山西省太原市数学中考《第一章有理数》知识点聚焦.doc

第一编基础知识篇一本部分内容梳理基础知识细讲方法技巧辨析易混易错提升中考能力二本部分内容包括实数有理数实数代数式整式的加减整式的乘除分式二次根式方程组与不等式组一元一次方程与二元一次方程组不等式与不等式组一元二次方程分式方程图形与坐标函数及图像函数基础知识一次函数及反比例函数二次函数空间图形与几何初步图形的初步认识投影与视图三角形与多边形图形与变换对称平移与旋转图形与证明图形的全等与相似平行四边形解直角三角形圆作图与设计统计与概率统计初步概率专题一实数第一章有理数高频考点考查频率所占分值有理数的分类具有相反意义的量有理数的大小比较相反数绝对值倒数有理数的混合运算科学记数法基础知识篇知能图谱整数正整数负整数分数正分数负分数正有理数正整数正分数负有理数负整数负分数有理数的有关概念数轴相反数绝对值比较有理数的大小绝对值法数轴法运算加法运算减法运算乘法运算除法运算乘方运算交换律结合律分配律近似数科学记数法第讲有理数的意义知识能力解读知能解读一正数和负数的意义像这样大于的数通常省略不写叫作正数像这样在正数前面加上读负号的数叫作负数负数小于注意既不是正数也不是负数它是一个整数它表示正数和负数的分界对于正数和负数的概念不能简单理解为带的数是正数带的数是负数如是也是当时就是正数二具有相反意义的量正数和负数是根据实际需要而产生的比如一些具有相反意义的量收入元与支出元上升米与下降米零上与零下等虽然它们都表示一定的数量却意义相反那么我们如何去表示它们呢我们把一种意义的量规定为正的如收入元规定为元把另一种和它意义相反的量规定为负的如支出元规定为元于是就产生了正数和负数注意用正数和负数表示具有相反意义的量时哪种意义的量规定为正是可以任意选定的如将上升米规定为米或米都可以一旦选定一种意义的量为正则另一种意义相反的量就只能为负具有相反意义的量的特点具有相反意义的量是成对出现的单独一个量不能成为具有相反意义的量与一个量意义相反的量不止一个具有相反意义的量包含两个要有理数按定义分按正负分运算律有理数的意义有理数的分类有理数的运算加减混合运算乘除及乘方混合运算有理数的混合运算用计算器进行有理数的简单运算素一是它们的意义相反二是它们都具有数量具有相反意义的量必须是同类量如节约吨油与浪费吨水不是具有相反意义的量三有理数的分类有理数的定义正整数负整数统称整数正分数和负分数统称分数整数和分数统称有理数有理数的分类按定义分类整数正整数负整数分数正分数负分数有限小数或无限循环小数按正负分类有理数正有理数正整数正分数即不是正数也不是负数负有理数负整数负分数注意在对有理数进行分类时要做到不重不漏在分类时注意的地位和意义正整数统称非负整数也叫自然数负整数统称非正整数四数轴在数学中可以用一条直线上的点表示数这条直线叫作数轴它满足以下要求在直线上任取个点表示数这个点叫作原点通常规定直线上从原点向右或上为正方向从原点向左或下为负方向选取适当的长度为单位长度直线上从原点向右每隔一个单位长度取一个点依次表示从原点向左用类似方法依次表示如图所示点拨利用数轴我们可以表示任意一个有理数还可以表示任意一个无理数数轴是研究数学的重要工具也是数形结合的重要体现数轴的定义包含三层含义数轴是一条可以向两端无限延伸的直线数轴有三要素原点单位长度正方向原点的位置单位长度正方向都是根据实际需要规定的五相反数只有符号不同的两个数叫作互为相反数特别地的相反数是在数轴上互为相反数的两个数对应的点与原点的距离相等几何意义数的相反数是若互为相反数则或或六绝对值一般地数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值记作正数的绝对值是它本身负数的绝对值是它的相反数的绝对值是即点拨因为有理数的绝对值表示两点之间的距离距离总是正数或零所以任意一个有理数的绝对值是非负数即七有理数大小比较的常用方法数轴比较法将两数分别表示在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数有理数自然数大代数比较法正数大于零负数小于零正数大于一切负数两个负数绝对值大的反而小差值比较法设是两个任意数若则若则若则商值比较法设是两个正数若则若则若则此外还有倒数比较法中间值比较法平方比较法换元比较法等八绝对值的非负性拓展点正数和零统称非负数绝对值的意义揭示了绝对值的一个重要性质非负性即对于任何有理数都有如故