太原市数学中考《第四章整式的乘除》知识点聚焦.doc

第四章整式的乘除高频考点考查频率所占分值幂的有关运算整式的乘法乘法公式平方差公式完全平方公式整式的除法分因式分解整式的混合运算知能图谱同底数幂的乘法字母表示都是正整数幂的乘方字母表示都是正整数积的乘方字母表示是正整数同底数幂的除法字母表示都是正整数并且零指数幂字母表示负整数指数幂字母表示为正整数单项式乘单项式单项式与单项式相系把它们的系数同底数幂别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为的一个因式单项式乘多项式单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每项再把所得的积相加平方差公式联系单项式除以单项式转化多项式除以单项式因式分解的意义因式分解的方法提公因式法公式法逆用平方差公式逆用完全平方公式分组分解法拓展因式分解的步骤一般步骤一提二套三分组四彻底利用因式分解解决相关问题第讲幂的运算性质知识能力解读知能解读一同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则同底数幂相乘底数不变指数相加即都是正整数注意在学习同底数幂的乘法过程中不仅要记住结论更重要的是掌握结论的推导幂的运算乘法公式多项式乘多项式整式的乘法完全平方公式整式的除法整式的混合运算整式的乘除整式乘法因式分解过程这一运算性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘如都是正整数运算性质可以逆用如都是正整数幂的底数可以是单项式也可以是多项式如当幂指数为时不要误以为指数为如而不是二幂的乘方幂的乘方法则幂的乘方底数不变指数相乘即都是正整数注意不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算底数不变同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算底数不变根据同底数幂的运算性质可推出结论此性质可以逆用如三积的乘方积的乘方法则积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘即是正整数注意同理三个或三个以上的因数或因式的积的乘方也具备这一性质如为正整数此性质可以逆用如积的乘方公式中可以表示数也可以表示含有字母的代数式四同底数幂的除法同底数幂的除法法则同底数幂相除底数不变指数相减即都是正整数并月注意当三个或三个以上同底数幂相除时也具有这一性质如都是正整数且底数不能为若为则除数为除法就没有意义了注意指数为的情况如不能把的指数当成该法则可以逆用即都是正整数且五零指数幂与负整数指数幂零指数幂的意义任何不等于零的数的零次幂都等于即负整数指数幂的意义任何不等于零的数的为正整数次幂等于这个数的次幂的倒数即为正整数在中当时规定当时规定如零指数幂与负整数指数幂的注意事项在中底数不等于零否则无意义底数可以是不等于的数或式子学习零指数幂和负整数指数幂后正整数指数幂的运算性质推广到了整数指数幂如等方法技巧归纳方法技巧一同底数幂的乘法除法运算解题技巧同底数幂的运算法则无论是乘法法则还是除法法则只适用于同底数幂的乘除当底数不同时要看能否化为同底若不能化为同底则不能用上述法则二幂的乘方积的乘方运算解题技巧运用幂的乘方时一定要注意底数的符号在进行积的乘方运算时应把底数的各因式分别乘方不要忽略任何一项幂的乘方和积的乘方法则均可逆用三零指数幂和负整数指数幂的解题技巧四利用幂的运算性质比较数的大小的解题技巧拓展当所给幂的指数底数均不相同且指数较大时可利用幂的乘方性质化为同指数幂根据底数大小关系确定原来三个幂的大小关系比较几个幂的大小时可以将它们逆用幂的乘方法则化成同底数或同指数的幂再比较大小易混易错辨析易混易错知识同底数幂的乘法法则与合并同类项法则容易混淆同底数幂相乘底数不变指数相加如而合并同类项的法则是只把系数相加字母和字母的指数都不变如此处易犯的错误故解题时应认真审题看清题目是什么运算然后准确选用法则幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则容易混淆幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算底数不变同底数幂的乘法运算是转化为指数的加法运算