本方差估计总体方差的思想掌握分析数据的思想和方法4从事收集整理描述和分析数据得出结论的统计活动经历数据处理的基本过程体验统计与生活的联系感受统计在生活和生产中的作用养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度要点梳理要点一算术平均数和加权平均数一般地对于个数我们把叫做这个数的算术平均数简称平均数记作计算公式为特别说明平均数表示一组数据的平均水平反映了一组数据的集中趋势当一组数据较大时并且这些数据都在某一常数附近上下波动时一般选用简化计算公式其中为新数据的平均数为取定的接近这组数据的平均数的较整的数平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动所以平均数容易受到个别特殊值的影响若个数的权分别是则叫做这个数的加权平均数特别说明相同数据的个数叫做权越大表示的个数越多权就越重数据的权能够反映数据的相对重要程度加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式是平均数的简便运算要点二中位数和众数中位数的概念将一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列如果数据的个数是奇数则处于中间位置的数称为这组数据的中位数如果数据的个数是偶数则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数特别说明一组数据的中位数是唯一的一组数据的中位数不一定出现在这组数据中由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半众数的概念一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数特别说明一组数据的众数一定出现在这组数据中一组数据的众数可能不止一个如果所有数据出现的次数都一样那么这组数据就没有众数众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数要点三平均数中位数与众数的联系与区别联系平均数众数中位数都是用来描述数据集中趋势的量其中以平均数最为重要区别平均数的大小与每一个数据都有关任何一个数的波动都会引起平均数的波动当一组数据中有个别数据太高或太低用平均数来描述整体趋势则不合适用中位数或众数则较合适中位数与数据排列位置有关个别数据的波动对中位数没影响众数主要研究各数据出现的频数当一组数据中不少数据多次重复出现时可用众数来描述要点四极差方差和标准差用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围用这种方法得到的差称为极差极差最大值最小值特别说明极差是最简单的一种度量数据波动情况的量它受极端值的影响较大一组数据极差越小这组数据就越稳定方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量方差的计算公式是特别说明方差反映的是一组数据偏离平均值的情况方差越大数据的波动越大方差越小数据的波动越小一组数据的每一个数都加上或减去同一个常数所得的一组新数据的方差不变一组数据的每一个数据都变为原来的倍则所得的一组新数据的方差要点一算术平均数和加权平均数一般地对于个数我们把叫做这个数的算术平均数简称平均数记作计算公式为特别说明平均数表示一组数据的平均水平反映了一组数据的集中趋势1当一组数据较大时并且这些数据都在某一常数附近上下波动时一般选用简化计算公式其中为新数据的平均数为取定的接近这组数据的平均数的较整的数2平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动所以平均数容易受到个别特殊值的影响若个数的权分别是则叫做这个数的加权平均数特别说明1相同数据的个数叫做权越大表示的个数越多权就越重数据的权能够反映数据的相对重要程度2加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式是平均数的简便运算要点二中位数和众数1中位数的概念将一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列如果数据的个数是奇数则处于中间位置的数称为这组数据的中位数如果数据的个数是偶数则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数特别说明1一组数据的中位数是唯一的一组数据的中位数不一定出现在这组数据中2由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半2众数的概念一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数特别说明1一组数据的众数一定出现在这组数据中一组数据的众数可能不止一个如果所有数据出现的次数都一样那么这组数据就没有众数2众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数要点三平均数中位数与众数的联系与区别联系平均数众数中位数都是用来描述数据集中趋势的量其中以平均数最为重要区别平均数的大小与每一个数据都有关任何一个数的波动都会引起平均数的波动当一组数据中有个别数据太高或太低用平均数来描述整体趋势则不合适用中位数或众数则较合适中位数与数据排列位置有关个别数据的波动对中位数没影响众数主要研究各数据出现的频数当一组数据中不少数据多次重复出现时可用众数来描述要点四极差方差和标准差用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围用这种方法得到的差称为极差极差最大值最小值特别说明极差是最简单的一种度量数据波动情况的量它受极端值的影响较大一组数据极差越小这组数据就越稳定方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量方差的计算公式是特别说明1方差反映的是一组数据偏离平均值的情况方差越大数据的波动越大方差越小数据的波动越小2一组数据的每一个数都加上或减去同一个常数所得的一组新数据的方差不变3一组数据的每一个数据都变为原来的倍则所得的一组新数据的方差变为原来的倍方