绝对值最小的数是非负数的重要性质非负数有最小值是若几个非负数之和等于每个非负数都等于即若则有限个非负数之和仍是非负数方法技巧归纳方法技巧一有理数的识别方法识别有理数的依据是有理数的定义及分类标准二求相反数的方法与多层性质符号的化简方法求一个数的相反数只要在这个数的前面加上即可若求一个代数式含和差形式的相反数则把这个代数式作为一个整体用括号括起来再在前面加一个如的相反数是即含多层性质符号的式子其化简结果的符号只与的个数有关若有偶数个则结果为正若有奇数个则结果为负三绝对值的求法求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值号顺序为先判后去即先判断绝对值号内的数或式的符号再根据绝对值的性质去掉绝对值号四绝对值非负性的应用我们知道对于任意有理数有若几个非负数的和等于则这几个非负数均为五数轴与有理数大小比较的方法在数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大根据正负数在数轴上的位置可知正数大于负数小于正数大于一切负数在利用数轴比较有理数的大小时先要确定好有理数在数轴上的位置用不等式表示正数和负数正数大于反之大于的数都是正数故用表示为正数负数小于反之小于的数都是负数故用表示为负数为非负数用表示为非正数用表示六数轴上两点间的距离数轴上两点间的距离等于表示该两点的数的差的绝对值易混易错辨析易混易错知识误认为无论是正数还是负数绝对值大的数就大对有理数进行分类时易因误解的地位和意义而出错易混易错一对相反数的几何意义理解不透导致漏解二对绝对值的意义理解不透导致错误三混淆负数与带负号的数导致出错四比较有理数的大小时忽视原数的符号导致错误中考试题研究中考命题规律本讲是数学的基础知识中考题一般在准确理解概念的前提下即可正确解答主要考查绝对值和相反数的概念有理数的大小比较以及利用数轴进行化简或解决相关问题题型以填空题选择题为主中考试题一对相反数的考查二对绝对值的考查三有理数的大小比较四利用数轴解决问题第讲有理数的运算知识能力解谈知能解读一有理数的加法有理数的加法法则同号两数相加取相同的符号并把绝对值相加绝对值不等的异号两数相加取绝对值较大的加数的符号并用较大的绝对值减去较小的绝对值互为相反数的两个数相加得零一个数同相加仍得这个数加法运算律加法交换律两个数相加交换加数的位置和不变即加法结合律三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变即点拨有理数的加法运算可概括为同号相加一边倒异号相加大减小符号跟着大的跑相反敷相加零正好二有理数的减法有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算可表示为点拨有理数相减符号有两变先把减变加减数变相反统一成加后再把结果算三有理数的乘法有理数的乘法法则两数相乘同号得正异号得负并把绝对值相乘任何数与相乘都得有理数乘法法则的推广几个不是的数相乘负因数的个数是偶数时积是正数负因数的个数是奇数时积是负数几个数相乘有一个因数为积就为几个不等于的数相乘首先确定积的符号然后把绝对值相乘乘法运算律乘法交换律两个数相乘交换因数的位置积相等即乘法结合律三个数相乘先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘积相等即分配律一个数同两个数的和相乘等于把这个数分别同这两个数相乘再把积相加即说明多个有理数相乘负号当家起作用奇负偶正规律定一数为积为由有理数乘法法则得出以下结论如果两个数的积为正数那么这两个数同正或同负如果两个数的积为负数那么这两个数一正一负如果两个数的积为那么这两个数中至少有一个是四有理数的除法倒数乘积是的两个数互为倒数巧记为分子分母颠倒位置如的倒数为一般地即若是不等于的有理数则的倒数为有理数的除法法则除以一个不等于的数等于乘这个数的倒数也可表示为两数相除同号得正异号得负并把绝对值相除除以任何一个不等于的数都得注意不能作除敏巧记除法化乘法倒数是关键求倒数的方法求一个整数不为的倒数只要写成这个整数分之一即可求一个真分数的倒数只要把分数的分子和分母颠倒位置即可求一个带分数的倒数要先将带分数化成假分数再求它的倒数求一个小数的倒数要先把小数化成分数再求它的倒数五有理数的乘方乘方的概念求个相同因数的积的运算叫作乘方乘方的结果叫作幂在中叫作底数叫作指数一个数可以看