底数不变在运算时特别注意二者的区别如的运算顺序为先乘方再乘法不要出现类似的错误易混易错一在运用积的乘方法则时没有把每个因式分别乘方忽略某些因式的乘方或符号山错二对同底数幂的除法法则理解不透导致出错三忽略零指数幂和负整数指数幂底数不为的条件中考试题研究中考命题规律本讲的考点主要有同底数幂的乘除法积的乘方和幂的乘方运算以及零指数幂和负整数指数幂的运算题型以选择题填空题为主也有简单的解答题中考试题一同底数幂的乘法二幂的乘方和积的乘方三零指数幂和负整数指数幂四幂的综合运算第讲整式的乘法知识能力解读知能解读一单项式与单项式相乘的法则单项式与单项式相乘把它们的系数同底数幂分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式如注意对于三个或三个以上的单项式相乘法则仍然适用由法则可知在用法则解题时可按三步进行系数相乘确定积的系数相乘时注意符号相同字母的幂相乘底数不变指数相加只在一个单项式里含有的字母连同字母的指数写在积中不要漏掉这个因式记忆口诀系数乘系数字母乘字母二单项式与多项式相乘的法则单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加即注意单项式与多项式相乘的计算方法实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式单项式乘多项式结果仍是多项式其项数与因式中多项式的项数相同计算时注意符号多项式中的每一项都包括它前面的符号根据这一特点确定乘积中每一项的符号运算结果中有同类项时要合并同类项从而得到最简结果三多项式与多项式相乘的法则多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再把所得的积相加即要用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项不要漏乘项注意多项式中的符号问题多项式的每一项都包括它前面的符号计算时要细心四乘法公式平方差公式公式意义两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差这个公式叫作平方差公式记忆口诀和乘差平方差特征左边是两个二项式相乘这两项中有一项相同另一项互为相反数右边是左边二项式中两项的平方差相同项的平方减相反项的平方公式中的和可以是具体的数也可以是含有字母的代数式公式的几何背景如图所示最上层的矩形的面积为它等于大正方形的面积与小正方形的面积的差即完全平方公式公式意义两个数的和或差的平方等于它们的平方和加上或减去它们的积的倍特征左边是个二项式的完全平方右边是一个二次三项式其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方另一项是左边二项式中两项乘积的倍可简记为首平方尾平方积的倍在中央公式中的可以是单项式也可以是多项式公式的几何背景如图所示用图形面积表示图的几何意义为表示图的几何意义为五特殊乘法公式拓展是常数利用多项式乘法运算法则可从左边得到右边公式特征相乘的两个因式都只含有一个相同的字母都是一次二项式并且一次项的系数为乘积是二次三项式二次项系数是一次项系数是两常数项之和常数项等于两个因式中的常数项之积方法技巧归纳方法技巧一单项式与单项式相乘的解题方法单项式与单项式相乘的顺序是系数相乘同底数的幂相乘只在一个单项式里含有的字母连同它的指数一起写在积中故正确进行幂的运算是解题的关键要先确定符号再计算二单项式与多项式相乘的解题方法单项式与多项式相乘实质是利用乘法的分配律计算时注意运算顺序不要漏项三多项式与多项式相乘的解题方法多项式乘多项式其主要方法是分项轮乘依次转化为单项式乘单项式不要漏乘项四整式乘法的综合创新题整式乘法的综合创新题主要考查整式乘法法则的运用能力一般是由特殊情况推测一般规律培养创新能力五利用乘法公式计算的解题技巧乘法公式是一种特殊形式的乘法法则它通过多项式的乘法法则把特殊多项式的运算结果写成公式形式并加以应用运用公式计算可使多项式相乘变得方便简捷但运用时要掌握公式的结构特征只要符合公式结构特征就可以运用公式进行计算否则不能用公式中的字母可以是具体数也可以是含有字母的代数式直接应用公式计算开放探究题乘法公式巧变形六整式的混合运算整式的混合运算一般应注意以下几点将多项式的运算转化为单项式的运算确定符号确定运算顺序与运算类型尽量运用乘法公式简