差的算术平方根叫做这组数据的标准差用符号表示即标准差的数量单位与原数据一致要点五极差方差和标准差的联系与区别联系极差与方差标准差都是表示一组数据离散程度的特征数区别极差表示一组数据波动范围的大小它受极端数据的影响较大方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小方差越大稳定性也越小反之则稳定性越好所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差在考虑到这组数据的稳定性时用方差要点六用样本估计总体在考察总体的平均水平或方差时往往都是通过抽取样本用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差特别说明如果总体数量太多或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性都应该抽取样本取样必须具有尽可能大的代表性用样本估计总体时样本容量越大样本对总体的估计也越精确样本容量的确定既要考虑问题本身的需要又要考虑实现的可能性所付出的代价专题等可能条件下的概率全章复习与巩固知识讲解学习目标知道试验的结果具有等可能性的含义会求等可能条件下的概率能够运用列表法和树状图法计算简单事件发生的概率要点梳理要点一概率的定义表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率要点二概率的表示方法等可能条件下的概率的计算方法说明其中表示事件发生可能出现的结果数表示一次试验所有等可能出现的结果数由于我们所研究的事件大都是随机事件所以其概率在和之间概率是表示该事件不可能发生而概率是则表示该事件一定发生或必然发生例如在抛掷一枚骰子的试验中朝上的点数出现的所有等可能的结果共有种如果我们关注的点数不大于那么这一事件发生的可能结果有种朝上的点数分别为所以点数不大于要点三等可能性设一个试验的所有可能发生的结果有个它们都是随机事件每次试验有且只有其中的一个结果出现而且每个结果出现的机会均等那么我们说这个事件的发生是等可能的也称这个试验的结果具有等可能性说明无论是试验的所有可能产生结果是有限个还是无限个只有具备下列几个特征在试验中发生的事件都是随机事件在每一次试验中有且只有一个结果出现每个结果变为原来的倍方差的算术平方根叫做这组数据的标准差用符号表示即标准差的数量单位与原数据一致要点五极差方差和标准差的联系与区别联系极差与方差标准差都是表示一组数据离散程度的特征数区别极差表示一组数据波动范围的大小它受极端数据的影响较大方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小方差越大稳定性也越小反之则稳定性越好所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差在考虑到这组数据的稳定性时用方差要点六用样本估计总体在考察总体的平均水平或方差时往往都是通过抽取样本用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差特别说明1如果总体数量太多或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性都应该抽取样本取样必须具有尽可能大的代表性2用样本估计总体时样本容量越大样本对总体的估计也越精确样本容量的确定既要考虑问题本身的需要又要考虑实现的可能性所付出的代价专题41等可能条件下的概率全章复习与巩固知识讲解学习目标1知道试验的结果具有等可能性的含义2会求等可能条件下的概率3能够运用列表法和树状图法计算简单事件发生的概率要点梳理要点一概率的定义表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率要点二概率的表示方法等可能条件下的概率的计算方法说明1其中m表示事件A发生可能出现的结果数n表示一次试验所有等可能出现的结果数2由于我们所研究的事件大都是随机事件所以其概率在0和1之间概率是0表示该事件不可能发生而概率是1则表示该事件一定发生或必然发生3例如在抛掷一枚骰子的试验中朝上的点数出现的所有等可能的结果共有6种123456如果我们关注的点数不大于4那么这一事件发生的可能结果有4种朝上的点数分别为1234所以P点数不大于4要点三等可能性设一个试验的所有可能发生的结果有n个它们都是随机事件每次试验有且只有其中的一个结果出现而且每个结果出现的机会均等那么我们说这n个事件的发生是等可能的也称这个试验的结果具有等可能性说明无论是试验的所有可能产生结果是有限个还是无限个只有具备下列几个特征在试验中发生的事件都是随机事件在每一次试验中有且只有一个结果出现每个结果出现机会均等这样的试验结果才具有等可能性要点四频率与概率在试验中某一事件发生的频率是指该事件出现的次数与试验的总次数的比值而这一事件发生的概率是指该事件发生的可能性的大小说明一个事件发生的频率在概率的附近上下波动试验的次数越多事件发生的频率就越接近该事件发生的概率频率是经过试验得到的结果而概率是经过理论分析的预测值或理论值两者是不同的当试验的次数很多的时候频率就趋近于概率要点五转盘与概率从圆心开始将圆盘划分几个扇形区域做成一个可以自由转动的安有指针的转盘这样由于转盘转动的随机性就可以根据指针所指向的扇形区域占整个圆面积的大小来确定指针指向某一特定的区域的概率如图指针固定在原点当转盘转动后指针指向四个区域是等可能的因为四个扇形的圆心角都是度所以指针指向每个区域的概率都是出现机会均等这样的试验结果才具有等可能性要点四频率与概率在试验中某一事件发生的频率是指该事件出现的次数与试验的总次数的比值而这一事件发生的概率是指该事件发生的可能性的大小说明1一个事件发生的频率在概率的附近上下波动试验的次数越多事件发生的频率就越接近该事件发生的概率2频率是经过试验得到的结果而概率是经过理论分析的预测值或理论值两者是不同的当试验的次数很多的时候频率就趋近于概率要点五转盘与概率从圆心开始将圆盘划分几个扇形区域做成一个可以自由转动的安有指针的转盘这样由于转盘转动的随机性就可以根据指针所指向的扇形区域占整个圆面积的大小来确定指针指向某一特定的区域的概率如图指针固定在原点当转盘转动后指针指向ABCD四个区域是等可能的因为四个扇形的圆心角都是90度所以指针指向每个区域的概率都是