作这个数本身的次方乘方的符号法则正数的任何次幂都是正数负数的奇次幂是负数负数的偶次幂是正数的任何正整数次幂都是注意一个数可以看作这个数本身的次方指数通常省略不写当底数是负数或分数时要先用括号将底数括起来再在其右上角写上指数的次幂无意义六有理数的混合运算顺序运算顺序先乘方再乘除最后加减同级运算从左到右进行如有括号先做括号内的运算按小括号中括号大括号依次进行注意运算过程中带分数一般化为假分数小数化为分数再进行乘方乘除等运算可简化解题步骤另外有些运算可同时进行也可简化解题步骤在进行混合运算时除遵守以上原则外还需注意灵活使用运算律使运算准确而快捷七科学记数法把一个绝对值大于的数表示成的形式其中是正整数使用的是科学记数法注意中只有一位整数等于原数的整数位数减把一个绝对值小于的非零数表示成的形式其中是一个负整数的绝对值等于原数中左起第一个非零数字左面所有的的个数包括小数点左面的那个八近似数近似数接近准确数而不等于准确数的数叫作这个数的近似数也叫近似值精确度近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位注意一个数要精确到哪一位只要将它的下一位四舍五入即可按要求求近似数时不能连续从未位向前四舍五入一个近似数的末尾的不可省略省略后原数的精确度会改变方法技巧归纳方法技巧一有理数加法运算的解题技巧在进行有理数加法运算时首先要弄清两个加数的情况其次按照一定二求三和差的步骤完成解题任务一定即先确定和的符号二求即求加数的绝对值三和差即分析确定绝对值是相加还是相减在运算中可灵活运用运算律使运算简化二有理数减法运算的解题规律有理数的减法不像算术里那样直接减而是把它转化为加法借助加法进行计算关键是准确理解减法法则注意两变和一不变两变即改变运算符号减加和改变减数的性质符号变为相反数一不变即被减数和减数的位置不能交换三有理数加减混合运算的规律技巧有理数的加减混合运算的方法运用有理数减法法则将有理数加减混合运算中的减法运算统一为加法运算然后省略加号和括号运用运算律使运算简便四正确进行有理数的乘法运算灵活运用运算律有理数乘法运算步骤为第一步确定符号第二步因数的绝对值相乘有理数乘法法则中同号得正异号得负专对两数相乘而言五正确进行有理数的除法运算在有理数的除法中一般能整除的在确定符号后可直接整除在不能整除的情况下特别是当除数是分数时往往把除法转化为乘法较方便在乘除混合运算中注意运算顺序从左向右依次运算六有理数乘方运算的解题方法乘方是一种特殊的乘法运算因数相同的乘法运算幂是乘方运算的结果有理数乘方运算与有理数的加减乘除运算一样首先确定幂的符号然后再计算绝对值当底数是负数或分数时要先用括号将底数括上再在右上角写上指数指数要写得小一些例如不能写为七有理数混合运算的方法与技巧把握好运算顺序是关键有理数运算分三级运算加减是第一级运算乘除是第二级运算乘方与开方后面讲是第三级运算运算顺序先算高级运算后算低级运算若是同级运算从左向右依次计算若有括号就先算括号里面的牢记五种运算的运算法则运算技巧及运算律以简化计算从而提高解题的速度和准确率八用科学记数法表示数的方法把绝对值大于的数表示成的形式时是正整数且等于原数的整数位数减九巧用拆项法解决有理数的混合运算问题在有理数的运算中常把带分数拆分成整数部分和小数部分和的形式或把拆成其中的形式这样就可把复杂的有理数运算转化为简单的计算易混易错辨析易混易错知识混淆倒数与相反数的概念我们知道只有符号不同的两个数叫作互为相反数的相反数是或者说和为的两个数互为相反数任何数都有相反数即的相反数是而乘积为的两个数互为恒数正数的倒数是正数负数的倒数是负数没有倒数即的倒数是混淆有理数加法与乘法法则在进行有理数加法和乘法运算时常因混淆两个法则而出现或之类的错误要切记两数相乘同号得正异号得负两数相加同号取相同的符号异号绝对值不相等取绝对值较大的加数的符号对乘方的理解有误乘方是指几个相同因数积的运算表示个的积即在运用乘方公式时易出现的错误要特别注意易混易错一运算时符号出错二运算顺序不正确三错用运算律中考试题研究中考命题规律本讲的考点主要有有理数的运算和科学记数法题型以填空题选择题为主主要考查有理数的运算法则以及在实际问题中的应用有理数的运算还常以找规律的形式命题或与其他知识综合命题近几年考查科学记数法的试题背景多与时代热点或地方特点相结合中考试题一有理数的基本运算二有理数加减法的实际应用三对科学记数法的理解四有理数运算中的规律性问题