化多项式的乘法运算混合运算化简求值易混易错辨析易混易错知识在整式乘法法则的运用上易出错错误有漏乘多项式的某些项单项式与多项式相乘时易出现符号错误多项式中每一项都包括它前面的符号还要注意单项式的符号对平方差公式理解不透导致出错分不清哪一项相当于公式中的哪一项相当于公式中的导致误用对不具备平方差公式特征的运算误用了平方差公式如出现之类的错误实际上本题应该用多项式与多项式相乘的法则计算混淆完全平方公式与平方差公式运用完全平方公式时常出现的错误有与平方差公式混淆误写成弄错中间项积的倍的符号易混易错一单项式乘多项式时易漏乘或弄错符号二错用乘法公式三运用乘法公式时易弄错符号中考试题研究中考命题规律本讲的考点主要是整式的乘法它是初中数学的重点内容是有理数乘法和幂的运算法则的综合是代数式变形化简求值因式分解等的重要基础题型以填空题选择题计算题为主有的为化简求值题多与其他知识分式根式方程组不等式组等综合命题有时也会联系几何知识综合命题一般为容易题和中等难度题中考试题一考查运算法则和完全平方公式的运用二考查运算法则与平方差公式的运用三整式乘法的综合应用四利用整式乘法化简求值第讲整式的除法知识能力解读知能解读一单项式除以单项式法则单项式相除把系数与同底数幂分别相除作为商的因式对于只在被除式里含有的字母则连同它的指数作为商的一个因式注意对法则的理解应注意三点两个单项式相除只要将系数及同底数幂分别相除即可只在被除式里含有的字母不要漏掉如在单项式除以单项式中只研究整除的情况因此在除式中所出现的一切字母在被除式中不仅也要出现而且其指数要分别都不小于除式中同一字母的指数在这个前提下单项式相除可以按系数相同字母被除式单独有的字母这几部分进行二多项式除以单项式法则一般地多项式除以单项式先把这个多项式的每一项除以这个单项式再把所得的商相加如注意这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式反之单项式除以多项式是不能这样计算的例如多项式的每一项都包括它前面的符号计算时不要漏项方法技巧归纳方法技巧一单项式除以单项式的解题技巧单项式相除把系数与同底数幂分别相除其运算顺序为首先将系数相除然后将同底数幂相除最后将被除式中单独有的字母连同它的指数一起作为商的一个因式系数相除时要注意先确定商的符号二多项式除以单项式的解题技巧多项式除以单项式除掌握法则外还应注意多项式除以单项式所得商的项数与多项式的项数一致在计算时不要漏项计算时多项式的各项要包括它前面的符号注意符号的变化易混易错辨析易混易错知识单项式除以单项式时容易出现的错误忽略系数的符号当某一字母指数为时容易忽略该指数多项式除以单项式时容易出现的错误漏项符号错误易混易错一审题计算不认真致错二除式的系数忘记变成其倒数三由于对法则理解不透或粗心致错中考试题研究中考命题规律本讲的考点主要是整式的除法它是数学中的重要基础知识单独考查时以填空题选择题为主也常与其他知识综合考查题型以解答题为主中考试题整式的综合运算第讲因式分解知识能力解读知能解读一因式分解的意义把一个多项式化为几个整式的积的形式这种变形叫作这个多项式的因式分解也叫作把这个多项式分解因式即多项式几个整式的积因式分解是对多项式进行的一种恒等变形是整式乘法的逆过程要求把每个因式都分解到不能再分解为止否则就是不完全的因式分解怎样才算不能再分解呢这要看题目的要求若指出在有理数范围内因式分解则就符合要求若指出在实数范围内因式分解则才符合要求注意因式分解时应注意以下几点结果一定是积的形式分解的对象是多项式每个因式必须是整式且每个因式的次数都必须低于或等于原多项式的次数分解因式必须分解到不能再分解为止因式分解与整式乘法是两种不同的变形过程它们是互逆关系如二公因式的定义多项式的各项都含有的公共的因式叫作这个多项式各项的公因式如中各项都含有因式故叫作这个多项式各项的公因式公因式可以是一个数或一个字母也可以是含有字母的代数式如中公因式是公因式的构成如下系数取各项系数的最大公约数字母取各项都含有的字母次数取相同字母的最低指数三因式分解的方法提公因式法定义一般地如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提取出来将多项化为式写成公因式与另一个因式的乘积的形式这种分解因式的方法叫作提公因式法如这个变形就是用提公因式法分解因式这里的可以表示单项式也可以表示多项式称为公因式提公因式法的步骤第一步确定公因式第二步提出公因式并确定另一个因式提出公因式时可用原多项式除以公因式所得商即是提公因式后剩下的另一个因式注意提公因式法是因式分解的最基本的方法因式分解必须首先考虑多项式各项之间是否存在公因式因此关键是确定公因式为了准确迅速地找出公因式必须做到五看看系数公因式的系数是各项系数的最大公约数看字母公因式中的字母应是各项中的相同字母看字母的指数公因式中字母的指数是各项中相同字母的最低指数看整体有时在多项式中如果各项都含有相同的多项式就应把它作为一个整体提出来尤其要注意有时多项式的符号相反时变号后再提出看首项符号如果多项式首项系数为负应提出或用加法交换律使首项的符号为正公式法如果把乘法公式反过来用就可以用来把某些多项式分解因式这种分解因式的方法叫作公式法逆用平方差公式逆用完全平方公式注意公式中的字母可代表一个单项式或一个多项式逆用平方差公式分解因式的特点左边是二项式两项都是平方的形式且符号相反右边是两个数的和与这两个数的差的积逆用完全平方公式分解因式的特点左边是三项式其中首末两项分别是两个数或式子的平方且这两项的符号都为正中间一项是这两个数或式子的积的倍符号正负均可右边是两个数或式子的和或差的平方当左边中间的乘积项与首末两项的符号相同时是和的平方当左边中间的乘积项与首未两项的符号相反时是差的平方选用公式的方法主要从项数上看若多项式是二项式应考虑逆用平方差或立方和差公式若多项式是三项式可考虑逆用完全平方公式然后观察各项系数次数是否符合公式特征运用公式的关键是将多项式改写成符合公式的形式分组分解法拓展分组分解法是把各项适当分组先使分解因式能分组进行再使分解因式在各组之间进行分组时用到添括号添括号时要注意各项符号的变化注意当多项式的项比较多时可将多项式进行合理分组分组方法不一定唯一型式子的因式分解拓展利用把二次三项式分解因式也叫十字相乘法注意十字左边相乘等于二次项系数右边相乘等于常数项交叉相乘的和等于一次项系数不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式四因式分解的般步骤及注意问题因式分解的步骤概括为一提二套三分组四彻底一提若多项式各项有公因式时应先提公因式二套多项式各项没有公因式时如果是二项式就考虑能否逆用平方差公式或立方和差公式如果是三项式就考虑能否逆用完全平方公式或二次三项式的因式分解三分组若是四项或四项以上的多项式通常采用分组分解法四彻底分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止因式分解的结果必须是几个整式的积例如虽然这里的右边是乘积的形式但不是整式所以不是因式分解方法技巧归纳方法技巧一因式分解与整式乘法的识别判断一个变形是不是因式分解主要看这个变形是否符合因式分解的意义故只有当左边是和差的形式而右边是积的形式的时候才可以判断自左向右的变形可能是因式分解当然变形前后等号两边的式子必须都是整式且相等二提公因式法分解因式的规律提公因式法是因式分解最基本最常用的方法其实质是逆用了分配律运用这个方法关键是确定公因式然后提公因式并确定另一个因式三公式法分解因式的规律运用公式法的关键是熟悉各公式的形式的特点四因式分解中的特殊方法因式分解除了提公因式法和公式法之外分组分解法十字相乘法等尽管不作要求但应用很方便分组分解法型式子的因式分解十字相乘法五利用因式分解化简求值易混易错辨析易混易错知识因式分解与整式乘法的联系与区别因式分解和整式乘法是互逆变形多项式的因式分解是把和差的形式化为积的形式而整式乘法是把积的形式化为和差的形式都是恒等变形但它们是互逆的两个过程如是因式分解而反过来是整式乘法鉴于因式分解与整式乘法是互逆变形因此可用将因式分解的结果还原成一个多项式的方法检验因式分解是否正确同时这也是一种逆向思维的训练若混淆了因式分解与整式乘法易犯循环分解的错误例如分解因式误写成原式因式分解不彻底因式分解的最终结果必须分解到每个因式不能再分解为止易混易错一因式分解结果不彻底二错在漏项三因式分解走回头路四运用公式出错中考试题研究中考命题规律本讲的考点主要是因式分解它是一种重要的恒等变形是进一步学习分式运算解方程函数变形及其他数学知识的重要基础它与代数式的化简求值整式的乘法及今后学习的分式一元二次方程等许多内容密切相关故中考试题都以直接或间接的方式进行考查常以填空题选择题的形式出现综合题以解答题为主中考试题一公因式的确定二分解因式三利用因式分解求值四因式分解的综合创新五实际问题中的因式分解